1、5.3 Z平面根軌跡設計平面根軌跡設計1 1. Z平面的根軌跡平面的根軌跡 計算機控制系統經過計算機控制系統經過Z變換以后，可表示為圖變換以后，可表示為圖5.12所所示示 圖圖5.12 計算機控制系統計算機控制系統 其中：其中： 為零階保持環節與被控對象的組合為零階保持環節與被控對象的組合Z傳遞函傳遞函數數. 為數字控制器為數字控制器Z傳遞函數。傳遞函數。( )DG zY(z)( )G z( )DG zZ平面根軌跡定義為：當系統的某個平面根軌跡定義為：當系統的某個參數參數（如開環增益（如開環增益)）由零到無窮大由零到無窮大變化變化時，其時，其閉環特征根閉環特征根的的集合集合。該系統的閉環該系統

2、的閉環Z傳遞函數為傳遞函數為閉環系統的特征方程式為閉環系統的特征方程式為 （5.62）( )( )( )( )( )1( )( )DDGz G zY zK zR zGz G z1( )( )0DGz G z將系統的開環將系統的開環Z傳遞函數寫成零極點形式傳遞函數寫成零極點形式 (5.63)式中式中 和和 分別為開環零極點數，分別為開環零極點數，m為零點數，為零點數，n為極點數，為極點數，K為根軌跡增益。為根軌跡增益。11()()()()mjjDniiKzzGz Gzzpjzip根據（根據（5.62）特征方程式，根軌跡特征方程為）特征方程式，根軌跡特征方程為即即 上式可表示為模值方程和相角方程：

3、上式可表示為模值方程和相角方程：( ) ( )1DGz G z 11()1()mjjniiKzzzp （5.64） 11|niimjjzpKzz及及 （5.65）其中其中()()11(21)jjmnz zz pjik0,1,2,k （5.65）式決定閉環系統根軌跡的充分必要條件）式決定閉環系統根軌跡的充分必要條件,而而(5.64)式主要是確定根軌跡上各點對應的開環增益值式主要是確定根軌跡上各點對應的開環增益值.根軌跡法根軌跡法是一種是一種圖解法圖解法,在已知系統在已知系統開環開環傳遞函數零丶極點分布的傳遞函數零丶極點分布的情況下情況下,研究系統的某個參數變化時研究系統的某個參數變化時,對閉環傳

4、遞函數極點對閉環傳遞函數極點分布的影響分布的影響(閉環極點能決定系統的穩定與否。閉環極點能決定系統的穩定與否。)Z平面上根軌跡的特點：平面上根軌跡的特點：（1）Z平面極點的密集度很高（因為無限大的平面極點的密集度很高（因為無限大的S左半平左半平面映射到有限的單位圓內），面映射到有限的單位圓內），Z平面上平面上2個很接近的極點個很接近的極點，對應的系統性能卻有較大的差別，因此，對應的系統性能卻有較大的差別，因此，要求根軌跡的要求根軌跡的計算精度較高計算精度較高，如表，如表5.2所示。所示。（2）在）在S 平面中，平面中，臨界放大系數臨界放大系數是由根軌跡與虛軸的交是由根軌跡與虛軸的交點求得，點求

5、得，Z平面的臨界放大系數則由根軌跡與單位圓的交平面的臨界放大系數則由根軌跡與單位圓的交點求得。點求得。（3）在離散系統中，只考慮閉環極點位置對系統動態）在離散系統中，只考慮閉環極點位置對系統動態性能的影響是不夠的，還需考慮性能的影響是不夠的，還需考慮零點零點對動態響應的影響。對動態響應的影響。()sTze 1 10 10 15100 150jj S平面平面極點極點位置位置Z平面極點位置平面極點位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045139.50450.9050.3680.368860.000045139.50.990.9050.9058.60.36

6、8850.9990.990.990.860.9058.6表表5.2 Z平面極點的密集度平面極點的密集度、 2.系統的動態指標和系統的動態指標和Z域極點位置的關系域極點位置的關系以二階系統為例（高階系統可近似二階系統）以二階系統為例（高階系統可近似二階系統） (5.66)其特征根為其特征根為 222( ) 0 pc：相位超前控制器,又可稱為高通濾波器，這時 Kc1 Zcpc：是相位滯后控制器，又可稱為低通濾器，這時Kc1 它們與相應的連續控制器的零、極點相對位置是一致的。 控制器零、極點分布圖示試湊法 在設計中，要根據系統性能要求，確定控制器的零極點和位置（超前或滯后），再根據開環脈沖傳遞函數D

7、(z)G(z)的零極點繪出閉環根軌跡，直至其進入期望的閉環極點允許范圍。在允許域中選擇滿足靜態指標要求的根軌跡段作為閉環工作的選擇區間。 然后進入第3步 進行數字仿真研究，檢驗閉環系統的動態響應。反復試湊，直至滿足要求。 設計舉例 ：例5.4 某數字隨動系統，被控對象的傳遞函數是 ( )(0.21)pkGsss 采樣周期T=0.2s,試設計一數字控制器,使系統滿足下列品質指標:%15%0.55rts1sts3vK (a) 超調量(b) 上升時間(c) 調節時間(d) 靜態速度誤差系數控制系統結構圖 No.1期望的閉環極點允許范圍 0.5173.5Re( )sstRe( )3.5s Re( )0

8、.5TsRe cosIm( )rarcstIm( )3.844s Im( )44Ts21/% e圖示No.2設計數字控制器D(z) （a）寫出組合被控對象的脈沖傳遞函數1( )(0.21)0.718 2 0.073 55(1)(0.367 8)sTekG zZssszkzz（b）進行第1次試探，令D(z)=1，此時系統的開環傳遞函數為0.073 55 (0.7182)(0.7182)( ) ( )(1)(0.3678)(1)(0.3678)k zzD z G zkzzzz其中，根軌跡增益 0.07355Kk畫出閉環根軌跡，由圖可見，系統的閉環根軌跡不能穿過允許域，因而不可能滿足動態品質要求。 第2次試探 令 0.3678( )czD zKz式（5.79）中采用D(z)的零點對消被控對象在0.3678的極點,同時配置了一個位于原點的新極點,以伸進根軌跡左移,進入允許域。這時，對消后的開環傳遞函數為(0.7182)(0.7182)( ) ( )0.07355(1)(1)czzD z G zkKKz zz z閉環根軌跡 確定根軌跡增益 根據1111(0.718 2)lim(1)( ) ( )lim(1)3(1)vzzK zK