1、 教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生理解分塊矩陣的概教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生理解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的性質(zhì)和計(jì)算的方法念，掌握分塊矩陣的性質(zhì)和計(jì)算的方法.認(rèn)識(shí)分塊矩陣在矩認(rèn)識(shí)分塊矩陣在矩陣?yán)碚撝械牡匚慌c作用，為今后的學(xué)習(xí)打良好基礎(chǔ)。陣?yán)碚撝械牡匚慌c作用，為今后的學(xué)習(xí)打良好基礎(chǔ)。 教學(xué)要求教學(xué)要求：理解分塊矩陣的概念，深刻理解分塊矩理解分塊矩陣的概念，深刻理解分塊矩陣的性質(zhì)，熟練掌握分塊矩陣的計(jì)算方法，會(huì)用分塊矩陣的性質(zhì)，熟練掌握分塊矩陣的計(jì)算方法，會(huì)用分塊矩陣解決各種實(shí)際問題。陣解決各種實(shí)際問題。 教學(xué)重點(diǎn)：分塊矩陣的定義和性質(zhì)，分塊矩陣的計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：分塊矩陣的定義和性質(zhì)，分塊矩陣

2、的計(jì)算方法，用分塊矩陣的理論化簡(jiǎn)矩陣的運(yùn)算。方法，用分塊矩陣的理論化簡(jiǎn)矩陣的運(yùn)算。 教學(xué)難點(diǎn)：分塊矩陣的乘法。教學(xué)難點(diǎn)：分塊矩陣的乘法。在理論研究及一些實(shí)際問題中，經(jīng)常在理論研究及一些實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到階數(shù)很高或結(jié)構(gòu)特殊的矩陣。對(duì)遇到階數(shù)很高或結(jié)構(gòu)特殊的矩陣。對(duì)于這些矩陣，在運(yùn)算時(shí)常常采用分塊于這些矩陣，在運(yùn)算時(shí)常常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算。我們算。我們將矩陣將矩陣a a用若干條縱線和橫用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為稱為a a的子塊，以子塊為元素的形式的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣上的

3、矩陣稱為稱為分塊矩陣分塊矩陣。 作用：作用： 簡(jiǎn)化高階矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化高階矩陣運(yùn)算 簡(jiǎn)化運(yùn)算的表達(dá)形式簡(jiǎn)化運(yùn)算的表達(dá)形式看清結(jié)構(gòu)看清結(jié)構(gòu)一、分塊矩陣的概念一、分塊矩陣的概念,321 bbb bbaaa110101000001例如例如 a001a101000bab110 1b2b3b即即 bbaaa110101000001,4321 cccc a1a1c002c10010a3cbb11004c即即, beoa ,4321aaaa bbaaa110101000001 bbaaa110101000001 aaa01其中其中 bbb11 1001e 0000o 0101aa其中其中 1012aa 1003

4、ba ba1004 mnmmnnaaaaaaaaaa212222111211 設(shè)設(shè)矩矩陣陣按行分塊得分塊列矩陣按行分塊得分塊列矩陣), 2 , 1( 21miiaaaaaaim 行行的第的第分別為分別為其中其中，按列分塊得分塊行矩陣按列分塊得分塊行矩陣列列的第的第表示表示（其中其中janjaaaaajn), 2 , 1),(21 有有相相同同的的分分塊塊法法采采用用列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與設(shè)設(shè)矩矩陣陣,1ba那那末末列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與其其中中,ijijba二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則 srsrsrsrbbbbbaaaaa11111111,加

5、加法法.11111111 srsrssrrbababababa同型同型 同同型型與與ijijba 那末那末為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè),21111 srsraaaaa.1111 srsraaaaa 數(shù)數(shù)乘乘 分分塊塊成成矩矩陣陣為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè),3nlblma ,11111111 trtrststbbbbbaaaaa那那末末的的行行數(shù)數(shù)的的列列數(shù)數(shù)分分別別等等于于其其中中,2121ijjjitiibbbaaa srsrccccab1111 ., 1;, 11rjsibackjtkikij 其其中中乘乘法法的的行行數(shù)數(shù)的的列列數(shù)數(shù)ba 的的行行數(shù)數(shù)的的列列數(shù)數(shù)kjikba ,411 sraaa設(shè)設(shè)ra11s

6、atsa1tra1.11 tsrttaaa則則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置大塊小塊一起轉(zhuǎn)大塊小塊一起轉(zhuǎn) 將矩陣的子塊視為元素時(shí)，矩陣應(yīng)符合運(yùn)算的要求將矩陣的子塊視為元素時(shí)，矩陣應(yīng)符合運(yùn)算的要求; ; 相應(yīng)的子塊間也應(yīng)符合運(yùn)算的要求相應(yīng)的子塊間也應(yīng)符合運(yùn)算的要求. . 說(shuō)明：說(shuō)明：例例3.1 設(shè)設(shè),1011012100100001 a,0211140110210101 b.ab求求解解分塊成分塊成把把ba, 10011001a00001121 , eeo1a(教材第教材第17頁(yè)例頁(yè)例3.1) 0211140110210101b 11be21b22b則則 2221111bbebeaoeab.2212111111 ba

7、bbaeb又又21111bba 110121011121 11012043,1142 02141121221ba,1333 于是于是 2212111111babbaebab.1311334210410101 ,100100000001 bbaaa設(shè)設(shè) bbaab100000001000.,ababa 求求例例3.2解解分塊分塊將將ba, bbaaa100100000001,0021 aa bbaab100000001000,0021 bb其中其中,011 aaa;112 bba,101 aab;102 bbb其中其中 21210000bbaaba,002211 baba aaaaba10011

8、1,2112 aa bbbbba101122,2212 bb.2200120000210012 bbaa 21210000bbaaba 221100baba 212121000000aabbaaaba,00222111 abaaba,123223111 aaaaaaaba,231223223222 bbbbbbaba 212121000000aabbaaaba 22211100abaaba.23001220000001232233223 bbbbbbaaaaaa三、分塊對(duì)角矩陣（準(zhǔn)對(duì)角矩陣）三、分塊對(duì)角矩陣（準(zhǔn)對(duì)角矩陣） 形如形如其中其中ai（i=1，2，s）均為方陣，且其余子塊）均為方陣，且

9、其余子塊均為零矩陣的分塊矩陣，稱為均為零矩陣的分塊矩陣，稱為分塊對(duì)角矩陣或分塊對(duì)角矩陣或準(zhǔn)對(duì)角矩陣準(zhǔn)對(duì)角矩陣。12saaaa000000000000設(shè)設(shè)a、b均為分塊對(duì)角矩陣，且均為分塊對(duì)角矩陣，且 saaaa21 sbbbb21則有則有 ssbabababa2211為數(shù)）為數(shù)） (21 saaaa ssbababaab2211為正整數(shù)）為正整數(shù)）naaaansnnn(21 tstttaaaa21 由此可見，分塊對(duì)角矩陣對(duì)于矩陣的線性運(yùn)由此可見，分塊對(duì)角矩陣對(duì)于矩陣的線性運(yùn)算、乘積以及轉(zhuǎn)置運(yùn)算均是算、乘積以及轉(zhuǎn)置運(yùn)算均是封閉封閉的。的。請(qǐng)牢記以上幾個(gè)公式請(qǐng)牢記以上幾個(gè)公式!對(duì)角線子塊做相應(yīng)運(yùn)算

10、對(duì)角線子塊做相應(yīng)運(yùn)算 1、掌握分塊矩陣的各種分塊方法，會(huì)用分塊矩陣的、掌握分塊矩陣的各種分塊方法，會(huì)用分塊矩陣的方法化簡(jiǎn)矩陣的運(yùn)算方法化簡(jiǎn)矩陣的運(yùn)算. 2、重點(diǎn)掌握將矩陣按行分塊、按列分塊和分塊對(duì)角、重點(diǎn)掌握將矩陣按行分塊、按列分塊和分塊對(duì)角矩陣的分塊方法矩陣的分塊方法. 在矩陣?yán)碚摰难芯恐性诰仃嚴(yán)碚摰难芯恐? ,矩陣的分塊是一矩陣的分塊是一種最基本、最重要的計(jì)算技巧與方法種最基本、最重要的計(jì)算技巧與方法. .四、小結(jié)四、小結(jié) 3 3、分塊矩陣之間的運(yùn)算、分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似(1)(1)加法加法采采用用相相同同的的分

11、分塊塊法法同同型型矩矩陣陣,(2)(2)數(shù)乘數(shù)乘的的每每個(gè)個(gè)子子塊塊乘乘需需乘乘矩矩陣陣數(shù)數(shù)akak,(3)(3)乘法乘法,abab若與相 乘 需的 列 的 劃 分 與的劃 分 相 一 致第第 四節(jié)四節(jié) 幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣4.1 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣(diagonal matrix)，如下的矩陣，如下的矩陣稱為對(duì)角矩陣，稱為對(duì)角矩陣， na 21),(21ndiag 可簡(jiǎn)記為可簡(jiǎn)記為設(shè)設(shè)a、b均為均為n階對(duì)角矩陣，且階對(duì)角矩陣，且 naaaa21 nbbbb21則有則有 nnbabababa2211為數(shù)）為數(shù)） (21 naaaa nnbabababaab2211為正整數(shù)）為正整數(shù)）kaaa

12、aknkkk(21 由此可見，對(duì)角陣的和、差、乘積以及對(duì)角陣的由此可見，對(duì)角陣的和、差、乘積以及對(duì)角陣的數(shù)乘結(jié)果仍為對(duì)角陣。我們把這一特性稱為對(duì)角矩陣數(shù)乘結(jié)果仍為對(duì)角陣。我們把這一特性稱為對(duì)角矩陣的線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的的線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的封閉封閉性。性。數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣(scalar matrix)也稱標(biāo)量矩陣也稱標(biāo)量矩陣,記作記作 。aea aaaa 上（下）三角形矩陣的線性運(yùn)算封閉，且對(duì)于上（下）三角形矩陣的線性運(yùn)算封閉，且對(duì)于n階階上（下）三角矩陣上（下）三角矩陣a、b，ab的主對(duì)角元恰是的主對(duì)角元恰是a、b相相應(yīng)主對(duì)角元的乘積。應(yīng)主對(duì)角元的乘積。（請(qǐng)大家自己證明）（請(qǐng)大家自己證明）

13、對(duì)稱陣與反稱陣關(guān)于矩陣的線性運(yùn)算封閉，對(duì)稱陣與反稱陣關(guān)于矩陣的線性運(yùn)算封閉，而對(duì)矩陣的乘法不具封閉性。而對(duì)矩陣的乘法不具封閉性。1.1.設(shè)設(shè)a、b均為均為n階上（下）三角矩陣，試證階上（下）三角矩陣，試證ab也為也為n階上（下）三角矩陣。階上（下）三角矩陣。（書（書p25第一題）第一題）證明證明：（不妨證上三角矩陣的情形：（不妨證上三角矩陣的情形) nnnnaaaaaaa00022211211 nnnnbbbbbbb00022211211設(shè)設(shè)課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： )(111 njkkjikjkkjiknkkjiknnijbababacabc則有則有)(00,; 0,jicbjkakjijiij

14、kjik ，故有，故有第二式中第二式中時(shí)，第一式中時(shí)，第一式中當(dāng)當(dāng) 所以，所以，n階上（下）三角陣階上（下）三角陣a、b的乘積也為的乘積也為n階上（下）三角矩陣。階上（下）三角矩陣。2. 設(shè)設(shè)a為為n階反稱矩陣，階反稱矩陣，b為為n階對(duì)稱陣，則階對(duì)稱陣，則ab+ba是是n階反稱矩陣。階反稱矩陣。（p23例例4.3）證明：證明：)( )()( )()()(baabbaabbaabbaabbaabttttttt 解法解法1： 0010010010012a.002012222 .001001naa求求設(shè)設(shè) 3.3. 00100100201222223aaa 32323003033 由此歸納出由此歸納出 200021121 nnnnkannnnnnn 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)當(dāng) 時(shí)，顯然成立時(shí)，顯然成立.2 n假設(shè)假設(shè) 時(shí)成立，則時(shí)成立，則 時(shí)，時(shí)，kn 1 kn ,001001000211211 kkkkkkknkkkkaaa所以對(duì)于任意的所以對(duì)于任意的 都有都有n .00021121 nnnnnnnnnnna ,00102111111 nnnnnnnnnn 書書p14(b)p14(b)第第3 3題是本題題是本題 的情形。的情形。 1 解法解法2 2：分解：分解其中其中,