1、第十章 曲線積分與曲面積分10.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、求曲線從到任意點(diǎn)間的那段弧的質(zhì)量，設(shè)它各點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方成反比，且在點(diǎn)處的密度為。 （） 二、計(jì)算下列曲線積分：1. ，其中為旋輪線：（）。 （）2. ，其中是頂點(diǎn)為的三角形邊界。 （）3. ，其中是由極坐標(biāo)曲線所圍成的區(qū)域的邊界曲線。 （）4. ，其中由直線：及螺線組成。 （）三、 計(jì)算 ，其中是由所圍成的第一象限部分的邊界。 （）四、 計(jì)算 ，其中是圓：。 （）五、 計(jì)算 ，其中由直線及曲線所圍成的第一象限部分的整個(gè)邊界。 （）10.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、設(shè)一質(zhì)點(diǎn)處于彈性力場(chǎng)中，彈力方向指向原點(diǎn)，彈力大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)

2、的距離成正比，比例系數(shù)為。若質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)沿橢圓在第一象限部分移動(dòng)到點(diǎn)，求彈力所做的功。 （）二、計(jì)算曲線積分 ，其中是拋物線沿增加的方向。 （）三、 計(jì)算 ，其中是曲線從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。 （）四、 計(jì)算 ，其中是曲線從點(diǎn)到點(diǎn)的一段。 （）五、 計(jì)算 ，其中，為圓的上半部分，為是一段拋物線。 （）六、 計(jì)算 ，其中是由直線和兩個(gè)坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形閉路，沿逆時(shí)針?lè)较颉?（）七、 計(jì)算 ，其中是曲線從到的一段弧。 （）八、已知平面力場(chǎng)，將單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)沿直線移動(dòng)到橢圓在第一象限上，問(wèn)終點(diǎn)在何處時(shí)，力做功最大？并求出功的最大值。 （）10.3 格林公式及其應(yīng)用一、 利用曲線積分計(jì)算由旋輪線 （）

3、與軸所圍區(qū)域的面積。 （）二、 利用格林公式計(jì)算下列曲線積分：1. ，其中是頂點(diǎn)為的三角形的邊界，沿逆時(shí)針?lè)较颉?（）2. ，其中是圓周的逆時(shí)針?lè)较颉?（）3. ，其中是從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿圓周的逆時(shí)針?lè)较虻近c(diǎn)。 （）4. ，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，是連接點(diǎn)和的任何路徑，且與直線所圍成的區(qū)域的面積為定值，總是位于直線的左方。 （）三、 求 ，其中為正方形的逆時(shí)針?lè)较颉?（）四、設(shè)曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，求，并計(jì)算積分。 （）五、求 ，其中是的上半圓，由點(diǎn)到點(diǎn)的弧段。 （）六、求 ，其中是以為頂點(diǎn)的三角形的正向邊界曲線。 （）七、證明：在面上是某一函數(shù)的全微分，并求。 （）

4、八、求拋物線與軸所圍區(qū)域的面積。 （）九、設(shè)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。 （）10.4 對(duì)面積的曲面積分一、 計(jì)算下列曲面積分：1. ，其中是球面。 （）2. ，其中是平面在第一卦限部分。 （）3. ，其中是由圓錐面和平面所圍成的圓錐體的表面。 （）4. ，其中是圓錐面被圓柱面所截下的那塊曲面。 （）5. ，其中是拋物面（）。 （）6. ，其中是曲面（）在第一卦限的部分。 （）二、求上半球殼的質(zhì)量，此殼的面密度。 （）三、求均勻曲面的重心坐標(biāo)。 （）10.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 化為對(duì)面積的曲面積分：1. 為平面在第一卦限部分的上側(cè)。 （）2. 為球面的內(nèi)側(cè)

5、。 （）二、 計(jì)算，其中為連續(xù)函數(shù)，為直角平行六面體的表面外側(cè)。（）三、 計(jì)算，其中為圓柱面在兩卦限內(nèi)被平面及所截部分的外側(cè)。 （）四、 計(jì)算，其中為圓錐面及平面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界的外側(cè)。 （）五、 計(jì)算，其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè)。 （）10.6 高斯公式 通量與散度一、利用高斯公式計(jì)算曲面積分：1. ，其中是由和三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體的外側(cè)表面。 （）2. ，其中是橢球面的外側(cè)。 （）二、求向徑通過(guò)圓錐體（）全表面外側(cè)的通量。 （）三、求，其中是球面的上半部分的外側(cè)。 （）四、求其中是球面的下半部分的上側(cè)，常數(shù)，可導(dǎo)。 （）五、求 ，其中是下半球面的上側(cè)。 （）六、計(jì)算 ，其中為有向曲面，其法向量與軸正向的夾角為銳角。 （）七、求下列向量場(chǎng)的散度：1. （）2. ，其