1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！用空間向量解立體幾何題型與方法平行垂直問題基礎(chǔ)知識(shí)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線面平行：laua·u0a1a3b1b3c1c30(2)線面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvu·v0a3a4b3b4c3c40例1、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐p­abcd中，pa底面abcd，e，f分別是pc，pd的中點(diǎn)，paab1，bc2.(1)求證：e

2、f平面pab；(2)求證：平面pad平面pdc.證明以a為原點(diǎn)，ab，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，所以e，f，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因?yàn)椋裕磂fab.又ab平面pab，ef平面pab，所以ef平面pab.(2)因?yàn)?#183;(0,0,1)·(1,0,0)0，·(0,2,0)·(1,0,0)0，所以，即apdc，addc.又apada，ap平面pad

3、，ad平面pad，所以dc平面pad.因?yàn)閐c平面pdc，所以平面pad平面pdc. 使用空間向量方法證明線面平行時(shí)，既可以證明直線的方向向量和平面內(nèi)一條直線的方向向量平行，然后根據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進(jìn)行判定，也可以證明兩個(gè)平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱abc­a1b1c1中，abc90°，bc2，cc14，點(diǎn)e在線段bb1上，且eb11，d，f，g分別為cc1，c1b1，c1a1的中點(diǎn)求證：(1)b1d平面abd；(2)平面egf平面abd.證明：(1)以b為坐標(biāo)

4、原點(diǎn)，ba、bc、bb1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則b(0,0,0)，d(0,2,2)，b1(0,0,4)，設(shè)baa，則a(a,0,0)，所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，·0，·0440，即b1dba，b1dbd.又babdb，因此b1d平面abd.(2)由(1)知，e(0,0,3)，g，f(0,1,4)，則，(0,1,1)，·0220，·0220，即b1deg，b1def.又egefe，因此b1d平面egf. 結(jié)合(1)可知平面egf平面abd.利用空間向量求空間角基礎(chǔ)知識(shí)(1)向量法求異面直線所

5、成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為，則cos |cosa，b|.(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為，則sin |cosn，a|.(3)向量法求二面角：求出二面角l的兩個(gè)半平面與的法向量n1，n2，若二面角l所成的角為銳角，則cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角為鈍角，則cos |cosn1，n2|.例1、如圖，在直三棱柱a1b1c1­abc中，abac，abac2，a1a4，點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)(1)求異面直線a1b與c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值解(1

6、)以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a­xyz，則a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0，0,4)，c1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因?yàn)閏os，所以異面直線a1b與c1d所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面adc1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1,1,0)，(0,2,4)，所以n1·0，n1·0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面adc1的一個(gè)法向量取平面aba1的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)設(shè)平面adc1與平面aba1所成二面角的大小為.由|cos

7、|，得sin .因此，平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值為.例2、如圖，三棱柱abc­a1b1c1中，cacb，abaa1，baa160°.(1)證明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值解(1)證明：取ab的中點(diǎn)o，連接oc，oa1，a1b.因?yàn)閏acb，所以ocab.由于abaa1，baa160°，故aa1b為等邊三角形，所以oa1ab.因?yàn)閛coa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交線

8、為ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc兩兩相互垂直以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o­xyz. 由題設(shè)知a(1,0,0)，a1(0，0)，c(0,0，)，b(1,0,0)則(1,0，)，(1，0)，(0，)設(shè)n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，則即 可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c與平面bb1c1c所成角的正弦值為.(1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論(2)求空間角應(yīng)注意：兩條異面直線所成的角不一定是

9、直線的方向向量的夾角，即cos |cos |.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求例3、如圖，在四棱錐s­abcd中，abad，abcd，cd3ab3，平面sad平面abcd，e是線段ad上一點(diǎn)，aeed，sead.(1)證明：平面sbe平面sec；(2)若se1，求直線ce與平面sbc所成角的正弦值解：(1)證明：平面sad平面abcd，平面sad平面abcdad，se平面sad，sead，se平面abcd. be平面abcd，sebe. abad，abcd，cd3ab3，aeed，aeb30°，ced60°. bec90&#

10、176;，即bece. 又secee，be平面sec. be平面sbe，平面sbe平面sec.(2)由(1)知，直線es，eb，ec兩兩垂直如圖，以e為原點(diǎn)，eb為x軸，ec為y軸，es為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則e(0,0,0)，c(0,2，0)，s(0,0,1)，b(2,0,0)，所以(0，2，0)，(2，2，0)，(0，2，1)設(shè)平面sbc的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，得x，z2，則平面sbc的一個(gè)法向量為n(，1,2)設(shè)直線ce與平面sbc所成角的大小為，則sin |，故直線ce與平面sbc所成角的正弦值為.例4、如圖是多面體abc­a1b1c1和它的三視圖 (1)

11、線段cc1上是否存在一點(diǎn)e，使be平面a1cc1？若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在，請(qǐng)找出并證明；(2)求平面c1a1c與平面a1ca夾角的余弦值解：(1)由題意知aa1，ab，ac兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，a1(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0，2,0)，c1(1，1,2)，則(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2)設(shè)e(x，y，z)，則(x，y2，z)，(1x，1y,2z)設(shè) (>0)，則則e，.由得解得2，所以線段cc1上存在一點(diǎn)e，2，使be平面a1cc1.(2)設(shè)平面c1a1c的法向量為m(x，y，z)，則由得取x1，則y1，z1.故m

12、(1，1,1)，而平面a1ca的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，則cosm，n，故平面c1a1c與平面a1ca夾角的余弦值為.利用空間向量解決探索性問題例1、如圖1，正abc的邊長(zhǎng)為4，cd是ab邊上的高，e，f分別是ac和bc邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將abc沿cd翻折成直二面角a­dc­b(如圖2)(1)試判斷直線ab與平面def的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角e­df­c的余弦值；(3)在線段bc上是否存在一點(diǎn)p，使apde？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解(1)在abc中，由e，f分別是ac，bc中點(diǎn)，得efab.又ab平面def，ef平面de

13、f，ab平面def.(2)以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線db，dc，da分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0，2，0)，e(0，1)，f(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面cdf的法向量為(0,0,2)設(shè)平面edf的法向量為n(x，y，z)，則即取n(3，3)，cos，n，所以二面角e­df­c的余弦值為.(3)存在設(shè)p(s，t,0)，有(s，t，2)，則·t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2. 把t代入上式得s，在線段bc上存在點(diǎn)p，使apde. 此時(shí)，.(

14、1)空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.(2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法.例2、.如圖所示，在直三棱柱abc­a1b 1c1中，acb90°，aa1bc2ac2.(1)若d為aa1中點(diǎn)，求證：平面b1cd平面b1c1d；(2)在aa1上是否存在一點(diǎn)d，使得二面角b1­cd­c1的大小為60°？解：(1)證明：如圖所示，以點(diǎn)c為原點(diǎn)，

15、ca，cb，cc1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)，d(1,0,1)，即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)由·(0,2,0)·(1,0,1)0000，得，即c1b1cd.由·(1,0,1)·(1,0,1)1010，得，即dc1cd.又dc1c1b1c1，cd平面b1c1d.又cd平面b1cd，平面b1cd平面b1c1d.(2)存在當(dāng)adaa1時(shí)，二面角b1­cd­c1的大小為60°.理由如下：設(shè)ada，則d點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a

16、)，(1,0，a)，(0,2,2)，設(shè)平面b1cd的法向量為m(x，y，z)，則令z1，得m(a,1，1)又(0,2,0)為平面c1cd的一個(gè)法向量，則cos 60°，解得a(負(fù)值舍去)，故adaa1.在aa1上存在一點(diǎn)d滿足題意空間直角坐標(biāo)系建立的創(chuàng)新問題空間向量在處理空間問題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問題“運(yùn)算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐標(biāo)系，因而建立空間直角坐標(biāo)系問題成為近幾年試題新的命題點(diǎn)一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例1、如圖，四棱錐p­abcd中，pa底面abcd，bccd2，ac4，acbacd，f為

17、pc的中點(diǎn)，afpb.(1)求pa的長(zhǎng)；(2)求二面角b­af­d的正弦值(1)由條件知acbddb，ac分別為x，y軸寫出a，b，c，d坐標(biāo)設(shè)p坐標(biāo)可得f坐標(biāo)·0得p坐標(biāo)并求pa長(zhǎng)(2)由(1)，的坐標(biāo)n1·0且n1·0求得n1·n2求得夾角余弦解(1)如圖，連接bd交ac于o，因?yàn)閎ccd，即bcd為等腰三角形，又ac平分bcd，故acbd.以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系o­xyz，則occdcos 1.而ac4，得aoacoc3.又odcdsin，故a(0，3,0)，b(，0,

18、0)，c(0,1,0)，d(，0,0)因pa底面abcd，可設(shè)p(0，3，z)由f為pc邊中點(diǎn)，知f.又，(，3，z)，afpb，故·0，即60，z2(舍去2)，所以| |2.(2)由(1)知(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)設(shè)平面fad的法向量為n1(x1，y1，z1)，平面fab的法向量為n2(x2，y2，z2)，由n1·0，n1·0，得因此可取n1(3，2)由n2·0，n2·0，得故可取n2(3，2)從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2.故二面角b­af­d的正弦值為.建立空間直角坐標(biāo)系的基本思想

19、是尋找其中的線線垂直關(guān)系(本題利用acbd)，若圖中存在交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，則以該點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.在沒有明顯的垂直關(guān)系時(shí)，要通過其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的位置建立空間直角坐標(biāo)系，注意建立的空間直角坐標(biāo)系是右手系，正確確定坐標(biāo)軸的名稱.例2、如圖，在空間幾何體中，平面acd平面abc，abbccadadcbe2.be與平面abc所成的角為60°，且點(diǎn)e在平面abc內(nèi)的射影落在abc的平分線上(1)求證：de平面abc；(2)求二面角e­bc­a的余弦值解：證明：(1)易知abc，acd都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取ac的中點(diǎn)

20、o，連接bo，do，則boac，doac. 平面acd平面abc，do平面abc. 作ef平面abc，則efdo. 根據(jù)題意，點(diǎn)f落在bo上，ebf60°， 易求得efdo，四邊形defo是平行四邊形，deof.de平面abc，of平面abc，de平面abc.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o­xyz，可求得平面abc的一個(gè)法向量為n1(0,0,1)可得c(1,0,0)，b(0，0)，e(0，1，)，則(1，0)，(0，1，)設(shè)平面bce的法向量為n2(x，y，z)，則可得n2·0，n2·0，即(x，y，z)·(1，0)0，(x，y，z)&#

21、183;(0，1，)0，可取n2(3，1)故cosn1，n2. 又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，故二面角e­bc­a的余弦值為.專題訓(xùn)練1.如圖所示，在多面體abcda1b1c1d1中，上、下兩個(gè)底面a1b1c1d1和abcd互相平行，且都是正方形，dd1底面abcd，aba1b1，ab2a1b12dd12a.(1)求異面直線ab1與dd1所成角的余弦值；(2)已知f是ad的中點(diǎn)，求證：fb1平面bcc1b1.解：以d為原點(diǎn)，da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(2a,0,0)，b(2a,2a,0)，c(0,2a,0)，d

22、1(0,0，a)，f(a,0,0)，b1(a，a，a)，c1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，cos，所以異面直線ab1與dd1所成角的余弦值為.(2)證明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，fb1bb1，fb1bc.bb1bcb，fb1平面bcc1b1.2如圖，在三棱柱abc­a1b1c1中，aa1c1c是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5.(1)求證：aa1平面abc；(2)求二面角a1­bc1­b1的余弦值；(3)證明：在線段bc1上存在點(diǎn)d，使得ada1b，并求的值解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蝍a1

23、c1c為正方形，所以aa1ac.因?yàn)槠矫鎍bc平面aa1c1c，且aa1垂直于這兩個(gè)平面的交線ac，所以aa1平面abc.(2)由(1)知aa1ac，aa1ab. 由題知ab3，bc5，ac4，所以abac.如圖，以a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系a­xyz，則b(0,3,0)，a1(0,0,4)，b1(0,3,4)，c1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)設(shè)平面a1bc1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面b1bc1的一個(gè)法向量為m(3,4,0)所以cos n，m.由題知二面角a1­bc1­b1為銳角，所以

24、二面角a1­bc1­b1的余弦值為.(3)證明：設(shè)d(x，y，z)是直線bc1上一點(diǎn)，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由·0，即9250，解得.因?yàn)?,1，所以在線段bc1上存在點(diǎn)d，使得ada1b.此時(shí)，.3如圖(1)，四邊形abcd中，e是bc的中點(diǎn)，db2，dc1，bc，abad.將圖(1)沿直線bd折起，使得二面角a­bd­c為60°，如圖(2)(1)求證：ae平面bdc；(2)求直線ac與平面abd所成角的余弦值解：(1)證明：取bd的中點(diǎn)f，連接ef，af，則af1，ef，

25、afe60°.由余弦定理知ae.ae2ef2af2，aeef.abad，f為bd中點(diǎn)bdaf. 又bd2，dc1，bc，bd2dc2bc2，即bdcd.又e為bc中點(diǎn)，efcd，bdef.又efaff，bd平面aef.又bdae，bdeff，ae平面bdc.(2)以e為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a，c，b，d，(2,0,0)，.設(shè)平面abd的法向量為n(x，y，z)，由得取z，則y3，又n(0，3，)cosn，.故直線ac與平面abd所成角的余弦值為.4如圖所示，在矩形abcd中，ab3，ad6，bd是對(duì)角線，過點(diǎn)a作aebd，垂足為o，交cd于e，以ae為折痕將ade向上

26、折起，使點(diǎn)d到點(diǎn)p的位置，且pb.(1)求證：po平面abce；(2)求二面角e­ap­b的余弦值解：(1)證明：由已知得ab3，ad6，bd9. 在矩形abcd中，aebd，rtaodrtbad，do4，bo5.在pob中，pb，po4，bo5，po2bo2pb2，poob.又poae，aeobo，po平面abce.(2)bo5，ao2.以o為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則p(0,0,4)，a(2，0,0)，b(0,5,0)，(2，0，4)，(0,5，4)設(shè)n1(x，y，z)為平面apb的法向量則即取x2得n1(2，4,5)又n2(0,1,0)為平面aep的一個(gè)法

27、向量，cosn1，n2，故二面角e­ap­b的余弦值為.5.如圖，在四棱錐p­abcd中，側(cè)面pad底面abcd，側(cè)棱papd，papd，底面abcd為直角梯形，其中bcad，abad，abbc1，o為ad中點(diǎn)(1)求直線pb與平面poc所成角的余弦值；(2)求b點(diǎn)到平面pcd的距離；(3)線段pd上是否存在一點(diǎn)q，使得二面角q­ac­d的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)在pad中，papd，o為ad中點(diǎn)，所以poad.又側(cè)面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po平面pad，所以po平面abcd.又在直角

28、梯形abcd中，連接oc，易得ocad，所以以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc，od，op所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則p(0,0,1)，a(0，1,0)，b(1，1,0)，c(1,0,0)，d(0,1,0)，(1，1，1)，易證oa平面poc，(0，1,0)是平面poc的法向量，cos，. 直線pb與平面poc所成角的余弦值為.(2) (0,1，1)，(1,0,1)設(shè)平面pdc的一個(gè)法向量為u(x，y，z)，則取z1，得u(1,1,1)b點(diǎn)到平面pcd的距離為d.(3)假設(shè)存在一點(diǎn)q，則設(shè) (0<<1)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，q(0，1)設(shè)平面caq的一個(gè)法向量

29、為m(x，y，z)，又(1,1,0)，aq(0，1,1)，則取z1，得m(1，1，1)，又平面cad的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，二面角q­ac­d的余弦值為，所以|cosm，n|，得321030，解得或3(舍)，所以存在點(diǎn)q，且.6如圖，在四棱錐s­abcd中，底面abcd是直角梯形，側(cè)棱sa底面abcd，ab垂直于ad和bc，saabbc2，ad1.m是棱sb的中點(diǎn)(1)求證：am平面scd；(2)求平面scd與平面sab所成二面角的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)n是直線cd上的動(dòng)點(diǎn)，mn與平面sab所成的角為，求sin 的最大值解：(1)以點(diǎn)a為原點(diǎn)建立如圖所示的空間

30、直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，b(0,2,0)，c(2,2,0)，d(1,0,0)，s(0,0,2)，m(0,1,1)所以(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)設(shè)平面scd的法向量是n(x，y，z)，則即令z1，則x2，y1，于是n(2，1,1)·n0，n.又am平面scd，am平面scd.(2)易知平面sab的一個(gè)法向量為n1(1,0,0)設(shè)平面scd與平面sab所成的二面角為，則|cos |，即cos .平面scd與平面sab所成二面角的余弦值為.(3)設(shè)n(x,2x2,0)(x1,2)，則(x,2x3，1)又平面sab的一個(gè)法向量為n1(1,0,0)，sin .當(dāng)，即

31、x時(shí)，(sin )max.7、如圖，四邊形abef和四邊形abcd均是直角梯形，fabdab90°，afabbc2，ad1，facd.(1)證明：在平面bce上，一定存在過點(diǎn)c的直線l與直線df平行；(2)求二面角f­cd­a的余弦值解：(1)證明：由已知得，beaf，bcad，bebcb，adafa，平面bce平面adf. 設(shè)平面dfc平面bcel，則l過點(diǎn)c.平面bce平面adf，平面dfc平面bcel，平面dfc平面adfdf.dfl，即在平面bce上一定存在過點(diǎn)c的直線l，使得dfl.(2)faab，facd，ab與cd相交，fa平面abcd.故以a為原點(diǎn)，ad，ab，af分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由已知得，d(1,0,0)，c(2,2,0)，f(0,0,2)，(1,0,2)，(1,2,0)設(shè)平面dfc的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則不妨設(shè)z1.則n(2，1,1)，不妨設(shè)平面abcd的一個(gè)法向量為m(0,0,1)cosm，n，由于二面角f­cd