1、2 微分方程及其解的幾何解釋 內(nèi)容簡介 本節(jié)給出微分方程及其解的幾何解釋關(guān)鍵詞 積分曲線，線素場，等斜線 目的與要求 弄清方向場和微分方程的積分曲線的幾何意義四 教學(xué)過程 由 1 可以看到，給定平面上一個單參數(shù)曲線族f (x,y,C) 0 ，可以通過求微分得方程f dx fdy 0 。從這兩個方程消去任意常數(shù) C ，即得此曲線族所滿足的一階微分方程。 反過來，當(dāng)某些一階微分方程的通解或通積分已經(jīng)找到后，也可以用平面上的一個曲線族來表示它。 現(xiàn)對一階微分方程dydxf (x,y)(2.1)來討論求解此方程的幾何意義。設(shè)有一平面區(qū)域 G (可能就是全平面) ， f (x, y)是G內(nèi)給定連續(xù)函數(shù)。

2、設(shè) (2.1)有一解: y (x) (x I) (2.2)其中 I 是這個解的存在區(qū)間。顯然函數(shù) y(x)在(x, y)平面上的圖象是一條光滑曲線， 它稱為方程 (2.1)的一條積分曲線， 仍記為。任取一點 P(x,y) ，即 x I ， y (x)。由于 y (x)滿足方程 (2.1) ，所以從導(dǎo)數(shù)的幾何意 義得出，曲線 在 P 點的切線斜率為(x) f(x, (x) f (x,y)。上述等式說明：一階微分方程 (2.1)的積分曲線是這樣一條曲線，在它上面的每一點 (x, y)的切線斜率等 于已知的 f ( x, y) 。這就是一階微分方程 (2.1) 的解的幾何意義。下面介紹線素場的概念。

3、給了一階微分方程(2.1) ，對于區(qū)域 G內(nèi)每一點 P(x, y) ，都可以作一斜率為 f(P)的小直線段 L (P) ，來標(biāo)明積分曲線在該點的切線方向， 稱L (P)為微分方程 (2.1)在 P點的線素。 對于區(qū)域 G 內(nèi)每一點都這樣作，而稱區(qū)域 G 連同上述全體線素為微分方程 (2.1) 的線素場(或方向場) 。由此可見，在方程 (2.1)的積分曲線上的每一點處，積分曲線與 (2.1) 的線素場的線素相切；反之， 若一條曲線在它上面的每一點與 (2.1) 的線素場的線素相切，則該曲線就是微分方程 (2.1) 的積分曲線。在線素場中，線素斜率等于常數(shù) k 的那些點所構(gòu)成的曲線 Lk ，稱為等

4、斜線，微分方程 (2.1) 的等斜 線方程為 f(x,y) k，其中 k 是參數(shù)。給出參數(shù) k 的一系列充分接近的值，就可以得到足夠密集的等斜線族，借此可以近似地作出微分方程 (2.1) 的積分曲線。當(dāng)然，要想更精確地作出積分曲線，還必須進(jìn)一步弄清楚積分曲線的極值點和拐點等 。 顯 然 ， 極 值 點 和 拐 點 如 果 存 在 的 話 ， 一 般 他 們 分 別 滿 足 方 程 f(x,y) 0 及f (x,y)xf (x,y) f (x, y)0。(2.3)dy y dx x的線素場。解 在(x, y)平面上，除原點 O(0,0)外，方程 (2.3) 都規(guī)定了線素場，如圖所示。容易看出，對

5、任意 常數(shù) k，直線族 y kx是方程 (2.3)的積分曲線。 只要讓 dy 取值無窮， 或者考察方程 dx x ，可知 Oy dx dy y 軸也是積分曲線。由于方程 (2.3) 在原點 O(0,0) 處不能規(guī)定線素，因此，它的積分曲線應(yīng)是不包含原點的直線族y kx ，或者更確切地說是從原點出發(fā)的半射線。例 1 作出微分方程(2.4)dy x dx y的線素場。解 方程 (2.4)的線素場由函數(shù) x 確定，由于 yxy可知此線素場在各點上的線素的方向與 (2.4) 的線素場的方向垂直。 換句話說， 在過坐標(biāo)原點的每一條直 線上，微分方程 (2.4) 的線素方向都與該直線垂直，如圖。所以方程

6、(2.4) 的積分曲線是以坐標(biāo)原點為中心的同心圓族 x2 y2 C2 ，其上每一點恰好與線素場在該點的方向相切。注意：當(dāng) y 0時，方程 (2.4) 失去意義。但從線素場的觀點看，在 x軸上的任一點，線素場的方向 是豎直的。為此我們可以用方程dx ydy x代替原方程 (2.4) ，而將 x看作 y 的單值函數(shù)。若將一階方程寫成關(guān)于 x和 y的對稱形式：P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 (2.5)則當(dāng)Q(x0,y0) 0時，在 ( x0 , y0 )點附近，方程 (2.5)等價于dy P(x,y)。dx Q(x, y)當(dāng) P(x0,y0) 0時，在 ( x0 , y0 )點附近，方程 (

7、2.5) 等價于dx Q(x, y) 。dy P(x,y)而且，當(dāng) P(x0, y0) 0和 Q(x0,y0) 0時，這兩種表達(dá)方式是一致的，即他們給出相同的線素場。只有 當(dāng)P(x0,y0) Q(x0,y0) 0時，在點 (x0,y0)讀方程 (2.5)無法定義上述線素，這樣的點稱為微分方程 (2.5) 的奇異點。將 (2.4) 改寫成對稱形式，即xdx ydy 0(2.6)由此積分，即得x2 y2 C(2.7)這種用隱函數(shù)方式給出的通解 (2.7)，叫做方程 (2.6) 的通積分。習(xí)題 1 21作出如下微分方程的線素場： y x2 y2 。解 令 x2 y2 k ( k 0為常數(shù))，因而在圓

8、 x2 y2 k 上的每一點處，線素場的方向都相同。1取 k ,1,2, ，就能作出如圖的線素場的大致情形。22 利用線素場研究如下微分方程的積分曲線：y 1 xy 。解 記 f （x,y） 1 xy，由 f （ x, y） f （x,y） 知線素場關(guān)于原點對稱。等斜線方程 1 xy k （即 xy k 1 ）表示雙曲線族。取 k 1，得雙曲線 xy 1 ，即積分曲線經(jīng)過雙曲線 xy 1 時，其切線斜率為 0 。曲線 xy 1將 平面分為三部分。因為 f （x,y） 1 xy 是全平面的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性知，在每一部分 上， y 都保持固定的符號（見圖）。容易驗證 xy 1本身不是積分曲線，積分曲線 y （x） 和它相交時， y （x） 由減域進(jìn)入它的增域，或由增域進(jìn)入減域。因此積分曲線的極值點都分布在 xy 1上。又在此曲線上，y 0 且y y xy y x（1 xy） y ，可見積分曲線在雙曲線的一支（對應(yīng)于 y 0 ）上取得極小值，在另 一支（對應(yīng)于 y 0 ）上達(dá)到極大值。x最后為確定積分曲線的凸凹情況，令y 0，得 y 2x（*）x2 1此曲線將平面分為兩部分（見圖 ），在曲線（ * ）上方， y 0，積分曲線向上凹，在曲線（ *）下方， x