1、把把 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個元個元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn個不同的元素的所有排列的種數用個不同的元素的所有排列的種數用 表示，表示，且且 nnP!nPn 逆序數為奇數的排列稱為逆序數為奇數的排列稱為奇排列奇排列，逆序數為，逆序數為偶數的排列稱為偶數的排列稱為偶排列偶排列在一個排列在一個排列 中，若數中，若數 ，則稱這兩個數組成一個則稱這兩個數組成一個逆序逆序 nstiiiii21stii 一個排列中所有逆序的總數稱為此排列的一個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆逆序數序數分別計算出排列中每個元素前面比它大的數分別計算出排列中每個元素前面比

2、它大的數碼個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，碼個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，每個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數每個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數方法方法2 2方法方法1 1分別計算出排在分別計算出排在 前面比它大的前面比它大的數碼之和，即分別算出數碼之和，即分別算出 這這 個元素個元素的逆序數，這的逆序數，這 個元素的逆序數之總和即為所求個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數排列的逆序數n,n,121 n,n,121 nn定義定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余元在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，稱為一次對換將相鄰兩個元素對調，素不動，稱為一次對換

3、將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換叫做相鄰對換定理定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性變奇偶性推論推論奇排列調成標準排列的對換次數為奇數，奇排列調成標準排列的對換次數為奇數，偶排列調成標準排列的對換次數為偶數偶排列調成標準排列的對換次數為偶數 nnnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212122221112111 ., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對表示對個排列的逆序數個排列的逆序數為這為這的一個排列的一個排列為自然數為自然數其中其中ntnppppppnn .,)1(21212121的

4、逆序數的逆序數為行標排列為行標排列其中其中亦可定義為亦可定義為階行列式階行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用數等于用數一數一數中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零則此行列式則此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有兩行如果行列式有兩行行列式變號行列式變號列列互換行列式的兩行互換行列式的兩行即即式相等式相等行列式與它的轉置行列行列式與它的轉置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不變行列式的值不變對應的元

5、素上去對應的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一數的各元素乘以同一數行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于兩個行列此行列式等于兩個行列則則的元素都是兩數之和的元素都是兩數之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式為零式為零則此行列則此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行提到行列式符號的外面提到行列式符號的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行）余子式與代數余子式）余子式與代數余子式.,)1(1 的代數余子式的代數余子式叫做元素叫做元素；記；記的余子式，記作的余子式，記作階行列式叫做元

6、素階行列式叫做元素列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的行和第行和第所在的第所在的第階行列式中，把元素階行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij ）關于代數余子式的重要性質）關于代數余子式的重要性質 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAjijiDDAijijnkjkaijkjnkaikki當當當當其中其中當當當當或或當當當當 ., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數項換成常數項列列中第中第）是把系數行列式）是把系數行列式（其中其中那么它有唯一解那

7、么它有唯一解的系數行列式的系數行列式如果線性方程組如果線性方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 克拉默法則的理論價值克拉默法則的理論價值., 0., 22112222212111212111唯一唯一那么它一定有解，且解那么它一定有解，且解的系數行列式的系數行列式如果線性方程組如果線性方程組 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必為零必為零解，則它的系數行列式解，則它的系數行列式解或有兩個不同的解或有兩個不同的如果上述線性方程組無如果上述線性方程組無定理定理定理定理., 0. 0, 0, 0 22

8、1122221211212111那么它沒有非零解那么它沒有非零解的系數行列式的系數行列式如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系數行列式必為零它的系數行列式必為零組有非零解，則組有非零解，則如果上述齊次線性方程如果上述齊次線性方程定理定理定理定理一、計算排列的逆序數一、計算排列的逆序數二、計算（證明）行列式二、計算（證明）行列式三、克拉默法則三、克拉默法則 .,并并討討論論奇奇偶偶性性的的逆逆序序數數求求排排列列kkkkkk 例例解解0 t kkk 21112,2k 當當 為偶數時，排列為偶排列，為偶數時

9、，排列為偶排列，k當當 為奇數時，排列為奇排列為奇數時，排列為奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k用定義計算（證明）用定義計算（證明）例例用行列式定義計算用行列式定義計算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 的非零元素分別得到的非零元素分別得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分別為行的元素分別為中第中第設設5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2;

10、 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元排列也不能組成，元排列也不能組成，一個一個在上述可能取的代碼中在上述可能取的代碼中因為因為評注評注本例是從一般項入手，將行標按標準本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法方法. 2于零于零還多，則此行列式必等還多，則此行列式必等素比素比階行列式中等于零的元階行列式中等于

11、零的元如果一個如果一個nnn 注意注意利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算例例3計算計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至冪次數便從冪次數便從則方則方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，遞升至遞升至而是由而是由變到變到序排列，但不是從序排列，但不是從次數自左至右按遞升次次數自左至右按遞升次方冪方冪數的不同方冪數的不同方冪

12、中各行元素分別是一個中各行元素分別是一個10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin評注評注本題所給行列式各行（列）都是某元本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數或其排列與范德蒙素的不同方冪，而其方冪次數或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質（如行列式不完全相同，需要利用行

13、列式的性質（如提取公因子、調換各行（列）的次序等）將此行提取公因子、調換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式用化三角形行列式計算用化三角形行列式計算例例4計算計算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得將將第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的

14、將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(評注評注本題利用行列式的性質，采用本題利用行列式的性質，采用“化零化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當選取便于化零的行（列）；若沒有，則可適當選取便于化零的數，或利用行列式性質將某行（列）中的某數的

15、數，或利用行列式性質將某行（列）中的某數化為化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質，以達到應充分利用這些特點，應用行列式性質，以達到化為三角形行列式之目的化為三角形行列式之目的，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcbaD 114324用降階法計算用降階法計算例例5計算計算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都減去第列都減去第、再將第再將第1432,0001)(4dadbdcdcbcac

16、dcbcbdbabdcbaD 行展開，得行展開，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再從從第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 列，得列，得列減去第列減去第再將第再將第12行展開，得行展開，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(評注評注本題是利用行列式的性質將所給行列本題是利用

17、行列式的性質將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數可降低可降低 1階，如此繼續進行，直到行列式能直接階，如此繼續進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）這種計算出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法對階數不高的數字行列式比較適用方法對階數不高的數字行列式比較適用用拆成行列式之和（積）計算用拆成行列式之和（積）計算例例6證明證明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin 證證. 0000si

18、nsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左邊左邊用遞推法計算用遞推法計算例例計算計算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成兩個行列式之和拆成兩個行列式之和列把列把依第依第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 從而從而得得列展開列展開第第右端的第二個行列式按右端的第二個行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個行列式右端的第一個行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn

19、由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此繼續下去，可得如此繼續下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時，還可改寫成時，還可改寫成當當021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 評注評注.1 1 .1,1 1的遞推關系的遞推關系列式更低階行列式之間列式更低階行列式之間階行階行，建立比，建立比階

20、更低階的行列式表示階更低階的行列式表示比比用同樣形式的用同樣形式的階行列式階行列式時，還可以把給定的時，還可以把給定的有有之間的遞推關系之間的遞推關系階行列式階行列式與與建立了建立了階行列式表示出來階行列式表示出來用同樣形式的用同樣形式的行列式行列式階階質把所給的質把所給的本題是利用行列式的性本題是利用行列式的性 nnDnDnDnDnnnnn用數學歸納法用數學歸納法例例證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 證證對階數對階數n用數學歸納法用數學歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結論成立結論成立時時當當

21、所以所以因為因為 nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現現將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數數等等于于下下證證對對的的行行列列式式結結論論成成立立假假設設對對階階數數小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設由歸納假設;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結論成立結論成立所以對一切自然數所以對一切自然數n評注評注.,)1(1,)(, 21同型的行列式同型的行列式是與是與不不否則所得的低階行列式否則所得的低階行列式展開展開列列或第或第行行按第按第不能不能展開展

22、開列列或第或第行行本例必須按第本例必須按第表示表示展開成能用其同型的展開成能用其同型的為了將為了將DnnDDDnnnn .,.,其猜想結果成立其猜想結果成立然后用數學歸納法證明然后用數學歸納法證明也可先猜想其結果也可先猜想其結果如果未告訴結果如果未告訴結果納法來證明納法來證明可考慮用數學歸可考慮用數學歸結論時結論時證明是與自然數有關的證明是與自然數有關的而要我們而要我們當行列式已告訴其結果當行列式已告訴其結果一般來講一般來講計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用在

23、計算時，首先要仔細考察行列式法綜合應用在計算時，首先要仔細考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質對它進行變在構造上的特點，利用行列式的性質對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法換后，再考察它是否能用常用的幾種方法小結小結當線性方程組方程個數與未知數個數相等、當線性方程組方程個數與未知數個數相等、且系數行列式不等于零時，可用克萊姆法則為且系數行列式不等于零時，可用克萊姆法則為了避免在計算中出現分數，可對有的方程乘以適了避免在計算中出現分數，可對有的方程乘以適當整數，把原方程組變成系數及常數項都是整數當整數，把原方程組變成系數及常數項都是整數的線性方程組后再求解的線性方程組后再求解.2

24、8)3(, 3)2(, 0)1( ),( fffxf使使求一個二次多項式求一個二次多項式例10例10解解設所求的二次多項式為設所求的二次多項式為,)(2cbxxaxf 由題意得由題意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的線性方程組的線性方程組數數這是一個關于三個未知這是一個關于三個未知cba.20,60,40, 020321 DDDD由克萊姆法則，得由克萊姆法則，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多項式為于是，所求的多項式為. 132)(2 xxxf證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數行列式從而有系數行列式的非零解的

25、非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點點設所給三條直線交于一設所給三條直線交于一必要性必要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM. 00, 0, 0 cbabaycxacybxcbyax條件是條件是相交于一點的充分必要相交于一點的充分必要直線直線證明平面上三條不同的證明平面上三條不同的 例11例11. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因為三條直線互不相同因為三條直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba. 00,唯

26、唯一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）到到第第三三個個方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個個方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從而有，從而有，于是，于是得得。由。由，則，則如果如果.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點點有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設設矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設設 cbbaccbabacba例例12有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每

27、千有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，鉀克，鉀2克；乙種化肥每千克含克；乙種化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，鉀克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮克；丙種化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，鉀克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要克若把此三種化肥混合，要求總重量求總重量23千克且含磷千克且含磷149克，鉀克，鉀30克，問三種化克，問三種化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解題意得方程組題意得方程組依依千克千克、各需各需設甲、乙、丙三種化肥設甲、乙、丙三種化肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,5

28、27 D此此方方程程組組的的系系數數行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx組組有有唯唯一一解解由由克克萊萊姆姆法法則則，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥).(40,1552.1355.1357.1360.133020100:.)(000000332210準準確確到到小小數數兩兩位位時時水水銀銀密密度度求求由由實實驗驗測測得得以以下下數數據據的的關關系系為為與與溫溫度度設設水水銀銀密密度度 thttatataathth例例1313)1(.52.132700090030,55.13800040

29、020,57 6 .13),(3210321032100 aaaaaaaaaaaaath得得方方程程組組將將測測得得的的數數據據分分別別代代入入解解)2(.008. 02700903,005. 0800402,003. 010010,60.133213213210 aaaaaaaaaa得得方方程程組組分分別別代代入入其其余余三三個個方方程程將將,12000 D此此方方程程組組的的系系數數行行列列式式.0000033. 0,00015. 0,0042. 0)2(,321 aaa的的唯唯一一解解得得方方程程組組由由克克萊萊姆姆法法則則,04. 0, 8 . 1,50321 DDD又又得得將將以以上上四四個個數數代代入入又又),(,60.130tha 由此得由此得.0000033. 000015. 00042. 060.13)(32tttth .46.13,56.13,40,15,00水銀密度分別為水銀密度分別為時時當當所以所以 t.46.13)40(,56.13)15( hh第一章第一章 測試題測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式則行則