1、單元教學設計：41指數一、內容和內容解析1內容n次方根的定義及性質，根式與分數指數冪的轉化，有理數指數冪的意義及其運算性質，無理數指數冪的意義及其運算性質 本單元內容可分2課時完成：第1課時，根式的概念及其性質；第2課時，根式與分數指數冪的轉化，有理數指數冪的含義及其運算性質，了解無理數指數冪的意義也可以先把“2課時內容”一氣呵成地學完，再進行練習等深化理解2內容解析學生初中已學習了數的開平方、開立方以及二次根式的概念，學習了正整數指數冪、零指數冪、負整數指數冪的概念，以及整數指數冪的運算法則本單元內容是在此基礎上，將平方根與立方根的概念推廣到n次方根，將二次根式的概念推廣到n次根式的概念，將

2、整數指數冪推廣到有理指數冪，進一步將指數的取值范圍推廣到實數，建立實數指數冪的概念，并研究其運算“指數”的內容安排在“指數函數與對數函數”一章的第一節，是為后面指數函數的學習奠定了基礎同時也為利用指數冪及其運算性質研究對數的運算性質，進而研究對數函數等做好準備基于以上分析，確定本單元的教學重點：n次根式、分數指數冪與根式的轉化、有理數指數冪的運算性質二、目標和目標解析1目標（1）經歷n次方根定義形成過程，理解根式，掌握根式的性質（2）掌握根式與分數指數冪之間的相互轉化（3）理解有理數指數冪的意義及其運算性質，并能運用有理數指數冪的運算性質，進行化簡求值，提升數學運算素養（4）了解無理數指數冪的

3、意義2目標解析達成上述目標的標志是：（1）通過與初中所學的知識，平方根、立方根進行類比，得出n次方根的概念，進而學習根式的性質，能夠正確的運用根式運算性質化簡、求值培養學生分類討論的數學思想（2）通過推理得出分數指數冪的概念和指數冪的性質，使學生了解由特殊到一般的類比法，培養學生運用“由特殊到一般的類比法”去解決問題的意識 （3）能夠將根式轉化為分數指數冪，再利用有理數指數冪進行化簡、求值，逐步提升數學運算素養三、教學問題診斷分析由于本節課主要是學習根式的有關知識，由根式轉化為分數指數冪，只有充分理解根式的概念、性質，才能正確進行根式、分數指數冪的化簡和運算，因此確定本節課的教學重點為“對根式

4、概念及性質的理解，運用根式、有理數指數冪的性質化簡、運算”由于“當n為偶數時，”這條性質學生得出和理解比較困難，運用的時候特別容易出錯，因此確定本節課將其設為教學難點四、教學過程設計4 11 n次方根與分數指數冪（一）n次方根概念的引入問題1：如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長，記作，像這樣以分數為指數的冪，其意義是什么? 會有怎樣的運算性質呢? 與整數指數冪有什么聯系和區別呢?設計意圖：問題蘊含了引進分數指數冪的必要性問題2：初中時平方根、立方根是如何定義的? 一個數的平方根有幾個，立方根呢?你能舉例說明嗎?舉例： 若 ，則，則 叫做4的平方根；若 ，則 ，則3叫做27的立方

5、根；若，則，則 -3 叫做27的立方根師生活動：通過舉例，教師和學生一起回顧初中學習的平方根、立方根概念設計意圖：復習初中學過的平方根、立方根概念，為n次方根學習做好鋪墊（二）n次方根概念及性質通過類比平方根、立方根與平方、立方之間的關系，可將平方根、立方根進一步推廣到n次方根師生活動：教師舉例： （1）因為，把叫做16的4次方根；（2）因為，把2叫做32的5次方根；（3）因為，把2叫做32的5次方根，從而得到n次方根的概念n次方根的概念:一般地，如果，那么x叫做a的n 次方根，其中n1，且nN*問題3.又該如何去表示a的n 次方根呢? 能否表示成? n的奇、偶對結論會不會有影響?師生活動：教

6、師舉例，學生觀察：32的5次方根表示為：；-32的5次方根可表示為：；16的正的4次方根可表示為：；16的負的4次方根可表示為：-416； 16的這兩個4次方根也可合并表示為：設計意圖：通過具體例子為載體，由特殊到一般，由具體到抽象，通過n 次方根的概念歸納其性質n次方根的性質：（1）當n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時的n次方根用符號表示（2）當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數，這時正數a的正的n次方根用符號表示，負的n次方根用表示正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成（）（3）負數沒有偶次方根（4）0的任何次方根都是0，記作師生活動：教

7、師給出根式定義：我們把式子 叫做根式，其中n叫做根指數，叫做被開方數追問（1）：思考： ?師生活動：由n次方根的意義，通過舉例：，得出結論 追問（2）： 表示的n次方根，等式一定成立嗎 ? 如果不一定成立， 那么? 師生活動：教師引導學生按照n為奇、偶數和符號進行分類談論：如:， ，當n為奇數時，又如： ， 當n為偶數時， ，歸納結論：設計意圖：通過學生探究，既能使學生深刻理解其結論，還能使學生體會分類討論思想 例1 求下列各式的值 （1） ； （2）； （3）師生活動：學生獨立思考，回答問題，教師進行訂正小結：當n為偶數時，化簡得到結果先取絕對值，然后再算具體的值，避免出現錯誤.設計意圖：通

8、過例題的完成鞏固n次方根的概念，以及前面探究得到的關于的性質（三)分數指數冪以上我們學習了n次方根的概念及其性質，下面我們再來研究n次方根與分數指數冪的關系.問題5：觀察以下式子，對于正數總結出相應的規律： 師生活動：引導學生觀察被開方數的指數與根指數的關系，學生回答，總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式，（即分數指數冪形式），教師評價追問：根式的被開方數不能被根指數整除時，根式是否也可以寫成分數指數冪的形式 ?師生活動：教師舉例：的條件下，學生思考后，教師予以肯定：根式的被開方數不能被根指數整除時，根式也可以寫成分數指數冪的形式教師給出：正數的正、負分

9、數指數冪的意義；0的正、負分數指數冪的意義：（1）正數的正分數指數冪的意義： （2）正數的負分數指數冪的意義：（3）規定：0的正分數指數冪等于0， 0的負分數指數冪沒有意義設計意圖： 為使得整數指數冪的性質能夠在有理數范圍內也成立，起到承上啟下的作用 師生活動：教師明確指出，整數指數冪的運算性質對于有理指數冪也同樣適用，即對于任意有理數r，s，均有下面的運算性質：；例2 求的值. 師生活動：學生獨立思考計算，教師給出解答示范教師引導，在計算此類問題時可先考慮將底數化成與指數的分母有關的指數冪的形式，然后再利用上述的運算性質進行化簡計算設計意圖：通過化簡計算，使學生熟悉有理數指數冪的運算性質例3

10、 用分數指數冪表示式子（其中）師生活動：學生獨立思考，教師給出解答示范師生共同歸納：根指數化為分數指數的分母，被開方數（式）的指數化為分數指數的分子；計算時通常先把根式轉化成分數指數冪的形式，再利用有理數指數冪的運算性質解題 設計意圖：熟悉根式與分數指數冪的轉化，及分數指數冪的運算性質例4 計算下列各式（式中字母都是正數）；師生活動：學生思考，教師給出解答示范，師生共同歸納：含有根式的式子，一般把根式統一化成分數指數冪的形式，以便于計算412無理數指數冪及其運算性質問題6：前面我們將中的指數x 的取值范圍從整數拓展到了有理數當指數x是無理數時，的意義是什么? 它是一個確定的數嗎? 如果是，那么它有什么運算性質?師生活動：完成教材第108頁的探究，通過有理數指數冪逐步逼近無理數指數冪的方法，認識無理數指數冪的意義師生得出結論：一般地，無理數指數冪是一個確定的實數設計意圖：通過探究，使學生直觀的體會從有理數指數冪逐漸逼近的過程，更能理解無理數指數冪是一個確定的實數很自然的將中的指數x的取值范圍從有理數指數冪拓展到了實數教師給出實數指數冪的運算性質（見教材第108頁）（四）單元小結、布置作業教師引導學生回顧本節所學知識，并引導學生回答下面的問題：（1）請用結構框圖表示本節所學的知識（2）請舉例說明n次方根的性質，正數的正、負分數指數冪的意義，實數指數冪的運算性質.設計意