1、誤差實際誤差實際誤差實際誤差實際 丈量儀器丈量儀器丈量方法丈量方法丈量人員丈量人員 真值：真值： 一個量在被觀測時，它本身所具有的真實大小稱為真值。一個量在被觀測時，它本身所具有的真實大小稱為真值。 總是未知的丈量值丈量值 - - 真值真值 = = 偏向偏向 偏向服從什么規律呢？偏向服從什么規律呢？誤差實際，數據處置，處理實驗誤差實際，數據處置，處理實驗丈量中儀器設備的選型等問題。丈量中儀器設備的選型等問題。 VTHdTdp2mvaplnRTHdTpdln(p/p) = - vapHm/RT + C Clapeyrong equation，由熱力學導出，是嚴厲的。 Clausius-Clape

2、yrong eq. 假定假定vapHm 與溫度無關與溫度無關 式中，式中，C為積分常數。為積分常數。 近似性：近似性：Vm(g)Vm(l)；氣體設為理想氣體；氣體設為理想氣體誤差實際誤差實際 vapHm = - R斜率斜率現實上，現實上，vapHm= f(T)，即，即vapHm是溫度的函數，有是溫度的函數，有對于純流體物質，對于純流體物質， vapHm(Tc, pc) = 0。物質的物質的 vapHm數據也可以經過量熱法測得。數據也可以經過量熱法測得。誤差實際誤差實際 根本概念根本概念 量與單位量與單位 量quantity的定義： 景象、物理或物質的可以定性區別和可以定量確定的一種屬性。量是物

3、理量的簡稱，凡是可以定量描畫的物理景象都是物理量。 量有兩個根本特征：量有兩個根本特征： 一是可定性區別；二是可定量確定。如幾一是可定性區別；二是可定量確定。如幾何量、力學量、電學量、熱學量等，有物理屬性的差別；定量確定是何量、力學量、電學量、熱學量等，有物理屬性的差別；定量確定是指確定詳細的量的大小，要定量確定，就要在同一類量中選出某一特指確定詳細的量的大小，要定量確定，就要在同一類量中選出某一特定的量作為一個，稱之為單位定的量作為一個，稱之為單位unit的參考量，那么在這同一類中的參考量，那么在這同一類中的任何其他量，都可用一個數與這個單位的乘積表示，而這個數就稱的任何其他量，都可用一個數

4、與這個單位的乘積表示，而這個數就稱為該量的數值。由數值乘單位就稱為某一量的量值。為該量的數值。由數值乘單位就稱為某一量的量值。 誤差實際誤差實際 量有標量和矢量之分。關于量的單位與數值，有量有標量和矢量之分。關于量的單位與數值，有 Q = Q Q 式中，式中，Q為某一物理量的符號，為某一物理量的符號，Q為物理量為物理量 Q的某一單位的符號；的某一單位的符號；而而Q那么是以單位那么是以單位Q表示量表示量Q的數值。如體積的數值。如體積V=10 m3，即，即V=10，V=m3。單位用正體字母表示。單位用正體字母表示。 物理量的單位須一同參與數學運算，如將物理量的單位須一同參與數學運算，如將10mol

5、某理想氣體密封某理想氣體密封在一個在一個10 m3的容器中，那么在的容器中，那么在300K時該容器內的壓力為時該容器內的壓力為 p=10 mol8.314 Jmol-1K-1300 K/10 m3 = 2 494.2 Pa 在對數和指數函數的表達式中，應將物理量的單位一并寫入，如以在對數和指數函數的表達式中，應將物理量的單位一并寫入，如以p表示壓力表示壓力Pa， k表示一級化學反響的速率常數表示一級化學反響的速率常數s-1，那么，那么ln(p/Pa)、ln(k/s-1)是正確的表示，而是正確的表示，而lnp、lnk的表示是錯誤的。的表示是錯誤的。 特別留意！特別留意！物理量均用斜體字物理量均用

6、斜體字母表示！母表示！誤差實際誤差實際 丈量方法丈量方法 直接丈量直接丈量 將被丈量的量直接與同一類量進展比較的方法稱為直接丈量。將被丈量的量直接與同一類量進展比較的方法稱為直接丈量。 假設被測的量直接由丈量儀器的讀數決議，儀器的刻度就是被丈假設被測的量直接由丈量儀器的讀數決議，儀器的刻度就是被丈量的尺度，那么稱這種方法為直接讀數法。量的尺度，那么稱這種方法為直接讀數法。 如用米尺丈量某物體的長度，用溫度計丈量某體系的溫度，用電如用米尺丈量某物體的長度，用溫度計丈量某體系的溫度，用電壓表測電壓等，都可以直接讀出數據。壓表測電壓等，都可以直接讀出數據。 假設計量器具的示值是從對照曲線或表格中讀出

7、的，那么這種丈假設計量器具的示值是從對照曲線或表格中讀出的，那么這種丈量仍被看作是直接丈量。量仍被看作是直接丈量。誤差實際誤差實際 間接丈量間接丈量 許多被測的量不能直接與規范的單位尺度進展比較，而是要根據許多被測的量不能直接與規范的單位尺度進展比較，而是要根據其他量的丈量結果，再援用一些原理、公式、圖表等計算得出，這種其他量的丈量結果，再援用一些原理、公式、圖表等計算得出，這種丈量就是間接丈量。丈量就是間接丈量。 如經過測定某化學反響在一定溫度和壓力等條件下到達平衡時反如經過測定某化學反響在一定溫度和壓力等條件下到達平衡時反響物和生成物的濃度，就可得到其平衡常數響物和生成物的濃度，就可得到其

8、平衡常數Kp，在一樣壓力和不同，在一樣壓力和不同溫度下測得反響的溫度下測得反響的Kp，就可得到一定溫度范圍內該反響的規范摩爾，就可得到一定溫度范圍內該反響的規范摩爾焓變焓變rHm。 誤差實際誤差實際 組合丈量組合丈量 當丈量的目的有多個時，那么要經過直接丈量的結果或間接丈量的實驗當丈量的目的有多個時，那么要經過直接丈量的結果或間接丈量的實驗值建立方程組，再經過解聯立方程組求得被丈量的量值，這就是組合丈量方值建立方程組，再經過解聯立方程組求得被丈量的量值，這就是組合丈量方法。法。 例如，實踐氣體的緊縮因子例如，實踐氣體的緊縮因子Z(p, T)可表示為可表示為32)()()(1),(pTDpTCp

9、TBTpZ 要確定上式中的第二、第三、第四要確定上式中的第二、第三、第四維里系數，就需求對所研討氣維里系數，就需求對所研討氣體的體的pVT數據進展多次丈量，實測的量為數據進展多次丈量，實測的量為 p、V和和T，由實測的，由實測的pVT數據數據擬合可得到擬合可得到 B(T)、C(T)、D(T)，。 誤差實際誤差實際 丈量與檢定的區別丈量與檢定的區別 丈量：丈量： 為確定被測對象的量值而進展的實驗過程稱為丈量。為確定被測對象的量值而進展的實驗過程稱為丈量。檢定：檢定： 為評定計量器具的度量性能準確度、穩定度、靈敏度等并確定為評定計量器具的度量性能準確度、穩定度、靈敏度等并確定其能否合格所進展的全部

10、任務稱為檢定。其能否合格所進展的全部任務稱為檢定。 丈量與檢定是兩個不同的概念，但兩者又有聯絡，由于檢定時要對被檢丈量與檢定是兩個不同的概念，但兩者又有聯絡，由于檢定時要對被檢計量器具的各項技術目的進展丈量，而其丈量誤差要比對被檢目的的額定允計量器具的各項技術目的進展丈量，而其丈量誤差要比對被檢目的的額定允許誤差小得多。因此，從丈量的觀念看，檢定是丈量任務在計量任務中的一許誤差小得多。因此，從丈量的觀念看，檢定是丈量任務在計量任務中的一種運用，并且是準確度較高的丈量。種運用，并且是準確度較高的丈量。 只能用上一級準確度較高的儀器對下一級準確度較低的儀器進展檢定，只能用上一級準確度較高的儀器對下

11、一級準確度較低的儀器進展檢定，經過檢定將量值從國家基準逐級傳送給各級以致任務儀器，因此檢定能到達經過檢定將量值從國家基準逐級傳送給各級以致任務儀器，因此檢定能到達量值傳送的目的。對一臺儀器進展檢定，要確定該儀器各項技術目的能否到量值傳送的目的。對一臺儀器進展檢定，要確定該儀器各項技術目的能否到達規定的要求，從而確定該儀器合格或不合格。達規定的要求，從而確定該儀器合格或不合格。誤差實際誤差實際 只能用上一級準確度較高的儀器對下一級準確度較低的儀器進只能用上一級準確度較高的儀器對下一級準確度較低的儀器進展檢定，經過檢定將量值從國家基準逐級傳送給各級以致任務儀器，展檢定，經過檢定將量值從國家基準逐級

12、傳送給各級以致任務儀器，因此檢定能到達量值傳送的目的。對一臺儀器進展檢定，要確定該儀因此檢定能到達量值傳送的目的。對一臺儀器進展檢定，要確定該儀器各項技術目的能否到達規定的要求，從而確定該儀器合格或不合格。器各項技術目的能否到達規定的要求，從而確定該儀器合格或不合格。國家規范計量局國家規范計量局 省、市、縣計量局省、市、縣計量局 傳送性傳送性誤差實際誤差實際 系統誤差系統誤差 這種誤差是指在一樣實驗條件下，對同一物理量進展多次丈量時，丈這種誤差是指在一樣實驗條件下，對同一物理量進展多次丈量時，丈量結果的平均值與被丈量的真值之差。系統誤差是由實驗過程中某種固定量結果的平均值與被丈量的真值之差。系

13、統誤差是由實驗過程中某種固定緣由呵斥的，并且具有單向性，即大小、正負都有一定的規律性。緣由呵斥的，并且具有單向性，即大小、正負都有一定的規律性。 系統誤差的特點系統誤差的特點 系統誤差是一個非隨機變量，即系統誤差的出現不服從統計規律系統誤差是一個非隨機變量，即系統誤差的出現不服從統計規律 而服從確定的函數規律而服從確定的函數規律反復丈量時，誤差會反復出現反復丈量時，誤差會反復出現 由于系統誤差的重現性，因此決議了它具有可修整的特點由于系統誤差的重現性，因此決議了它具有可修整的特點 誤差實際誤差實際 產生系統誤差的緣由產生系統誤差的緣由 方法誤差：是指實驗方法本身呵斥的誤差，如援用了近似公式。方

14、法誤差：是指實驗方法本身呵斥的誤差，如援用了近似公式。 儀器誤差：由丈量儀器的缺陷所引起，如氣壓計的真空度不夠高，儀器誤差：由丈量儀器的缺陷所引起，如氣壓計的真空度不夠高， 溫度計未經校正，溫度計未經校正，UV分光光計所用波長不準等呵斥的誤分光光計所用波長不準等呵斥的誤 差。這類誤差可經過檢定的方法來校正。差。這類誤差可經過檢定的方法來校正。 試劑誤差：由于試劑不純或配制溶液用的蒸餾水不純、試劑含有被試劑誤差：由于試劑不純或配制溶液用的蒸餾水不純、試劑含有被 測物或其他干擾物等引起的誤差。測物或其他干擾物等引起的誤差。 操作誤差：由于實驗人員的操作不熟練，或個人的習慣和特點所引操作誤差：由于實

15、驗人員的操作不熟練，或個人的習慣和特點所引 起的誤差，如察看儀器刻度時視野偏高或偏低、偏左或起的誤差，如察看儀器刻度時視野偏高或偏低、偏左或 偏右，記錄某一物理量值的時間總是滯后。偏右，記錄某一物理量值的時間總是滯后。誤差實際誤差實際 系統誤差的分類系統誤差的分類 固定系統誤差。如用天平進展丈量時，砝碼所產生的誤差為衡定常固定系統誤差。如用天平進展丈量時，砝碼所產生的誤差為衡定常 值，故為固定系統誤差。值，故為固定系統誤差。 線性變化的系統誤差，隨著丈量次數添加而成線性添加或減小的系統線性變化的系統誤差，隨著丈量次數添加而成線性添加或減小的系統 誤差。誤差。如用尺量布，假設此尺比規定的長度短如

16、用尺量布，假設此尺比規定的長度短1 mm即即=1 mm，那么，那么 在丈量過在丈量過程中每進展一次丈量就產生一個絕對誤差程中每進展一次丈量就產生一個絕對誤差1 mm，這樣被測的，這樣被測的 布愈長，丈量的布愈長，丈量的次數愈多，那么產生的絕對誤差愈大，成線性地添加。次數愈多，那么產生的絕對誤差愈大，成線性地添加。 周期性變化的系統誤差。數值與符號作周期性改動的誤差稱為周期性周期性變化的系統誤差。數值與符號作周期性改動的誤差稱為周期性 變化的變化的系統誤差。這種誤差的符號由正變到負，數值由大變到小至零系統誤差。這種誤差的符號由正變到負，數值由大變到小至零 再變大，這樣再變大，這樣反復地變化著。反

17、復地變化著。 變化規律復雜的系統誤差。誤差出現的規律無法用簡單的數學解析式變化規律復雜的系統誤差。誤差出現的規律無法用簡單的數學解析式 表示的表示的系統誤差稱為變化規律復雜的系統誤差。系統誤差稱為變化規律復雜的系統誤差。 誤差實際誤差實際 消除或減小系統誤差的途徑消除或減小系統誤差的途徑 經過改良丈量方法來消除或減小系統誤差。如采用純度高的試劑經過改良丈量方法來消除或減小系統誤差。如采用純度高的試劑 或進展空白實驗，可校正試劑誤差。或進展空白實驗，可校正試劑誤差。 經過適當的數據處置來消除或減小系統誤差。如半周期讀數法就經過適當的數據處置來消除或減小系統誤差。如半周期讀數法就 可以消可以消除周

18、期性變化的系統誤差，由于誤差的周期性變化，經過除周期性變化的系統誤差，由于誤差的周期性變化，經過 180后誤差就變后誤差就變號。號。 經過引入修正值減小系統誤差。對固定的或變化很小的系統誤經過引入修正值減小系統誤差。對固定的或變化很小的系統誤 差，可以引入修正值對系統誤差進展修正，從而減小系統誤差。差，可以引入修正值對系統誤差進展修正，從而減小系統誤差。 但要留意，不是任何情況下得到的修正值都能提高丈量精度，只但要留意，不是任何情況下得到的修正值都能提高丈量精度，只 有被修整的系統誤差遠大于其偶爾誤差時，才干經過運用修正值有被修整的系統誤差遠大于其偶爾誤差時，才干經過運用修正值 而提高精度。而

19、提高精度。 誤差實際誤差實際 一個儀器的系統誤差，普通情況下比其偶爾誤差大，因此一個儀器的系統誤差，普通情況下比其偶爾誤差大，因此如何發現存在系統誤差與消除或減小系統誤差對提高儀器丈量如何發現存在系統誤差與消除或減小系統誤差對提高儀器丈量精度是很有意義的。精度是很有意義的。 要發現和確定衡定的系統誤差，獨一的方法是用更高一級要發現和確定衡定的系統誤差，獨一的方法是用更高一級準確度的規范儀器對其進展檢定。檢定方法是用規范儀器和被準確度的規范儀器對其進展檢定。檢定方法是用規范儀器和被檢儀器同測一個穩定的量。檢儀器同測一個穩定的量。 報告的丈量結果不應含有系統誤差！報告的丈量結果不應含有系統誤差！誤

20、差實際誤差實際 隨機誤差隨機誤差 即使系統誤差已被校正，但在一樣條件下對同一物理量進展多次等即使系統誤差已被校正，但在一樣條件下對同一物理量進展多次等精度丈量時，仍會發現測定值之間存在微小偏向，偏向的大小與正負號都精度丈量時，仍會發現測定值之間存在微小偏向，偏向的大小與正負號都是不固定的，此類誤差稱為隨機誤差。是不固定的，此類誤差稱為隨機誤差。 隨機誤差又稱為偶爾誤差，它是由某些難以控制、無法防止的偶爾隨機誤差又稱為偶爾誤差，它是由某些難以控制、無法防止的偶爾要素呵斥的。如察看溫度時呈現微小的起伏，室內氣壓的動搖、濕度的變要素呵斥的。如察看溫度時呈現微小的起伏，室內氣壓的動搖、濕度的變化、灰塵

21、等環境條件改動都會引起丈量結果的動搖，操作人員感官分辨才化、灰塵等環境條件改動都會引起丈量結果的動搖，操作人員感官分辨才干的限制會導致反復丈量所得結果之間存在偏向。干的限制會導致反復丈量所得結果之間存在偏向。 誤差實際誤差實際 隨機誤差服從正態分布規律，具有以下幾點性質：隨機誤差服從正態分布規律，具有以下幾點性質： 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的次數多；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的次數多； 絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數幾乎一樣；絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數幾乎一樣； 在一定丈量條件下，丈量次數一定時，隨機誤差的絕對值不會超在一定丈量條件下，丈量次數一定時，隨機誤差

22、的絕對值不會超越一定界限；越一定界限； 同一量的等精度丈量，其隨機誤差的算術平均值隨著丈量次數的同一量的等精度丈量，其隨機誤差的算術平均值隨著丈量次數的添加而無限地趨向于零。添加而無限地趨向于零。 誤差的正態分布曲線誤差的正態分布曲線 誤差實際誤差實際 為了減小隨機誤差，應反復多次平行實驗并取結果的平均值，以為了減小隨機誤差，應反復多次平行實驗并取結果的平均值，以提高丈量的精細度和重現性。在消除了系統誤差的前提下，多次丈量提高丈量的精細度和重現性。在消除了系統誤差的前提下，多次丈量結果的平均值更接近真值。結果的平均值更接近真值。丈量時丈量時x真x 只需丈量次數足夠多，在消除了系統誤差和過失誤差

23、的前提下，只需丈量次數足夠多，在消除了系統誤差和過失誤差的前提下，丈量結果的算術平均值丈量結果的算術平均值 趨近于真值趨近于真值 ,有有真xxnlim誤差實際誤差實際 正態分布曲線正態分布曲線 假設以誤差出現次數假設以誤差出現次數N 對規范偏向對規范偏向 作圖作圖, 得到一條對稱曲線得到一條對稱曲線. 統計結果闡明，丈量結果的偏向大于統計結果闡明，丈量結果的偏向大于 3 的概率不大于的概率不大于0.3%。因此，根。因此，根據小概率定理，凡誤差大于據小概率定理，凡誤差大于 3 的點，均可以作為過失誤差導致的數據而的點，均可以作為過失誤差導致的數據而剔除。剔除。 1)(12nxxnii誤差實際誤差

24、實際 嚴厲而言，只需在丈量次數到達100次以上時方可如此處置，粗略地也可用于15次以上的丈量，而丈量次數為1015次時可用 2 ，假設丈量次數更少，應酌情遞減。 過失誤差過失誤差 實驗中，由于操作人員的大意大意或未按規程進展實驗所呵斥的誤差，實驗中，由于操作人員的大意大意或未按規程進展實驗所呵斥的誤差，如用錯試劑、讀錯或記錯數據、計算錯誤等，這些都是不應該出現的景象，如用錯試劑、讀錯或記錯數據、計算錯誤等，這些都是不應該出現的景象，稱之為過失誤差。這類誤差不屬于丈量誤差的范疇，無規律可循，只需實稱之為過失誤差。這類誤差不屬于丈量誤差的范疇，無規律可循，只需實驗人員操作和處置數據時仔細細心，是完

25、全可以防止的。驗人員操作和處置數據時仔細細心，是完全可以防止的。 系統誤差和過失誤差是可以防止的，而偶爾誤差在實驗中總是存在、系統誤差和過失誤差是可以防止的，而偶爾誤差在實驗中總是存在、不可完全防止的，但最正確實驗結果應該只含有偶爾誤差。不可完全防止的，但最正確實驗結果應該只含有偶爾誤差。誤差實際誤差實際 準確度和精細度準確度和精細度 準確度準確度accuracy 是指所丈量的結果的準確性，即丈量結果偏離量的真值的程度。是指所丈量的結果的準確性，即丈量結果偏離量的真值的程度。量的真值是理想的概念，普通地是不能夠確切地知道的。實踐上，量量的真值是理想的概念，普通地是不能夠確切地知道的。實踐上，量

26、子效應可排除獨一的真值。因此，這里的真值是指用已消除系統誤差子效應可排除獨一的真值。因此，這里的真值是指用已消除系統誤差的實驗方法和儀器進展多次丈量所得算術平均值或文獻手冊中的公認的實驗方法和儀器進展多次丈量所得算術平均值或文獻手冊中的公認值。準確度以誤差大小來衡量，即誤差小，準確度高，反之亦然。值。準確度以誤差大小來衡量，即誤差小，準確度高，反之亦然。 誤差實際誤差實際 精細度精細度precision 簡稱為精度，是指在一定條件下進展多次丈量時所得丈量結果的簡稱為精度，是指在一定條件下進展多次丈量時所得丈量結果的可反復性和丈量值有效數字的位數，即表示丈量結果彼此之間符合的可反復性和丈量值有效

27、數字的位數，即表示丈量結果彼此之間符合的程度，用偏向表示，偏向越小，精細度越高。程度，用偏向表示，偏向越小，精細度越高。 丈量的精細度和準確度是有區別的，高的精細度不能保證有高的丈量的精細度和準確度是有區別的，高的精細度不能保證有高的準確度，但高準確度必需有高精細度來保證。準確度，但高準確度必需有高精細度來保證。 ABC精細度與準確度表示圖精細度與準確度表示圖 誤差實際誤差實際 A、B、C表示三種打靶實驗結果。中心區是靶心，表示三種打靶實驗結果。中心區是靶心，表示準確值，各點那么為打靶實驗值。表示準確值，各點那么為打靶實驗值。A表示精細度和準表示精細度和準確度都高；確度都高；B表示精細度高但準

28、確度不高；表示精細度高但準確度不高；C表示精細度表示精細度和準確度都不高。我們也可以這樣說，和準確度都不高。我們也可以這樣說，A的偏向和誤差都的偏向和誤差都小，小，B 的偏向小而誤差大，的偏向小而誤差大，C的偏向和誤差都大。的偏向和誤差都大。 由上可知，精細度是對平均值而言的，其大小用偏由上可知，精細度是對平均值而言的，其大小用偏向這個概念表示。準確度是對真值而言的，其大小用誤差向這個概念表示。準確度是對真值而言的，其大小用誤差這個概念表示。這個概念表示。結論結論誤差實際誤差實際 誤差誤差 任何物理量的實驗都不能夠測得絕對準確的數值，丈量值與真值之間存在一個差值，稱為丈量誤差，它常用絕對誤差和

29、相對誤差表示。 誤差的表示方法誤差的表示方法 絕對誤差絕對誤差 絕對誤差絕對誤差 表示丈量值與真值之差，有表示丈量值與真值之差，有0 xx 丈量值丈量值真值真值 與與 x 具有一樣的量剛具有一樣的量剛誤差實際誤差實際 相對誤差相對誤差 000 xxxx 相對誤差有以下特點：相對誤差有以下特點： 相對誤差是一個比值，其值大小與被丈量所取的單位無關；相對誤差是一個比值，其值大小與被丈量所取的單位無關；能反映誤差的大小與方向；能更確切地反映出丈量任務的精細程能反映誤差的大小與方向；能更確切地反映出丈量任務的精細程度。這是由于相對誤差不僅與絕對誤差的大小有關，同時與被丈度。這是由于相對誤差不僅與絕對誤

30、差的大小有關，同時與被丈量的數值大小有關。假設被丈量值越大，那么相對誤差就越小，量的數值大小有關。假設被丈量值越大，那么相對誤差就越小，因此用相對誤差來表示丈量結果的準確度更確切。因此用相對誤差來表示丈量結果的準確度更確切。 誤差實際誤差實際 客觀存在的真值難以準確獲得，因此在實踐任務中常用客觀存在的真值難以準確獲得，因此在實踐任務中常用“規范值規范值、實踐值或商定真值來替代真值。、實踐值或商定真值來替代真值。“規范值是采用多種可靠分析規范值是采用多種可靠分析方法，由具有豐富閱歷的操作人員反復多次丈量的準確結果，如國家方法，由具有豐富閱歷的操作人員反復多次丈量的準確結果，如國家規范物質給定值；

31、滿足規定準確度的、用來替代真值運用的量值稱為規范物質給定值；滿足規定準確度的、用來替代真值運用的量值稱為實踐值，如常用規范方法經過多次反復丈量所得結果的算術平均值作實踐值，如常用規范方法經過多次反復丈量所得結果的算術平均值作為實踐值；為了給定目的，可以替代真值的量值稱為商定真值。普通為實踐值；為了給定目的，可以替代真值的量值稱為商定真值。普通說來，商定真值被以為是非常接近真值的，就給定目的而言，其差值說來，商定真值被以為是非常接近真值的，就給定目的而言，其差值可以忽略不計。可以忽略不計。 誤差實際誤差實際 絕對偏向和相對偏向絕對偏向和相對偏向 xx %100%100 xxxxniinxx1/為

32、為 n 次丈量結果的算術平均值次丈量結果的算術平均值 單次丈量的結果單次丈量的結果 絕對偏向是指單次丈量結果與平均值的偏向，相對偏向是指絕對絕對偏向是指單次丈量結果與平均值的偏向，相對偏向是指絕對偏向在平均值中所占的百分率，兩者只能用來衡量單次丈量結果對平偏向在平均值中所占的百分率，兩者只能用來衡量單次丈量結果對平均值的偏離程度。均值的偏離程度。 留意留意!誤差實際誤差實際 平均偏向和相對平均偏向平均偏向和相對平均偏向 nnii1%100 xxxii i 為第為第 i 次丈量值與平均值的絕對偏向次丈量值與平均值的絕對偏向 誤差實際誤差實際 極差和相對極差極差和相對極差 minmaxxxR%10

33、0RxRRxmax、xmin分別為一組丈量結果中的最大值和最小值分別為一組丈量結果中的最大值和最小值 極差極差 R 也稱為全距也稱為全距. 用極差表示丈量數據的精細度不夠貼切，但其計算簡單，在食用極差表示丈量數據的精細度不夠貼切，但其計算簡單，在食品分析中有時運用。品分析中有時運用。誤差實際誤差實際 規范偏向和相對規范偏向規范偏向和相對規范偏向 對于一樣實驗條件下等精度的一組丈量值，對于一樣實驗條件下等精度的一組丈量值，xi, i=1,2, , n, 其規范偏向其規范偏向 為為1)(12nxxnii式中，式中， n-1稱為自在度。用稱為自在度。用 f 表示。規范偏向又稱規范誤差或均表示。規范偏

34、向又稱規范誤差或均方根誤差。方根誤差。誤差實際誤差實際 x相對規范偏向相對規范偏向 RS是指規范偏向在平均值是指規范偏向在平均值 中所占的百分數。中所占的百分數。 %100SxRx 規范偏向 是對有限丈量次數而言的，表示各丈量值與平均值 的偏離。 對于無限次數丈量，需用總體規范偏向對于無限次數丈量，需用總體規范偏向 ，其計算式為，其計算式為nxxnii12)(誤差實際誤差實際 平均值的規范偏向平均值的規范偏向nx)( x誤差實際誤差實際 )( xx)( x)( x 丈量次數丈量次數 n 越多，越多， 就越小，即就越小，即 越可靠。越可靠。 所以，添加丈量次數可提高丈量的精細度，所以，添加丈量次

35、數可提高丈量的精細度， 與與 的比值隨的比值隨 n 的添加減少很快。但當的添加減少很快。但當 n 5后，后， 與與 的比值就變化緩慢了。的比值就變化緩慢了。實踐任務中測定次數無需過多，通常實踐任務中測定次數無需過多，通常46次測定就可以了。次測定就可以了。 或然誤差或然誤差 326745. 0 在一組等精度丈量中，假設某一偶爾誤差具有這樣的特性：絕對值在一組等精度丈量中，假設某一偶爾誤差具有這樣的特性：絕對值比它大的誤差個數與絕對值比它小的誤差個數一樣，那么這個誤差比它大的誤差個數與絕對值比它小的誤差個數一樣，那么這個誤差 就稱為或然誤差，也就是說，全部誤差按絕對值大小順序陳列，中間的就稱為或

36、然誤差，也就是說，全部誤差按絕對值大小順序陳列，中間的那個誤差就稱為或然誤差那個誤差就稱為或然誤差 。當偶爾誤差服從正態分布，且丈量次數。當偶爾誤差服從正態分布，且丈量次數較多時，有較多時，有誤差實際誤差實際 平均偏向的優點是計算簡便，但用這種誤差表示時，能夠會把質量不高的丈平均偏向的優點是計算簡便，但用這種誤差表示時，能夠會把質量不高的丈量值掩蓋住。量值掩蓋住。 規范偏向是運用最廣的、可靠的精細度表示方式，它能準確地反映丈量數據規范偏向是運用最廣的、可靠的精細度表示方式，它能準確地反映丈量數據之間的離散特性，比平均偏向更靈敏地反映出丈量結果中較大偏向的存在，之間的離散特性，比平均偏向更靈敏地

37、反映出丈量結果中較大偏向的存在，又比極差更充分地反映了全部數據的信息。又比極差更充分地反映了全部數據的信息。 或然誤差在反映丈量數據的離散性方面的效果最差。或然誤差在反映丈量數據的離散性方面的效果最差。因此，表示精細度的較好方法是采用規范偏向。因此，表示精細度的較好方法是采用規范偏向。 誤差實際誤差實際 誤差和偏向是兩個不同的概念，誤差是以真值做規范，偏向是以多次誤差和偏向是兩個不同的概念，誤差是以真值做規范，偏向是以多次測定值的平均值做規范。然而，由于真值是無法準確知道的，故常以多次測定值的平均值做規范。然而，由于真值是無法準確知道的，故常以多次測定結果的平均值替代真值進展計算。顯然，這樣算

38、出來的還是偏向。正測定結果的平均值替代真值進展計算。顯然，這樣算出來的還是偏向。正因如此，人們就不再強調誤差與偏向的區別，普通統稱為誤差。因如此，人們就不再強調誤差與偏向的區別，普通統稱為誤差。 普通用平均偏向和規范偏向表示丈量結果的精細度。丈量結果用絕普通用平均偏向和規范偏向表示丈量結果的精細度。丈量結果用絕對偏向表示為對偏向表示為 xx xx或或式中，平均偏向式中，平均偏向 和規范偏向和規范偏向 普通以一位數字最多兩位表示。普通以一位數字最多兩位表示。相對偏向表示為：平均相對偏向相對偏向表示為：平均相對偏向= ，相對規范偏向相對規范偏向= 。%100 x%100 x誤差實際誤差實際 在討論

39、問題時，常籠統地只說“誤差，沒指明是絕對誤差或相對誤差，相對誤差是沒有單位的，并且普通都是用“表示；如誤差帶有單位，那么指的是絕對誤差。留意！留意！誤差實際誤差實際 誤差分析誤差分析 間接丈量結果的平均誤差和相對平均誤差間接丈量結果的平均誤差和相對平均誤差 數據的測定除了少數可在儀器上直接讀出外，絕大多數都要將直接丈數據的測定除了少數可在儀器上直接讀出外，絕大多數都要將直接丈量所得的數據，經過某種函數關系推算出我們所需的量。由于所做的直接量所得的數據，經過某種函數關系推算出我們所需的量。由于所做的直接丈量常會有誤差，故用它算出來的量也會有誤差，即所謂誤差傳送。丈量常會有誤差，故用它算出來的量也

40、會有誤差，即所謂誤差傳送。 誤差傳送的規律可用微分法來提示。誤差傳送的問題，實踐上是自誤差傳送的規律可用微分法來提示。誤差傳送的問題，實踐上是自變量變量 x 的變化引原因變量的變化引原因變量 y 的變化的問題。當自變量有無限小的變化的變化的問題。當自變量有無限小的變化 dx時，由此而引原因變量時，由此而引原因變量 y 發生無限小的變化發生無限小的變化 dy，兩者之關系是，兩者之關系是 dy = ydx。誤差雖不是無限小的變化，但可做同樣的近似處置。即：。誤差雖不是無限小的變化，但可做同樣的近似處置。即： dy = y，dx = x。 誤差實際誤差實際 加減運算加減運算 xay, a 為常數，為

41、常數， 由于由于dy/dx = 1, . xy 乘除運算乘除運算 y=ax, 由于由于dy/dx=a, 故故y=a x, 于是有于是有 。xxyy設函數設函數 z = F(x, y)，其中，其中 x, y是可直接丈量的量，那么有是可直接丈量的量，那么有 yyFxxFzxyddd此為誤差傳送的根本公式。此為誤差傳送的根本公式。 誤差實際誤差實際 假設假設 x、 y 為為 x、y 的丈量誤差，它們引起量的丈量誤差，它們引起量 z 的誤差為的誤差為 z，設它們均足夠小，可替代設它們均足夠小，可替代dx、dy、dz，那么得到一些簡單函數的誤差，那么得到一些簡單函數的誤差計算公式，見實驗教材。計算公式，

42、見實驗教材。 誤差實際誤差實際 例例2-1 用毛細管升高法測定液體的外表張力，得到以下數據：毛用毛細管升高法測定液體的外表張力，得到以下數據：毛細管半徑細管半徑 r = (0.150 0.001)mm, 毛細管中液體上升的高度毛細管中液體上升的高度h = (63.2 0.1)mm, 液體的密度液體的密度 = (0.968 0.002)gcm-3, 重力加速度重力加速度 g = (9.81 0.01)ms-2。 問液體的外表張力的丈量結果是多少？問液體的外表張力的丈量結果是多少？解：計算液體的外表張力，有解：計算液體的外表張力，有2sm81. 9mkg968m0632. 0m10150. 022

43、33grh0 .451mmN最大相對誤差為最大相對誤差為 011. 081. 901. 0968. 0002. 02 .631 . 0150. 0001. 0gghhrr=1.1% 1mmN0 .45011. 0011. 0=0.5 mNm-1 故液體外表張力的丈量結果為故液體外表張力的丈量結果為 = (45.00.5) mNm-1 從以上計算結果可看出，毛細管半徑丈量的誤差最大，假設要進從以上計算結果可看出，毛細管半徑丈量的誤差最大，假設要進一步提高實驗丈量精度，須在此項丈量中尋覓更高精度的丈量手段。一步提高實驗丈量精度，須在此項丈量中尋覓更高精度的丈量手段。 誤差實際誤差實際 誤差實際誤差

44、實際 誤差實際誤差實際 誤差實際誤差實際 從直接丈量值的誤差看，最大的誤差來源是溫度差的丈量。從直接丈量值的誤差看，最大的誤差來源是溫度差的丈量。而溫度差丈量的相對誤差取決于測溫的精度和溫差的大小。測溫而溫度差丈量的相對誤差取決于測溫的精度和溫差的大小。測溫精度遭到溫度計精度和操作條件及技術的限制。添加溶質的量可精度遭到溫度計精度和操作條件及技術的限制。添加溶質的量可使凝固點下降值增大，即能增大溫差，但溶液濃度的添加不符合使凝固點下降值增大，即能增大溫差，但溶液濃度的添加不符合上述公式要求為稀溶液的條件，從而會引入另一系統誤差。從計上述公式要求為稀溶液的條件，從而會引入另一系統誤差。從計算結果

45、可知，由于溶劑用量較大，運用工業天平其相對誤差依然算結果可知，由于溶劑用量較大，運用工業天平其相對誤差依然不大，而溶質因其用量少，就須用分析天平稱量。不大，而溶質因其用量少，就須用分析天平稱量。 討論討論誤差實際誤差實際 間接丈量結果的規范偏向間接丈量結果的規范偏向 設函數設函數 z = F(x, y), x、y 的規范偏向為的規范偏向為 、 ，那么，那么 z 的規范偏向為的規范偏向為 xy2/12222yxxyzyFxF部分函數的規范偏向計算公式見實驗教材。部分函數的規范偏向計算公式見實驗教材。 誤差實際誤差實際 例例2-5 摩爾折射度摩爾折射度 。今測得。今測得20時苯的折射率時苯的折射率

46、 MnnR21220002. 05010. 1n，密度，密度 問苯的摩爾折射度的實驗結果為多少？問苯的摩爾折射度的實驗結果為多少？)0001. 08792. 0(gcm-3。解：苯的摩爾質量為解：苯的摩爾質量為 11.78Mgmol-1。我們有。我們有 13132222molcm23.44molcm)25010. 1 (5010. 168792. 011.7826nnMnR116116222222molgcm77.29molgcm8792. 011.7825010. 115010. 121MnnRn誤差實際誤差實際 13212222212222molcm0001. 0)77.29(0002.

47、023.44nnRRnR13molcm01. 013132222molcm17.26molcm8792. 011.7825010. 115010. 121MnnR苯的摩爾折射度的實驗結果為苯的摩爾折射度的實驗結果為 )01. 017.26(Rcm3mol-1 。誤差實際誤差實際 有效數字有效數字 在直接丈量中，每一種儀器都有它能夠到達的精在直接丈量中，每一種儀器都有它能夠到達的精細限制，這個精細限制，就是儀器的最小分度。如細限制，這個精細限制，就是儀器的最小分度。如1/10、050的水銀溫度計，其最小分度是的水銀溫度計，其最小分度是0.1，就，就是說，它的精細度是是說，它的精細度是0.1，在分

48、度之間還可以進展估，在分度之間還可以進展估計，顯然這個估計是不一定可靠的。如圖計，顯然這個估計是不一定可靠的。如圖2-4，溫度，溫度計內水銀凸形彎月面的最高點處在計內水銀凸形彎月面的最高點處在21.221.3之間，之間，讀取讀取21.25，其中前面三位數字是可以讀準的，而第，其中前面三位數字是可以讀準的，而第四位是估計出來的，有人能夠讀取四位是估計出來的，有人能夠讀取6，也有人能夠讀，也有人能夠讀取取4，因此是可疑的，因此讀數，因此是可疑的，因此讀數21.25只是準確值的只是準確值的近似值。近似值。溫度計讀數表示圖溫度計讀數表示圖 有效數字有效數字 有效數字的表達應與丈量儀器的精細度及丈量方法

49、相順應。從有效數字的表達應與丈量儀器的精細度及丈量方法相順應。從溫度計的最小分度為溫度計的最小分度為0.1 可知，其讀數應記錄到小數點后第二位可知，其讀數應記錄到小數點后第二位21.25 。 在丈量和數值的計算中，一些人往往有這樣的想法：在一個數據中，小數點后面的位數愈多，那么精細度愈高；在計算結果中，保管的位數愈多，這個結果就愈精細。上述想法對嗎？為什么？上述想法對嗎？為什么？有效數字有效數字 實踐上，上述兩個想法都是錯誤的。實踐上，上述兩個想法都是錯誤的。 第一種想法的錯誤在于沒弄清小數點的位置不是決議精細度第一種想法的錯誤在于沒弄清小數點的位置不是決議精細度的規范，小數點的位置僅僅與所用

50、的單位有關。例如，記長度為的規范，小數點的位置僅僅與所用的單位有關。例如，記長度為18.10 cm與與0.1810 m的精細度完全一樣。第二種錯誤在于不了解一的精細度完全一樣。第二種錯誤在于不了解一切的丈量，由于儀器和我們感觀的限制，只能做到一定的精細度。切的丈量，由于儀器和我們感觀的限制，只能做到一定的精細度。這個精細度，一方面決議于所用儀器刻度的精細程度，另一方面這個精細度，一方面決議于所用儀器刻度的精細程度，另一方面也與我們所用的方法有關。也與我們所用的方法有關。 因此，在計算結果中，無論寫多少位數，決不能夠使精細度因此，在計算結果中，無論寫多少位數，決不能夠使精細度添加到超越丈量所能允

51、許的范圍。反之，表示一個數值時書寫位添加到超越丈量所能允許的范圍。反之，表示一個數值時書寫位數過少，低于丈量所能到達的精細度，同樣是錯誤的，由于它不數過少，低于丈量所能到達的精細度，同樣是錯誤的，由于它不能正確反映實驗的精細度，準確寫法應按丈量的精細度來表示，能正確反映實驗的精細度，準確寫法應按丈量的精細度來表示，即寫出的位數除末位數字為可疑的估計數外，其他各位數字都是即寫出的位數除末位數字為可疑的估計數外，其他各位數字都是確切知道的。確切知道的。 有效數字有效數字 關于關于“0能否為有效數字的問題。例如，滴定管讀數能否為有效數字的問題。例如，滴定管讀數30.05 mL，及，及天平稱量為天平稱

52、量為1.201 0 g中，一切中，一切“0都是有效數字；而在長度為都是有效數字；而在長度為0.003 20m中，前面三個中，前面三個“0均非有效數字，由于這些均非有效數字，由于這些“0只與所取的單位有關，只與所取的單位有關，而與丈量的精細度無關，假設改用而與丈量的精細度無關，假設改用mm為單位，那么前面三個為單位，那么前面三個“0全部全部消逝，變為消逝，變為3.20 mm，故有效數字實踐位數為三位。，故有效數字實踐位數為三位。數據數據1320，其有效數字應為四位，誤差在，其有效數字應為四位，誤差在0.5以內。以內。而數據而數據0.370的有效數字為三位，其誤差在的有效數字為三位，其誤差在0.0

53、005以內。假設將以內。假設將0.370寫寫為為0.37，那么有效數字少了一位，其誤差在，那么有效數字少了一位，其誤差在0.005以內，將所表示的數以內，將所表示的數據精度變低了，這是不允許的；反之，也不能將據精度變低了，這是不允許的；反之，也不能將0.37寫成寫成0.370。有效數字有效數字 在轉換單位時，有效數字的在轉換單位時，有效數字的“數目應不會減少或添加。例如，數目應不會減少或添加。例如，29.80L等于等于29 800mL，顯然，后者后面兩個，顯然，后者后面兩個“0中的頭一個中的頭一個“0是有是有效數字，第二個效數字，第二個“0那么不是有效數字。單寫那么不是有效數字。單寫29 80

54、0mL，這兩個，這兩個“0是不是有效數字，就不清楚了。為了分清后面的是不是有效數字，就不清楚了。為了分清后面的“0是不是有效數字，是不是有效數字，普通采用這樣的記錄方法：將小數點移到第一個有效數字之后再乘普通采用這樣的記錄方法：將小數點移到第一個有效數字之后再乘10的假設干次方，例如，的假設干次方，例如，29.8 L=2.98104 mL，29.80 L=2.980104 mL。這樣就顯示出前者有三位有效數字，后者那么有四位有效數字。這樣就顯示出前者有三位有效數字，后者那么有四位有效數字。 為正確地反映量值，記錄數據時數據的位數應適當。位數太少會為正確地反映量值，記錄數據時數據的位數應適當。位

55、數太少會增大數據的誤差，位數太多又會對數據的精度產生誤解。增大數據的誤差，位數太多又會對數據的精度產生誤解。有效數字有效數字 對于普通的數據，應按有效數字取舍規那么確定對于普通的數據，應按有效數字取舍規那么確定數據的位數。此時，由書寫出的數據可斷定數據的誤數據的位數。此時，由書寫出的數據可斷定數據的誤差應在末位的半個單位以內。如，數據差應在末位的半個單位以內。如，數據3.47的誤差在的誤差在0.005以內，數據以內，數據0.073的誤差在的誤差在0.0005以內。以內。 由上可見，按有效數字確定數據位數表述了數據由上可見，按有效數字確定數據位數表述了數據的精度，這是規定有效數字的本質意義。的精

56、度，這是規定有效數字的本質意義。有效數字有效數字 有一個問題需求闡明，有些數值寫的雖是有限的有效數字，但它是完有一個問題需求闡明，有些數值寫的雖是有限的有效數字，但它是完全正確的，其有效數字可看作無限多。例如，全正確的，其有效數字可看作無限多。例如，H2O中的中的2。手冊中常列。手冊中常列出某種數據隨溫度或濃度的變化關系，如水在出某種數據隨溫度或濃度的變化關系，如水在20 時的密度時的密度0.998 25 kgL-1，這個，這個20 也不能看作只需兩位有效數字，而應看作所謂也不能看作只需兩位有效數字，而應看作所謂“給定給定值，沒有誤差。誠然，溫度的丈量是有誤差的，但如今闡明的是在值，沒有誤差。

57、誠然，溫度的丈量是有誤差的，但如今闡明的是在20 時的密度是多少，一切的實驗誤差都算在密度上，用密度的數據來反時的密度是多少，一切的實驗誤差都算在密度上，用密度的數據來反映實驗的精細度。同樣，在討論詳細問題時，常指明映實驗的精細度。同樣，在討論詳細問題時，常指明 “在在2 L的容器中、的容器中、“用用10 kg水之類的條件，這里的水之類的條件，這里的2、10同樣也是給定值，當作沒有誤差。同樣也是給定值，當作沒有誤差。有效數字有效數字 記錄丈量數據時，普通只保管一位可疑數字，但記錄丈量數據時，普通只保管一位可疑數字，但有時為防止由于計算而引起的誤差，可以保管兩位有時為防止由于計算而引起的誤差，可

58、以保管兩位可疑數字，此時把第二個可疑數字寫小一些，寫底可疑數字，此時把第二個可疑數字寫小一些，寫底一些。以資區別。有效數字確定后，其他數字應按一些。以資區別。有效數字確定后，其他數字應按一定運算規那么棄去。一定運算規那么棄去。有效數字有效數字 在記錄和處置實驗數據、撰寫實驗研討報告時，必需遵守以下有效數在記錄和處置實驗數據、撰寫實驗研討報告時，必需遵守以下有效數字運算規那么。字運算規那么。1在記錄測定數據和運算的結果時，只應保管一位可疑數字。記錄數在記錄測定數據和運算的結果時，只應保管一位可疑數字。記錄數字的位數應與所用丈量儀器和方法的精度相一致。當有效數字的位數確定字的位數應與所用丈量儀器和

59、方法的精度相一致。當有效數字的位數確定之后，它后面的數字應按之后，它后面的數字應按“四舍六入五雙單國家規范四舍六入五雙單國家規范GB/T 8170-1987的原那么取舍。即，有效數字后面一位是的原那么取舍。即，有效數字后面一位是4、3、2、1，那么舍去；是，那么舍去；是6、7、8、9，那么進，那么進1至前位數；有效數字后面位數正好是至前位數；有效數字后面位數正好是5，而前面一位數為奇，而前面一位數為奇數，那么前位數添加數，那么前位數添加1；當前一位數為偶數時那么舍棄不計。；當前一位數為偶數時那么舍棄不計。 例如，例如，27.024、34.036、57.0250、44.035，取四位有效數字時，

60、結果，取四位有效數字時，結果分別是分別是27.02四舍、四舍、34.04六入、六入、57.02五雙舍棄、五雙舍棄、44.04五單五單進入。進入。 按上述規那么舍入數字，可保證數據的舍入誤差最小，在數據運算按上述規那么舍入數字，可保證數據的舍入誤差最小，在數據運算中不會呵斥舍入誤差的迅速累積。中不會呵斥舍入誤差的迅速累積。有效數字有效數字 但對于表示精度的數據如規范偏向、誤差等，但對于表示精度的數據如規范偏向、誤差等，在去掉多余位數時，只入不舍。在去掉多余位數時，只入不舍。 例如，誤差例如，誤差0.24，假設取一位數字那么應寫為，假設取一位數字那么應寫為0.3，而不寫為而不寫為0.2。因此，假設