1、比估計與回歸估計1.1 引言 1.比估計與回歸估計的使用條件：（1）調查主要指標與輔助變量間有正線性相關關系； 比估計與回歸估計的使用效果的好壞取決于輔助變量的選擇，要盡可能選擇與調查指標相關程度的大小。 （如果輔助變量與調查主要指標間有負線性相關關系,則要采取乘積估計。）（2）適用面廣,可以用于簡單隨機抽樣,也可用于分層隨機抽樣等；（3）估計 或y時 ，一般要求輔助變量的總體總量或均值是已知的。y1.2 比估計一、簡單隨機抽樣下的比估計：一、簡單隨機抽樣下的比估計：1.比估計定義：比估計定義： 比率：（1）r的比率估計量：xyxyr均值之比率：總體的兩個指標總量或稱為比率估計量。則xyr .

2、是樣本兩個指標的均值，對于簡單隨機抽樣，若xy（2）2.比估計的性質：比估計的性質：對于簡單隨機抽樣，（1）比估計是有偏的，但當n大時，（2）xrnxryxxryxryyyrr),(已知的比估計量：及rre)()2(1)2(11)(1)()(22222222122xyxyxxyyniiisrssrsxnfsrrssxnfnrxyxnfrvrmse證明：rrenxxryxxryexxryexxryerrexxnxxryrxyrr）（大時，當）（）（）（）（大時，當0) 1 ( 11)()(111001)()()()()2(122122222222222nrxyxnfrmservnrxynfsnf

3、gvggegegexryexrygxrygnirxygxxryerrermsermservrrerereniiiniiigiii）（）（）（）（）（）（）（則，對每個總體單元，令）（）（又）（）（)2(1)2(11)()(2)(11)()(11)(1)()(2222222212222122122xyxyxxyyniiiiiniiiniiisrssrsxnfsrrssxnfnxxrxxyyryyxnfnxrrxyyxnfnrxyxnfrvrmse3.比估計的方差估計：比估計的方差估計： （1）該估計是有偏的，但具有漸近無偏性。)2(11)(1)()(2222122xxyyniiisrrssxnf

4、nrxyxnfrvrmse)2(111)(22221221xxyyniiisrsrsxnfnxryxnfrvrvx）（）（的漸近無偏估計為：已知時，當1)(12nrxyniii其中估計可用niiixryn12)(11（2）例：某小區有1920戶，從中隨機抽取了70戶，調查各戶的住房面積（單位：平方米）和家庭人口，得數據： 試對人均住房面積作點估計和置信度為95%的區間估計。5 .7264,1110, 7 .52940260, 4 .182170170127012701701iiiiiiiiiiixyxyxy)2(111)(22221221xxyyniiisrsrsxnfnxryxnfrvrvx

5、）（）（的漸近無偏估計為：未知時，當 解：01. 72604 .1821701701iiiixyr085. 011)(1222nxryxnfrvrvniii）（）（的漸近無偏估計為：92.56372)(7012270170127012iiiiiiiiiixrxyryxry58. 744. 6%952121，）（，）（的置信區間為：的置信度為rvurrvurr3.估計估計r時樣本量的確定：時樣本量的確定：vxsnnnnvxnsvxsnrxynssxnfrvnvrdddniiidd2200022221222211111,，其中解得：）（，其中）（大時，當的方差上限為如果估計。未知時，也可由）（由的

6、樣本，抽一個容量為也可以通過試點調查時計，可以通過以往的資料估，xxxrynsnsniiidd1222114.估計估計 時樣本量的確定：時樣本量的確定：2222/10002222/12222/12/1122211111,1dsnnnnndsdsnyvdrxynssnfyvnddddrniiiddr，其中解得：）（）（，其中）（大時，當的絕對誤差限為如果置信度為ry例：某公司有1000名職工，為了估計職工今年與去年病假工時的比率，要抽一個容量為n的簡單隨機樣本進行調查。先隨機抽了10人作試點調查，數據如下：編號去年病假工時今年病假工時1121322425315154303253236626247

7、101281516902101412希望以置信度95%，使估計r的絕對誤差不超過0.01，應抽容量為多大的樣本？已知公司職工去年病假工時為16300。解：05. 1178187101101iiiixyr4245,4066,4463178,18710110121012101101iiiiiiiiiiixyxyxy由試點調查的數據得：5222/1210122701221011012101210603. 296. 101. 03 .1610001630016300474. 3)(91265.312)(dvxxxrysxrxyryxryiiidiiiiiiiiii，已知334100050215021,

8、50200220nnnnvxsnd例：審計員想把一個醫院的財產的現在價值與記錄價值作一比較。從計算機存儲的記錄里查到，醫院的財產有2100項，共計價值950000元。為了估計現在的價值，擬在2100項目中隨機抽取n項。因為沒有信息可用來確定n，先隨機抽了15項，獲得數據整理如下： 試確定n，使估計量的絕對誤差不超過500元（置信度為95%）。表示現在的價值。值，表示從計算機查到的價其中iiiiiiiiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .24215115121511512151解:表示現在的價值。值，表示從計算機查到的價其中iiiiii

9、iiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .2421511512151151215198. 00 .2425 .237151151iiiixyr406210050415041504)2100500(4444. 796. 100222222/10nnnndsnd4444. 7)(1412218.1042)(151221512215115121512iiidiiiiiiiiiixrysxrxyryxry4.比估計與簡單估計的比較：比估計與簡單估計的比較：單估計更精確。，即比估計較相應的簡，則特別若）得：（）（的方差為：的簡單估計的方差為：的比

10、估計足夠大時，當212/2/202(12(11)()(211)()2()2(1)() 1 (2222222222yxyxyxyxxyxxyxyyryxyxyrrccccysxssrssrssrnfsrssrsnfsnfyvyvsnfyvyysrssrsnfyvyyn5.消除比估計偏倚的方法：消除比估計偏倚的方法： 小樣本時，比估計的偏倚不能忽略。 有偏估計成為無偏估計的方法：（1）無偏的比率型估計量（2）改變抽樣方法二、分層隨機抽樣下的比估計二、分層隨機抽樣下的比估計 在大樣本時， 1. 分別比估計：分別比估計：若 各層的樣本量比較大時，各層可分別進行比估計，再進行加權平均，所得估計量稱為分別

11、比估計。 lhxhhxyhhyhhhhlhhnihihhihhhlhrhhlhhhstlhhhhlhrhhlhhhstsrsrsnfwnxrynfwyvwyvwyvxrwywywyh1222211221212111)2(11)(1)()(）（方差2. 聯合比估計：聯合比估計：若 某些層的樣本量比較小時，可以采用聯合比估計。對兩個指標先求總體均值或總和的分層估計，然后用它們構造比估計，所得估計量稱為聯合比估計。 lhxhxyhyhhhhrcststcrcsrrssnfwyvxxyxry12222)2(1）（方差1.3 回歸估計linear regression 估計精度就比較高。為常數）。這時，

12、用比（可以認為又比較大，相關系數的回歸直線通過原點，關于如果。估計其實質是用，已知計量：簡單隨機抽樣中的比估aaxyxyxyxyxxxyyiiiir)(的特征數呢？的信息來估計調查指標如何利用輔助指標，的回歸直線不通過原點關于如果yxxyii1.簡單隨機抽樣中的回歸估計量：簡單隨機抽樣中的回歸估計量：對于簡單隨機抽樣，總體均值和總體總和的回歸估計量分別為：lrlrynyxxxbyy)(已知，其中yyeyyxxyyyxxxxyyyxyxylrlrlrlriiiiiiiii）（性質：記為以后）（的回歸估計為時，當）（的回歸值時，事先給定常數）若（據結構：具有一元線性回歸的數與假定1000yyexr

13、xxyxxxyyyxyrxxyyyyxxyyylrlrlrlrlr）（：性質）（即回歸估計為比估計）（時，當計）（即回歸估計為差估（時，當計）（即回歸估計為簡單估時，當）（的回歸估計為時，事先給定常數若110:00000）（）（：性質22002212xxyylrsssnfyv）的無偏估計。（）是（）（性質：）（）（）（）（去估計均值的回歸估計就是用樣本或者說：（，其中（換個角度：證明：）（）（：性質lrxxyylrxxyyniiiniiizlriiiniiniiilrxxyylryvsssnfyvsssnfxxyynnfyxxynnfsnfyvyzyxxyzzznxxynxxyysssnfyv

14、i22002220022102102011002200221211111111)1)(1)212，即總體殘差方差。）（的相關系數。與為數，的（有限）總體回歸系關于為其中）（）（且）達到最小值，（時，）（）（當的最佳值）定理：（niiniiiyylrlrxxyniiniiieneyynsxyxybsnfyvyvbssxxxxyy12122222min2121001)(1111證明：）（）（時，當）（得）（令）（）（22min2020220022002110, 021ylrxxylrxxylrxxyylrsnfyvbssdyvdbssdydvsssnfyv)(21)(2121211,1122212

15、212222121yxyyxxyyniiiniieelrylrlrlrlrniiniiiiiiiibssnnlblnxxbyynyynssnfyvnsnfyvymsenyyenxxbyyyxxxxyybbbxyxy）（）（）（其中樣本殘差）（大時性質：當）（）（）（大時，性質：當）（大時，性質：當）（的回歸估計為：）（）（一般是未知的，本回歸系數。根據樣本計算時，為樣）若（據結構：具有一元線性回歸的數與假定例：總體由75308個農場組成，設yi為第i個農場養牛的頭數， xi為第i個農場的面積。已知農場平均面積為31.25英畝，選取一個樣本容量為2055的簡單隨機樣本。經計算得： 試估計每個農場

16、平均養牛頭數及標準差。763.10073375525.35717915.27410065.30,53.12xxxyyylllxy解：355. 0 xxxyllb74.12)65.3025.31(355. 053.12)(xxbyylr187.0)()(035.0)(2111)(2lrlrxyyyelryvysbllnnfsnfyv標準差為二、分層隨機抽樣下的回歸估計二、分層隨機抽樣下的回歸估計 在大樣本時， 1. 分別回歸估計：分別回歸估計：若 各層的樣本量比較大時，各層可分別進行回歸估計，再進行加權平均，所得估計量稱為分別回歸估計。 lhehhhhlrshlhhyhhhhlhlrhhlhhhlrshlhhhhhhlhlrhhlhhhlrssnfwyvsnfwyvwyvwyvxxywywywy122122212121111:11)()(:)(）（未知時，當方差的樣本估計）（）（未知時，當方差2. 聯合回歸估計：聯合回歸估計：若 某些層的樣本量比較小時，可