1、隱函數和參數方程求導隱函數和參數方程求導張世濤張世濤相關變化率相關變化率三、相關變化率三、相關變化率一、隱函數的導數一、隱函數的導數 二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數 主要內容：主要內容：一、隱函數的導數一、隱函數的導數. )( 0) ,f( 稱稱為為隱隱函函數數所所確確定定的的函函數數由由方方程程xyyyx .)(形形式式的的函函數數稱稱為為顯顯函函數數xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數的隱函數的顯化顯化31xy 例如：例如：013 yx可確定顯函數可確定顯函數03275 xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 ,但此隱函數不能顯化但此隱函數不能

2、顯化 .例如例如：問題問題：隱函數不易顯化或不能顯化時如何求導隱函數不易顯化或不能顯化時如何求導?隱函數求導法隱函數求導法注意：注意： 視視 y=y(x) , 應應用復合函數的求導法用復合函數的求導法直接直接對對方程方程 f(x, y)=0 兩邊求導，然后解出兩邊求導，然后解出 y 即得隱函數的導數即得隱函數的導數.0),(dd yxfx兩邊兩邊對對 x 求導求導(含導數含導數 的方程的方程)y 若若 確定了隱函數確定了隱函數 ，怎樣求，怎樣求y ？0),( yxf)(xyy 例例1 1. , )( 0 0 xyxdxdydxdyxyyeexy的的導導數數所所確確定定的的隱隱函函數數求求由由方

3、方程程解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對視視 , , )( xxyy y解得解得,yxexyedxdy , 0 , 0 yx時時由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyx xe ye 0 dxdy例例2 2.)23,23( ,3 33的的切切線線方方程程及及法法線線方方程程上上點點求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線cxyyxc 解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對視視 , , )( xxyy ,333322yxyyyx )23,23(22)23,23(xyxyy . 1 于是，所求切線方程為于是，所求切線方程為, )23(23 xy. 03 yx即即, 232

4、3 xy法法線線方方程程為為. xy 即即.)(0ln2dxdyxyyxeyxy導導數數的的所所確確定定的的隱隱函函數數求求由由方方程程 練習練習例例3 3. )1 , 0( )( , 1 44處的值處的值在點在點求求設設xyyxyx 解解得得求導求導方程兩邊對方程兩邊對 , x)1(04433 yyyxyx代代入入，得得、將將10 yx; 4110 yxy得得求求導導兩兩邊邊再再對對將將方方程程，、視視 , )1( )( )( xxyyxyy , 04)(122123222 yyyyyxyx得得 4110 yxy及及、代代入入 10 yx.16110 yxy設設)(xyy 由方程由方程eyx

5、ey確定確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導, 得得0yxyyey再求導再求導, 得得2yey yxey)(02 y當0 x時時, 1y故由故由 得得ey1)0(，再代入，再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y 練習練習對數求導法對數求導法 先對先對 y=f(x)（0）兩邊取對數）兩邊取對數(或加絕對值后兩或加絕對值后兩邊取對數邊取對數), 然后利用隱函數的求導方法求出導數，然后利用隱函數的求導方法求出導數，實際上，對數求導法是利用隱函數求導法求顯函數實際上，對數求導法是利用隱函數求導法求顯函數導數的一種方法。導數的一種方法。適用范圍適用范圍: :, )( )

6、1()( xvxu冪冪指指函函數數方方、開開方方運運算算的的函函數數。含含有有較較多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(例例4 4解解. , )0( sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數等式兩邊取對數, 得得, lnsinlnxxy 得得求求導導上上式式兩兩邊邊對對 , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? )( sin xx能能否否用用顯顯式式求求導導法法求求出出問問：例例5 5解解. )142)1(3111()4(1)1( 23 xxxexxxyx, |4|ln2|1|ln31|1|ln|lnxxxxy

7、得得求導求導上式兩邊對上式兩邊對 , x, 142)1(3111 xxxyy. , )4(1)1( 23yexxxyx 求求設設等式兩邊取絕對值再取對數，得等式兩邊取絕對值再取對數，得)()()(ln(xuxuxu 的導數的導數求求)1,0,0( babaaxxbbaybax練習練習二、由參數方程所確定的函數的導數二、由參數方程所確定的函數的導數., )()( 程程確確定定的的函函數數稱稱此此函函數數為為由由此此參參數數方方間間的的函函數數關關系系與與可可確確定定若若xytytx 例如例如: : ,22tytx2xt , )2(22xty 此此參參數數方方程程確確定定的的函函數數.4)( 2x

8、xyy 即即消去參數消去參數 t 得得問題問題: : 消參數困難或無法消去參數時如何求導消參數困難或無法消去參數時如何求導? ),(),(tytx .,為參數為參數 t . 0)()()()(22 tttytx 都可導，且都可導，且與與這里這里平面曲線參數方程的一般形式平面曲線參數方程的一般形式).()(1xtty ，即即復復合合函函數數可可表表示示為為：的的為為存存在在，則則存存在在，則則反反函函數數又又)()()(11xyxyxttx , 0)()()( ttt 妨設妨設至少有一個不為零，不至少有一個不為零，不與與由于由于求求導導法法則則，有有由由復復合合函函數數與與反反函函數數的的 .)

9、()()(ttytx 示示式式為為：從從而而導導函函數數的的參參數數式式表表.)()(0000ttdxdyttt 給定時，則給定時，則當當.函函數數的的求求導導法法這這即即是是參參數數方方程程所所表表示示)()(tt 0)( t 若若時時, 有有 yxddyttxdddd tytxdd1dd (此時看成此時看成 x 是是 y 的函數的函數 ) ),(),(tytx .,為參數為參數 t . 0)()()()(22 tttytx 都可導，且都可導，且與與這里這里平面曲線參數方程的一般形式平面曲線參數方程的一般形式若上述參數方程中若上述參數方程中)(, )(tt 二階可導二階可導, 22ddxy)

10、dd(ddxyx)(2t )()(tt )()(tt )(t )()()()()(3ttttt )dd(ddxyt txdd)()(ddttxy )(tx 且且,0)( t 則由它確定的函數則由它確定的函數)(xfy 可求二階導數可求二階導數 .利用新的參數方程利用新的參數方程,可得可得例例6. 設設)(tfx , 且且,0)( tf求求.dd22xy dd xy)(tft )(tf , t dd22 xy1)(tf 解解:)()(tftfty )(tfx tdxdy 例例7. 設由方程設由方程)10(1sin 222 yytttx確定函數確定函數, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩

11、邊對方程組兩邊對 t 求導求導 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd三、相關變化率三、相關變化率 兩個相互關聯的變化率稱為兩個相互關聯的變化率稱為相關變化率相關變化率。當已。當已知兩個變量的關系后，可從其中一個變化率求出另知兩個變量的關系后，可從其中一個變化率求出另一個變化率。一個變化率。解法解法: : 通過建立兩者之間的關系通過建立兩者之間的關系, , 用鏈式求導法求解用鏈式求導法求解. .例例8 8解解? , 500 . /140 , 500 仰角增加率是多少仰角增加率是多少觀

12、察員視線的觀察員視線的米時米時當氣球高度為當氣球高度為分分米米率為率為其速其速米處離地面鉛直上升米處離地面鉛直上升一汽球從離開觀察員一汽球從離開觀察員則則視視線線的的仰仰角角為為觀觀察察員員其其高高度度為為分分后后設設氣氣球球上上升升 , , , ht. 500tanh 得得求求導導上上式式兩兩邊邊對對 , tdtdhdtd 5001sec2 , /140 分分米米 dtdh, 2sec,5002 米米時時當當 h. )/(14. 0 分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500h米米試求當容器內水試求當容器內水rhxhr例例9. 有一底半徑為有一底半徑為 r cm , 高

13、為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以今以 自頂部向容器內注水自頂部向容器內注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設時刻設時刻 t 容器內水面高度為容器內水面高度為 x ,水的水的vhr231)(231xhrxrh)(33322xhhhr兩邊對兩邊對 t 求導求導tvdd22hr2)(xh,ddtx而而,)(25222xhrh,2時當hx hxhrr故故txdd) scm(25dd3tv) scm(100dd2rtx體積為體積為 v , 則則r1. 隱函數求導法則隱函數求導法則直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導2. 對數求導法對數求導法 :適用于冪指函數及某些用連乘適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數連