1、1無窮小的比較第七節一、無窮小的比較二、等價無窮小替換三、小結及作業2一、無窮小的比較例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;2要快得多要快得多比比xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限3);(, 0lim) 1 ( o記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比就說就說如果如果定義定義. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同

2、一過程中的兩個無設設;),0(lim) 3(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 cc;, 1lim) 4( 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果低階的無窮小；低階的無窮小；是比是比就說就說如果如果 ,lim) 2(4.),0, 0(lim) 5 (無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkcck 如如);0()(323xxox是同階無窮小；是同階無窮小；和和時，時，在在3932xxx是等價無窮小；是等價無窮小；和和時，時，在在xxxsin0低階的無窮小；低階的無窮小；是比是比時，時，在在211nnn)(sin0 xxx即即5例例1 1解解的同階無窮小.的

3、同階無窮小.為為時時當當: :證明證明4340 xxxxtan,430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 例例2 2.sintan,0的階數的階數關于關于求求時時當當xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxxx,21.sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 的同階無窮小.的同階無窮小.為為時時故當故當4340 xxxxtan,6常用等價無窮小常用等價無窮小,0時時當當 x,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sinxexxxxxxxxxxx,ln1axax,1)1 (xx ,2cos12xx.211xx 7

4、一般形式一般形式) 0)()()(1ln(xfxfxf如如其他公式類似其他公式類似10sinxax如如cos1, 03xx1231523xx時，時，0 x)23(5123xx axlnsin26x8二、等價無窮小替換定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設設證證 lim)lim( limlimlim.lim 9例例3 3.cos12tanlim20 xxx求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換

5、對于代數和中各無窮小不能分別替換. .注意注意10例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx原式原式.161錯錯 11例5例53220sin)1ln() 12)(cos1 (limxxxxx32402ln2limxxxxx.22ln例6例6131) 1() 1() 1)(1(limnnxxxxxtx1令令130) 11() 11)(11(limnnttttt1032limnttntt

6、t.!1n12例7例7使下式成立使下式成立和和試確定常數試確定常數ba解解01236)(limbaxxx)(limbaxxx2361由由)(lim23621bxaxxx01236)(limbxaxx得得)(lim2361bxxax1)(lim2361axxbx)(lim2361xxx4362326111xxxxx)(lim. 013例8例8)(limxxxx54527) 1271(lim55xxxxttttxt1271lim55001tttt)27 (51lim500.5714三、小結1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢

7、快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.15作業作業5971p習題).,(,43243216思考題思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？任何兩個無窮小量都可以比較嗎？17思考題解答思考題解答不能不能例當例當 時時x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當故當 時時x)(xf和和

8、)(xg不不能能比比較較.18一、一、 填空題：填空題：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.練練 習習 題題197 7、當、當0 x時，時，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當、當0 x時，無窮小時，無窮小xcos1 與與nmx等價，則等價，則 ._,nm 二、求下列各極限：二、求下

9、列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；20三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、設四、設 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達式的表達式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .21一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na； 7 7、3 3；