1、第三講空間點、直線、平面之間的位置關系知識梳理雙基自測知識點一平面的基本性質公理1：如果一條直線上的_兩點_在一個平面內，那么這條直線在這個平面內公理2：過_不共線_的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們_有且只有一條_過該點的公共直線知識點二空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言aba相交關系圖形語言符號語言abaaal獨有關系圖形語言符號語言a，b是異面直線a知識點三異面直線所成角、平行公理及等角定理(1)異面直線所成的角定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間中任一點o作直線aa，bb，把a與b所成的_銳角

2、或直角_叫做異面直線a與b所成的角范圍：.(2)平行公理平行于同一條直線的兩條直線_平行_.(3)等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角_相等或互補_.異面直線的判定定理過平面內一點與平面外一點的直線和這個平面內不經過該點的直線是異面直線用符號可表示為：若l，a，b，bl，則直線ab與l是異面直線(如圖)題組一走出誤區(qū)1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.()(2)兩個平面，有一個公共點a，就說，相交于過a點的任意一條直線()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合()(4)經過兩條相交

3、直線，有且只有一個平面()(5)兩兩相交的三條直線共面()(6)若a，b是兩條直線，是兩個平面，且a，b，則a，b是異面直線()題組二走進教材2(必修2p52b組t1)如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，ad的中點，則異面直線b1c與ef所成角的大小為(c)a30b45c60d90解析連接b1d1，d1c，則b1d1ef，故d1b1c即為所求的角又b1d1b1cd1c，b1d1c為等邊三角形，d1b1c60.故選c3(必修2p45例2)如圖，在三棱錐abcd中，e，f，g，h分別是棱ab，bc，cd，da上的點，(1)若且，則e、f、g、h是否共面_共面_.(2)若

4、e、f、g、h分別為棱ab、bc、cd、da的中點，當ac，bd滿足條件_acbd_時，四邊形efgh為菱形；當ac，bd滿足條件_acbd且acbd_時，四邊形efgh為正方形題組三走向高考4(2019新課標)如圖，點n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點，則(b)abmen，且直線bm，en是相交直線bbmen，且直線bm，en是相交直線cbmen，且直線bm，en是異面直線dbmen，且直線bm，en是異面直線解析點n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，m是線段ed的中點，bm平面bde，en平面bde，bm是bde中de邊上的中線，

5、en是bde中bd邊上的中線，直線bm，en是相交直線，設de a，則bda，平面ecd平面abcd，bea，bma，ena，bmen，故選b5(2017新課標)已知直三棱柱abca1b1c1中，abc120，ab2，bccc11，則異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為(c)abcd解析解法一：如圖所示，補成四棱柱abcda1b1c1d1，連dc1、bd，則dc1ab1，bc1d即為異面直線ab1與bc1所成的角，由題意知bc1，bd，c1d，bcbd2c1d2，dbc190，cosbc1d.故選c解法二：(向量法)如圖建立空間直角坐標系，則b(0,0,0)，a(2,0,0)，b1(0,0,

6、1)，c1，從而(2,0,1)，記異面直線ab1與bc1所成角為，則cos ，故選c解法三：如圖所示，分別延長cb，c1b1至d，d1，使bdbc，b1d1b1c1，連接dd1，b1d由題意知，c1b b1d，則ab1d即為異面直線ab1與bc1所成的角連接ad，在abd中，由ad2ab2bd22abbdcosabd，得ad.又b1dbc1，ab1，cosab1d.考點突破互動探究考點一平面基本性質的應用自主練透例1 如圖，在空間四邊形abcd中，e，f分別是ab，ad的中點，g，h分別在bc，cd上，且bggcdhhc12.(1)求證：e，f，g，h四點共面；(2)設eg與fh交于點p，求證

7、：p，a，c三點共線解析(1)證明：e，f分別為ab，ad的中點，efbd在bcd中，ghbd，efgh.e，f，g，h四點共面(2)egfhp，peg，eg平面abc，p平面abc同理p平面adcp為平面abc與平面adc的公共點又平面abc平面adcac，pac，p，a，c三點共線注：本題(2)可改為：求證ge、hf、ac三線共點名師點撥1證明空間點共線問題的方法(1)公理法：一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上(2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上2點、線共面的常用判定方法(1)納入平面法：先確定一個平面，

8、再證明有關點、線在此平面內(2)輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合3證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點變式訓練1如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，aa1的中點求證：(1)e，c，d1，f四點共面；(2)ce，d1f，da三線共點解析(1)如圖，連接ef，cd1，a1b因為e，f分別是ab，aa1的中點，所以efa1b又a1bcd1，所以efcd1，所以e，c，d1，f四點共面(2)因為efcd1，efcd1，所以ce與d1f必相交，設交點為p，則由pce，ce平面abcd，得p

9、平面abcd同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，所以p直線da所以ce，d1f，da三線共點.考點二空間兩條直線的位置關系師生共研例2 (1)(2019上海)已知平面、兩兩垂直，直線a、b、c滿足：a，b，c，則直線a、b、c不可能滿足以下哪種關系(b)a兩兩垂直b兩兩平行c兩兩相交d兩兩異面(2)如圖所示，正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別為棱c1d1，c1c的中點，有以下四個結論：直線am與cc1是相交直線；直線am與bn是平行直線；直線bn與mb1是異面直線；直線am與dd1是異面直線其中正確的結論為_(注：把你認為正確的結論序號都填上)解析(1)如圖1

10、，可得a、b、c可能兩兩垂直；如圖2，可得a、b、c可能兩兩相交；如圖3，可得a、b、c可能兩兩異面；故選b(2)因為點a在平面cdd1c1外，點m在平面cdd1c1內，直線cc1在平面cdd1c1內，cc1不過點m，所以am與cc1是異面直線，故錯；取dd1中點e，連接ae，則bnae，但ae與am相交，故錯；因為b1與bn都在平面bcc1b1內，m在平面bcc1b1外，bn不過點b1，所以bn與mb1是異面直線，故正確；同理正確，故填.名師點撥1異面直線的判定方法(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線

11、異面此法在異面直線的判定中經常用到(2)判定定理法：平面外一點a與平面內一點b的連線和平面內不經過點b的直線是異面直線2判定平行直線的常用方法(1)三角形中位線的性質(2)平行四邊形的對邊平行(3)平行線分線段成比例定理(4)公理：若ab，bc，則ac.變式訓練2(1)(2021甘肅診斷)如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的ab，cd，ef，gh在原正方體中互為異面直線的有_3_對(2)(多選題)(2021湘潭調研改編)下圖中，g，n，m，h分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線gh，mn是異面直線的圖形是(bd)解析(1)畫出該正方體的直觀圖如圖所示，其

12、中異面直線有(ab，gh)，(ab，gd)，(gh，eb)故共有3對故答案為：3.(2)圖a中，直線ghmn；圖b中，g，h，n三點共面，但m平面ghn，nhg，因此直線gh與mn異面；圖c中，連接mg，gmhn，因此gh與mn共面；圖d中，g、m、n共面，但h平面gmn，gmn因此gh與mn異面，故選b、d考點三異面直線所成的角師生共研例3 (1)(2021廣西玉林模擬)如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為a1b1，cd的中點，則異面直線d1e與a1f所成的角的余弦值為(a)abcd(2)(2021山東泰安模擬)如圖，在三棱錐abcd中，abacbdcd3，adbc2，點m，

13、n分別為ad，bc的中點，則異面直線an，cm所成的角的余弦值是(c)abcd(3)若兩條異面直線a、b所成角為60，則過空間一點o與兩異面直線a、b所成角都為60的直線有_3_條解析(1)解法一：(平移法)如圖，連接be，bf、d1f，由題意知bed1f為平行四邊形，d1ebf，異面直線d1e與a1f所成角為a1f與bf所成銳角，即a1fb，連接a1b，設ab2，則在a1bf中，a1b2，bf，a1f3，cosa1fb.異面直線d1e與a1f所成的角的余弦值為.故選a解法二：(向量法)如圖建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2，異面直線d1e與a1f所成角為，則(2,1,0)，(2,1，

14、2)，cos .故選a(2)連接nd，取nd的中點e，連接me，則mean，異面直線an，cm所成的角就是emc，an2，meen，mc2，又ennc，ec，cosemc.故選c(3)如圖，過o分別作aa，bb，則a，b所成角為60，如圖易知過o與a、b所成角都為60的直線有3條，即與a，b所成角都為60的直線有3條引申1本例(2)中mn與bd所成角的余弦值為_.解析取cd的中點h，連dn，nh，mh，則nhbd，hnm為異面直線mn與bd所成的角，由題意知an2，從而mn，又nhmh，coshnm.引申2本例(3)中與異面直線a、b所成角都為75的直線有_4_條注：本例中，若直線與異面直線所

15、成角都為，則(1)0時，0條；(2)時，1條；(3)時，2條；(4)時，4條；(5)時，1條名師點撥求異面直線所成角的方法1平移法(1)一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角(3)三求：解三角形，求出所作的角注：為便于作出異面直線所成角，可用補形法，如將三棱柱補成四棱柱；注意余弦定理的應用2向量法建立空間直角坐標系，利用公式|cos |求出異面直線的方向向量的夾角若向量夾角是銳角或直角，則該角即為異面直線所成角；若向量夾角是鈍角，則異面直線所成的角為該角的補角變式訓練3(1)(2021山西運城調研)如圖，等邊abc為圓錐的軸截面，d為ab的中點，

16、e為弧bc的中點，則直線de與ac所成角的余弦值為(c)abcd(2)(2021黑龍江師大附中期中)直三棱柱abca1b1c1中，abac，abacaa1，則直線a1b與ac1所成角的大小為(b)a30b60c90d120解析(1)取bc的中點o，連接oe，od，d為ab的中點，odac，edo即為de與ac所成的角，由e為的中點得oebc，又平面abc平面bce，oe平面abc，從而oeod，設正abc的邊長為2a，則odaoe，cosedocos ，故選c(2)解法一：(平移法)在直三棱柱abca1b1c1中，連接a1c，a1cac1o，則o為a1c的中點，取bc的中點h，連接oh，則oh

17、a1b，aoh或其補角即為直線a1b與ac1所成的角設abacaa11，則bc，易得aoahoh，三角形aoh是正三角形，aoh60，即異面直線所成角為60.故選b解法二：(向量法)如圖建立空間直角坐標系，不妨設ab1，a1b與ac1所成角為，則(1,0，1)，(0,1,1)，cos .60，故選b名師講壇素養(yǎng)提升空間幾何體的截面問題例4 (原創(chuàng))e、f分別為正方體abcda1b1c1d1的棱cc1、c1d1的中點，若ab6，則過a、e、f三點的截面的面積為_.解析作直線ef分別與直線dc、dd1相交于p、q，連ap交bc于m，連aq交a1d1于n，連接nf、me.則五邊形amefn即為過a、e、f三點的截面由題意易知apaq，pq9，sapq，又meaq，且，smpesqnfsapq，samefnsapq.名師點撥