1、2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系1第第1章章 函數、極限、連續函數、極限、連續第第1節節 集合、映射與函數集合、映射與函數第第2節節 數列的極限數列的極限第第3節節 函數的極限函數的極限第第4節節 無窮小量及無窮大量無窮小量及無窮大量第第5節節 連續函數連續函數2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系2第第4節節 無窮小量及無窮大量無窮小量及無窮大量n4.1 無窮小量及其階無窮小量及其階 n4.2 4.2 無窮小的等價代換無窮小的等價代換n4.3 4.3 無窮大量無窮大量2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系31.無窮小量無窮小量（1）定義定

2、義4.1(無窮小量無窮小量)當當 若若0 xx 時時 , 函數函數( )0 ,x 則稱函數則稱函數)(xf0 xx 例如例如 :1lim(1 )0 ,xx函數函數 1x當當1x時為無窮小時為無窮小;sinlim0 ,xxx 函數函數 sin xxx 時為無窮小時為無窮小;)x (或為為時的時的無窮小量無窮小量 .)x (或( 1)lim0,nnn ( 1).nnn 數當時為無窮數當時為無窮列小列小0limsin0,xx sin0 xx 數當時為無窮；數當時為無窮；函小函小2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系4注意注意1.1.無窮小是以無窮小是以0 0為極限的函數為極限的函數,

3、 ,不能與很小的不能與很小的數混淆數混淆; ;例：例：同時無窮小是相對于某變化過程而言同時無窮小是相對于某變化過程而言! 12lim(1 )0 ,lim(1 )1xxxx2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系5注意注意2.2.零是可以作為無窮小的唯一的數零是可以作為無窮小的唯一的數. .即即除除 0 以外任何以外任何很小的常數很小的常數都都不是無窮小不是無窮小 ! 因為因為0)(lim0 xfxx,0,0當當00 xx時時, 0)(xf顯然顯然 c 只能是只能是 0 !cc2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系6（2 2）無窮小與函數極限的關系）無窮小與函數極限

4、的關系其中其中 為為時的無窮小量時的無窮小量 . 定理定理 4. 1( 無窮小與函數極限的關系無窮小與函數極限的關系 )證證:當當時時, ,有有對自變量的其它對自變量的其它變化過程類似可證變化過程類似可證 . .0lim( )xxf xa 0 xx( )f xa, 0,0,00 xx ( )f xa ( )f xa 0lim0 xx 0lim( )xxf xa 2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系7意義意義1.1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題將一般極限問題轉化為特殊極限問題( (無窮小無窮小););02.( )( ),( ).f xxf xax 給數在達給數在達誤為誤為出

5、了函附近的近似表式出了函附近的近似表式差差2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系8（3 3）無窮小的運算性質）無窮小的運算性質定理定理4.24.2 在同一極限過程中在同一極限過程中, ,(1)(1)有限個無窮小的代數和仍是無窮小有限個無窮小的代數和仍是無窮小; ;(3)(3)有極限的函數與無窮小的乘積是無窮小有極限的函數與無窮小的乘積是無窮小. .推論推論 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小. .(2)(2)有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小. .2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系9定理定理4.34.3 設設0lim(

6、 ) ( )0.xxx f x ( )f x0lim0,xx 在在x0處局部有界處局部有界，則，則定理定理4.34.3常描述為有界函數與無窮小的乘積是無窮小常描述為有界函數與無窮小的乘積是無窮小. .證證0( )f xx已知在處局部有界，已知在處局部有界，00,0,0,( ).mxxf xm則則( )( )( )( )mxxf xmx從而有從而有0lim( )0,xxmx 由夾逼性由夾逼性,有有0lim( )( )0.xxxf x 211,0,sin,arctanxxxxx當當時時例例如如都是無窮小都是無窮小.2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系102. 無窮小的比較無窮小的

7、比較xxx3lim20 xxxsinlim0201cos1lim2xxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32趨近零的速度要快得多趨近零的速度要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx, 0 , 1 觀察各極限觀察各極限210,sin,1cossin.xx xxxxx 當當時時, ,，均均是是無無窮窮小小量量21cos;xx 與大致相同與大致相同01sinlimxxxx不可比不可比.xx1sinlim0 .不存在不存在（1 1）無窮小的階）無窮小的階定義定義4.24.2,0. 設是同一極限過程中的兩個無窮小 且設是同一極限過程中的兩個

8、無窮小 且lim1, 特特別別地地, , 若若則則稱稱 與與 是是等等價價無無窮窮小小, ,(2)lim0,;c 如果則稱 與 是如果則稱 與 是同階無窮小同階無窮小(1)lim0, 高階高階如果是 的如果是 的無窮小無窮小稱稱(3)lim00),.kkck 如果（如果（則稱則稱關于 的 階的無窮小關于 的 階的無窮小是是( ).o 記作記作;記作記作000lim,()kxxcxxxxk 若若則稱 是當時則稱 是當時的 階無窮小.的 階無窮小.lim0,o(1); 特特別別, , 若若記記作作2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系12lim,. 若不則稱 與 無法比較若不則稱

9、與 無法比較注意注意1cos( )xo x,0時時當當 xtansin( )xxo x例例.sintan,0的的階階數數關關于于求求時時當當xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 1sinxxx與 無法比較.與 無法比較.,0時時當當 x例如例如2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系13例例2 證明證明: 當當0 x 時時,11nx1xn證證0 limx11nx1nx0limx 11nnx1nx 11nnx 21nnx 11 11nx1xnnnab ()ab 1(na 2n

10、ab 1)nb 0,x當時當時2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系14等價無窮小的刻畫等價無窮小的刻畫lim1, lim0, ( ),o即即( ).o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ( )o111( )nxxo xn0 ,x 2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系1521sinu u, arcsinu u; 1cosu u ;2tanu u, arctanu u; sinu1e1sinuu,1 sinu 1sinu.2 ua1 ulna (a0,a1),(1u)1 u (0) 常用的等價無窮小常用的等價無窮小:u0,當時 有當時 有uln(1u)

11、u, e1 u;2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系16（2 2）無窮小的等價代換）無窮小的等價代換定理定理4.44.4( (無窮小量的無窮小量的等價等價代換代換) )limlim,limlim,lim,a 設=0設=0若，且=若，且=limlim. a 證證 limlimlimlim lima 2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系17例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小量代換不能濫用等價無窮小量代換.注意注意 只能對分子分母中的

12、只能對分子分母中的無窮小因子無窮小因子進行代換進行代換. .不能不能對所求極限表達式中的被加對所求極限表達式中的被加, ,被減函數進行代換被減函數進行代換, ,否否則會產生錯誤則會產生錯誤. .2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系18例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系193. 無窮

13、大量無窮大量觀察：觀察：1 ,x 1 ,x 1( )1f xx 1( )1f xx 1,x 1( )1f xx 越來越大越來越大,x 越來越大越來越大越來越小越來越小越來越大越來越大( )xf xe 1( )2xf x 0 ,x 越來越大越來越大xye xye 11yx 2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系20( )f xm 定義定義4.3 若任給若任給 m 0 ,000 xx 一切滿足不等式一切滿足不等式的的 x , 總有總有則稱函數則稱函數)(xf當當0 xx 時為時為無窮大無窮大, 使對使對0lim( ).xxf x 若在定義中將若在定義中將 式改為式改為mxf)(則記

14、作則記作0()lim( )xxxf x 0()( lim( )xxxf x )(xx )(x(lim( )xf x (正數正數 x ) ,記作記作( ( ) ,f xm 總存在總存在無窮大無窮大( (量量) )的定義的定義2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系2111lim.1xx 例例證明證明6 6證證. 0 m1,1mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取,110時時當當mx .11mx 就有就有.11lim1 xx00:lim( ),( ).xxf xxxyf x 如果則直線是函數如果則直線是函數的圖的圖定義定義鉛直鉛直的的漸近線漸近線形形11 xy2008年10月

15、20日南京航空航天大學 理學院 數學系22注意注意1.無窮大量是變量無窮大量是變量,不能與很大的數混淆不能與很大的數混淆;3. 無窮大量是一種特殊的無界變量無窮大量是一種特殊的無界變量,但是但是無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxx.無窮大實質上是函數極限不存在的無窮大實質上是函數極限不存在的一種情況一種情況2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系23 0 xxlimf x 0m0, 0, 0 | x-x |, |f x | m 使當時 有使當時 有 0,xx,f x其否定 即時不是無窮大其否定 即時不是無窮大

16、*000m0, 0, x0 |x -x |, |f x| m 存存在在 滿滿足足但但 11:x0,f xsin.xx例例 當當時時 無無界界函函數數不不是是無無窮窮大大2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系244.4.無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系若若( )f x為無窮大為無窮大,1( )f x為無窮小為無窮小 ;若若)(xf為無窮小為無窮小, 且且( )0 ,f x 則則1( )f x為無窮大為無窮大.則則據此定理據此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論無窮小來討論.定理定理4.5 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過

17、程中,意義意義:2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系25證證.)(lim0 xfxx設設000,01,0,1( ),xxmf xm 使使得得恒恒有有當當時時.)(1,0為無窮小為無窮小時時當當xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設設反之反之000,1,1( )0,mf xmxxm 使得當使得當恒有恒有時時對對).1(mf x 從而從而01,.( )xxf x當時為無窮大量當時為無窮大量, 0)( xf由由于于2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系265 5 無窮大量階的比較無窮大量階的比較(1)lim,;zzyy 如如果果則則稱稱 是是比

18、比的的無無階階窮窮大大量量高高定義定義,.y z設是同一極限過程中的兩個無窮大量設是同一極限過程中的兩個無窮大量(2)lim0,;zczyy如果則稱 與 是的無如果則稱 與 是的無階(級)階(級)窮大量窮大量同同(3)lim,zzyy 如果不則稱 與 無法比較;如果不則稱 與 無法比較;(4)lim0(0),.kzckzyyk如果就說 是 的的如果就說 是 的的無窮大量無窮大量階階2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系27ln(0),(1), !knnnnannkan 當當時時，均均是是無無窮窮大大. ., (1), (1)(0) (!ln0)! nnnkknnnaanaakn

19、kn 且比且比比比比，比，比比高階的無窮大.高階的無窮大.2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系28 o記號的含義記號的含義 (p63) 0( )( ( )().f xoxxxg 記作記作000,(),( ),( )(1)mxu xf xmf xo 特特別別, ,若若記記作作00( )0,(, ),( )f xmxu xmg x 若若0)lim0,xxxc （當當0( )( ( )().xoxxxx 則（則（定義定義. 0)( ,)(,0 xgxugfo且且內有定義內有定義在在2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系29解解)32(lim21 xxx, 0 商的法

20、則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮由無窮大量大量與無窮與無窮小量小量的關系的關系,得得例例7 7.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系30例例8 8 .147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 2008年10月20日南京航空航天大學 理學院 數學系31為非負整數時有為非負整數時有和和當當nmba, 0, 0