1、第二講用樣本估計總體知識梳理雙基自測知識點一用樣本的頻率分布估計總體分布(1)頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個小組數據在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數據分布規律，從中可以看到整個樣本數據的頻率分布情況繪制頻率分布直方圖的步驟為：_求極差_；_決定組距與組數_；_將數據分組_；_列頻率分布表_；_畫頻率分布直方圖_.(2)頻率分布折線圖順次連接頻率分布直方圖中_各小長方形上端的中點_，就得到頻率分布折線圖(3)總體密度曲線總體密度曲線反映了總體在各個范圍內取值的百分比，它能提供更加精細的信息知識點二莖葉圖(1)莖葉圖中莖是指_中間_的一列數，葉是從莖的_旁邊

2、_生長出來的數(2)莖葉圖的優點是可以_保留_原始數據，而且可以_隨時_記錄，這對數據的記錄和表示都能帶來方便知識點三樣本的數字特征(1)眾數：一組數據中出現次數最多的數(2)中位數：將數據從小到大排列，若有奇數個數，則最中間的數是中位數；若有偶數個數，則中間兩數的平均數是中位數(3)平均數：_，反映了一組數據的平均水平(4)標準差：s_，反映了樣本數據的離散程度(5)方差：s2_(x1)2(x2)2(xn)2_，反映了樣本數據的離散程度(1)若一組數據xi(i1,2，n)的平均數為，方差為s2，則數據組axib(i1,2，n，a，b為常數)的平均數為ab，方差為a2s2.(2)頻率分布直方圖

3、與眾數、中位數與平均數的關系最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的，均為.平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和題組一走出誤區1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢()(2)一組數據的眾數可以是一個或幾個，那么中位數也具有相同的結論()(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數據內容，把數據表示成直方圖后，原有的具體數據信息就被抹掉了()(4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的順序寫，相同的數據可以

4、只記一次()(5)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數()(6)在頻率分布直方圖中，眾數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的()題組二走進教材2(p81a組t1改編)已知某班級部分同學一次測驗的成績統計如圖，則其中位數和眾數分別為(b)a95,94b92,86c99,86d95,91解析由莖葉圖可知，此組數據由小到大排列依次76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個，故92為中位數，出現次數最多的為眾數，故眾數為86，故選b .3(p7t1)如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為

5、2,2.5)范圍內的居民有_25_人解析100(0.50.5)25(人)題組三走向高考4(2020新課標)設一組樣本數據x1，x2，xn的方差為0.01，則數據10x1,10x2，10xn的方差為(c)a0.01b0.1c1d10解析樣本數據x1，x2，xn的方差為0.01，根據任何一組數據同時擴大幾倍方差將變為平方倍增長，數據10x1,10x2，10xn的方差為：1000.011，故選c5(2020天津)從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數據分為9組：5.31,5.33)，5.33,5.35)，5.45,5.47)，5.47,5.49，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在

6、被抽取的零件中，直徑落在區間5.43,5.47)內的個數為(b)a10b18c20d36解析直徑落在區間5.43,5.47)的頻率為(6.255)0.02 0.225，則被抽取的零件中，直徑落在區間5.43，5.47)內的個數為0.22580 18個，故選b考點突破互動探究考點一頻率分布直方圖自主練透例1 (1)(2021江西贛州十四縣聯考)中央電視臺播出中國詩詞大會火遍全國，下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示：組號分組頻數頻率第1組160,165)0.100笫2組165,170)第3組170,175)20第4組175,180)200.20

7、0第5組180,185)100.100合計1001.00()請先求出頻率分布表中、位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖(用陰影表示)()為了能選拔出最優秀的選手，組委會決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取5名選手進入第二輪面試，則第3,4,5組每組各抽取多少名選手進入第二輪面試？()在()的前提下，組委會決定在5名選手中隨機抽取2名選手接受考官a面試，求第4組至少有一名選手被考官a面試的概率(2)(2021福建漳州質檢)2018年9月的臺風“山竹”對我國多個省市的財產造成重大損害，據統計直接經濟損失達52億元某青年志愿者組織調查了某地區的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將

8、收集的損失數據分成五組：0,2 000，(2 000,4 000，(4 000,6 000，(6 000,8 000，(8 000,10 000(單位：元)，得到如圖所示的頻率分布直方圖()試根據頻率分布直方圖估計該地區每個農戶的損失(同一組中的數據用該區間的中點值代表)；()臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發出倡議，為該地區的農戶捐款幫扶，現從這50戶損失超過4 000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8 000元的農戶數為x，求x的分布列和數學期望解析(1)()第1組的頻數為1000.10010，所以處應填的數為100(10202010)40，從而第2組的頻率為0.400

9、.處應填的數為1(0.10.40.20.1)0.200.頻率分布直方圖如圖所示()因為第3,4,5組共有50名選手，所以利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手進入第二輪面試時，每組抽取的人數分別為：第3組：52，第4組：52，第5組：51，所以第3,4,5組分別抽取2人，2人，1人進入第二輪面試()記“第4組至少有一名選手被考官a面試”為事件a，則p(a).(2)()記每個農戶的平均損失為元，則1 0000.33 0000.45 0000.187 0000.069 0000.0633 601；()由頻率分布直方圖，可得損失超過4 000元的農戶共有(0.000 090.000 030.000

10、03)2 0005015(戶)，損失超過8 000元的農戶共有0.000 032 000503(戶)，隨機抽取2戶，則x的可能取值為0,1,2；計算p(x0)，p(x1)，p(x2).所以x的分布列為：x012p數學期望為e(x)012.名師點撥應用頻率分布直方圖時的注意事項用頻率分布直方圖解決相關問題時，應正確理解圖表中各個量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關鍵頻率分布直方圖有以下幾個要點：(1)縱軸表示頻率/組距；(2)頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比；(3)頻率分布直方圖中每一個矩形的面積是樣本數據落在這個區間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1.變式

11、訓練1(1)(2021安徽“皖南八校”摸底)某校高三年級有400名學生，在一次數學測試中，成績都在80,130(單位：分)內，其頻率分布直方圖如圖，則這次測試數學成績不低于100分的人數為_220_.(2)(2021山西適應性考試)某病毒引起的肺炎的潛伏期平均為7天左右，短的約23天，長的約1014天，甚至有20余天某醫療機構對400名確診患者的潛伏期進行統計，整理得到以下頻率分布直方圖根據該直方圖估計：要使90%的患者顯現出明顯病狀，需隔離觀察的天數至少是(c)a12b13c14d15解析(1)根據頻率分布直方圖知：(2a0.040.030.02)101a0.005；計算出數學成績不低于10

12、0分的頻率為：(0.030.020.005)100.55；所以這次測試數學成績不低于100分的人數為0.55400220人(2)由題可知，第一，二，三，四，五組的頻率分別為0.16，0.4，0.32,0.08,0.04.因為前三組的頻率和為0.88，故要使90%的患者顯現出明顯病狀，則需隔離觀察的天數至少是：1314，故選c考點二莖葉圖師生共研例2 (多選題)(2021四川省樂山市調研改編)胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉化為維生素a，現從a，b兩個品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素(單位mg)得到莖葉圖如圖所示，則下列說法正確的是(abd)aabba的方差大于b的方差cb品種的

13、眾數為3.31da品種的中位數為3.27解析由莖葉圖得：b品種所含胡蘿卜素普遍高于a品種，ab，故a正確；a品種的數據波動比b品種的數據波動大，a的方差大于b的方差，故b正確；b品種的眾數為3.31與3.41，故c錯誤；a品種的數據的中位數為：3.27，故d正確名師點撥莖葉圖的繪制及應用(1)莖葉圖的繪制需注意：“葉”的位置只有一個數字，而“莖”的位置的數字位數一般不需要統一；重復出現的數據要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數據(2)莖葉圖通常用來記錄兩位數的數據，可以用來分析單組數據，也可以用來比較兩組數據通過莖葉圖可以確定數據的中位數，數據大致集中在哪個莖，數據是否關于該莖對稱，

14、數據分布是否均勻等變式訓練2(2019山東)如圖所示的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各5名工人某日的產量數據(單位：件)若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則x與y的值分別為(a)a3,5b5,5c3,7d5,7解析甲組數據的中位數為65，由甲、乙兩組數據的中位數相等，得y5.又甲、乙兩組數據的平均值相等，(5665627470x)(5961676578)，x3.故選a考點三樣本數字特征多維探究角度1樣本數字特征與頻率分布直方圖例3 (1)如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可以估計眾數與中位數分別是(b)a12.5,12.5b12.5,13c13,12.5d13,13解析由頻率

15、分布直方圖可知，眾數為12.5，因為0.0450.2,0.150.5，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的面積相等，所以中位數在區間10,15)內設中位數為x，則(x10)0.10.50.2，解得x13.角度2樣本數字特征與莖葉圖(2)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91，現場作的9個分數的莖葉圖后來有1個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數的方差為_.解析由圖可知去掉的兩個數是87,99，所以879029129490x917，解得x4，s2(8791)2(9091)22(9191)22(9491)22.角度3樣本數字特征的計算(3)(2

16、021湖北武漢、襄陽、荊門、宜昌四地六校考試聯盟聯考)已知某7個數據的平均數為5，方差為4，現又加入一個新數據5，此時這8個數的方差s2為(c)ab3cd4解析設某7個數據分別為a1，a2，a7，則由題意得a1a2a75735，(a15)2(a25)2(a75)24728，加入新數據5后的平均數5，方差s2.故選c名師點撥平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數，中位數，眾數描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小變式訓練3(1)(角度1)某小區共有1 000戶居民，現對他們的用電情況進行調查，得到頻率分布直方圖如圖所示，則該小區居

17、民用電量的中位數為_155_，平均數為_156.8_.(2)(角度2)(2021陜西西安八校聯考)在一次技能比賽中，共有12人參加，他們的得分(百分制)莖葉圖如圖，則他們得分的中位數和方差分別為(b)a8954.5b8953.5c8753.5d8954(3)高鐵、掃碼支付、共享單車、網購并稱中國“新四大發明”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的使用人數進行大數據分析，其中共享單車使用的人數分別為x1，x2，x3，x100，它們的平均數為，方差為s2：其中掃碼支付使用的人數分別為3x12,3x22，3x32，3x1002，它們的平均數為，方差為s2，則，s2分別為(c)a32,3s22

18、b3，3s2c32,9s2d32,9s22解析(1)中位數為：150(170150)155.該組數據的平均數為0.005201200.015201400.020201600.005201800.003202000.00220220156.8.(2)由題可知，中位數為：89，先求平均數：90，s2(12)2(11)2(6)2(4)2(3)2(3)212428282929253.5，故中位數為：89，方差為53.5，故選：b(3)顯然32，而每個數據上都加上或減去相同數不影響方差，但每個數據都乘以a，則方差變為原方差的a2倍，故選c考點四折線圖師生共研例4 (多選題)(2021河南頂級名校模擬改編

19、)如圖是某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖，根據該折線圖，下列結論不正確的是(bcd)a連續三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天b這15天日平均溫度的極差為15 c由折線圖能預測16日溫度要低于19 d由折線圖能預測本月溫度小于25 的天數少于溫度大于25 的天數解析a選項，日平均溫度的方差的大小取決于日平均溫度的波動的大小，7,8,9三日的日平均溫度的波動最大，故日平均溫度的方差最大，正確；b選項，這15天日平均溫度的極差為18 ，b錯；c選項，由折線圖無法預測16日溫度是否低于19 ，故c錯誤；d選項，由折線圖無法預測本月溫度小于25 的天數是否少于溫度大于25 的天

20、數，故d錯誤故選b、c、d名師點撥折線圖可以顯示隨時間(根據常用比例放置)而變化的連續數據，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數據的趨勢變式訓練4(多選題)甲乙兩名同學在本學期的六次考試成績統計如圖，甲乙兩組數據的平均值分別為甲、乙，則(bc)a每次考試甲的成績都比乙的成績高b甲的成績比乙穩定c甲一定大于乙d甲的成績的極差大于乙的成績的極差解析第二次考試甲的成績比乙低，a錯；由圖可知甲的成績比乙的成績波動小，b正確，d錯；甲的平均成績顯然比乙的平均成績高，c正確；故選b、c名師講壇素養提升高考與頻率分布直方圖例5 (2021安徽省池州市期末)高三年級某班50名學生期中考試數學成績的頻率分布直方

21、圖如圖所示，成績分組區間為：80,90)，90,100)，100,110)，110,120)，120,130)，130,140)，140,150其中a，b，c成等差數列且c2a，物理成績統計如表(說明：數學滿分150分，物理滿分100分)分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數6920105(1)根據頻率分布直方圖，請估計數學成績的平均分；(2)根據物理成績統計表，請估計物理成績的中位數；(3)若數學成績不低于140分的為“優”，物理成績不低于90分的為“優”，已知本班中至少有一個“優”同學總數為6人，從此6人中隨機抽取3人記x為抽到兩個“優”的學生人數，求x的分布列和期望值解析(1)根據頻率分布直方圖得，(ab2c0.0240.0200.004)10 1，又因ac2b，c2a，解得a0.008，b0.012，c0.016，故數學成績的平均分850.04950.