1、1 1.8 數列的極限數列的極限一、概念的引入一、概念的引入二、數列的概念二、數列的概念三、數列的極限三、數列的極限四、數列極限的性質四、數列極限的性質經濟數學2“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學3r正六邊形的面積正六邊形的面積1a正十二邊形的面積正十二邊形的面積2a正正 形的面積形的面積126 nna,321naaaas經濟數學42 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211

2、x第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 x為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnxn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnx211 1經濟數學5二、數列的概念例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n經濟數學6注意：注意： 1.數列對應著數軸上一個點列數列對應著數軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數軸上依次取動點在數軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數列是整標函數數列是整標函數).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn

3、 ,333,33, 3 經濟數學72、有界數列、有界數列 對數列對數列 ，如果存在兩個實數，如果存在兩個實數 ，使得，使得 則稱則稱 為為有界數列有界數列。其中其中 分別為數列分別為數列 的一個下界與一個上界。的一個下界與一個上界。否則稱否則稱 為為無界數列無界數列。(unbounded sequence of numbers）例如，例如， 有界有界 無界無界nymm,.2 , 1,nmymnnymm,nyny1nn2n（bounded sequence of numbers）經濟數學83、單調數列、單調數列(monotone sequence of numbers)如果如果 ，稱，稱 為單調

4、增加數列；為單調增加數列；,.3 , 2 , 1,1nyynnny如果如果 ，稱，稱 為單調減少數列。為單調減少數列。,.3 , 2 , 1,1nyynnny單調增加數列和單調減少數列統稱為單調數列。單調增加數列和單調減少數列統稱為單調數列。例如，1n1nn單調減單調減單調增單調增經濟數學94、子（數）列、子（數）列(subsequence of numbers) 的子數列（或子列）的子數列（或子列）的一個數列稱為原數列的一個數列稱為原數列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項在原數列這些項在原數列保持保持中任意抽取無限多項并中任意抽取無限多項并定義：在數列定義：在數列nnnxxx

5、,21nixxxx,21knnnxxx . knnxxkxxkknnnnkkk項，顯然，中卻是第在原數列而項，是第中，一般項在子數列注意：注意：例如，例如，經濟數學10.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn播放播放三、數列的極限(limit)經濟數學11問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數值確定的數值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數學語言如何用數學語言刻劃它刻劃它. 1nxnn

6、n11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:經濟數學12,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時時只要只要 nn.1成立成立有有 nx經濟數學13如果數列沒有極限如果數列沒有極限,就說數列是發散就說數列是發散（divergent）的的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關有關與任意給定的正數與任意給定的正數

7、n經濟數學14x1x2x2 nx1 nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內內都落在都落在所有的點所有的點時時當當naaxnnn :定義定義n 其中其中;:每一個或任給的每一個或任給的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axnnnaxnnn恒有恒有時時使使經濟數學15數列極限的定義未給出求極限的方法數列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 n取取,時時則

8、當則當nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：經濟數學16例例2.lim),(cxccxnnn 證明證明為常數為常數設設證證cxn cc ,成立成立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對于一切自然數對于一切自然數.limcxnn 結論結論:常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.注注:用定義證數列極限存在時用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找n,但不必要求最小的但不必要求最小的n., 0 經濟數學17例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqn 取取,時時

9、則當則當nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 經濟數學18例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設設證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axnnnn時恒有時恒有使得當使得當axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 經濟數學19定理定理（theorem) 1(1(有界性）收斂的數列必定有界有界性）收斂的數列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axnnnn時恒有時恒有使得當使得當則則. 11 axan即有即有,1

10、,1,max1 aaxxmn記記,mxnn 皆有皆有則對一切自然數則對一切自然數 .有界有界故故nx四、數列極限的性質四、數列極限的性質注注:(1)有界性是數列收斂的必要而不充分條件有界性是數列收斂的必要而不充分條件. (2)(2)無界數列必定發散無界數列必定發散. .經濟數學20例例5.)1(1是發散的是發散的證明數列證明數列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axnnnn),21,21(, aaxnnn時時即當即當區間長度為區間長度為1.,1, 1兩個數兩個數無休止地反復取無休止地反復取而而 nx不可能同時位于不可能同時位

11、于長度為長度為1的的區間內區間內., ,但卻發散但卻發散是有界的是有界的事實上事實上nx經濟數學21定理定理2 2（唯一性）每個收斂的數列只有一個極限（唯一性）每個收斂的數列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使得使得., 021nn ;1 axnnn時恒有時恒有當當;2 bxnnn時恒有時恒有當當 ,max21nnn 取取時有時有則當則當nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時才能成立時才能成立上式僅當上式僅當ba 故收斂數列極限唯一故收斂數列極限唯一.經濟數學22定理定理3 3（收斂數列的保號性）（收斂數列的保號性）若,limaxn

12、n且0a,nn則nn 當時, 有0nx, )0(. )0(證證: 對 a 0 , 取,2a,nn則,時當nn axn2anx02aaax2a2a推論推論（corollary):若數列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)經濟數學23定理定理4 4 收斂數列的任一子數列也收斂且極限相收斂數列的任一子數列也收斂且極限相同同證證 的任一子數列的任一子數列是數列是數列設數列設數列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axnnnn恒有恒有時時使使,nk 取取,時時則當則當kk .nknnkk. axkn.limaxknk 證證畢畢經濟數學24注：1、如果數列有兩個子列

13、收斂于不同的極限，、如果數列有兩個子列收斂于不同的極限， 則該數列發散。則該數列發散。例如，1lim, 1lim) 1(,1-) 1(2122121nnnnnnnnxxx顯然），兩個子列（發散1) 1(nnx同時也說明了一個發散的數列也可能有收斂的子列。同時也說明了一個發散的數列也可能有收斂的子列。經濟數學25部分收斂，反之不成立、整體收斂2子列，則該數列必發散、若數列有一個發散的3整體發散，反之不成立部分發散收斂。同一個極限，則該數列和偶次項子列都收斂于、若數列的奇次項子列4經濟數學26五、小結數列數列: :研究其變化規律研究其變化規律;數列極限數列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限

14、思想、精確定義、幾何意義;收斂數列的性質收斂數列的性質: :有界性、唯一性、保號性、子數列的收斂性有界性、唯一性、保號性、子數列的收斂性.經濟數學27一、一、 利用數列極限的定義證明利用數列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設數列設數列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim nnnyx. .練練 習習 題題經濟數學281 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入經

15、濟數學291 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學30“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學31“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學32“

16、割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學33“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學34“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學35“割之彌細，所

17、割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學36“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入經濟數學37.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限經濟數學38.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限經濟數學39.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限經濟數學40.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限經濟數學41.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限經濟數學42.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn三、數列的極限經濟數學43.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nn