1、相似三角形模型分析大全 3 -、相似三角形判定的基本模型認識 （一） A字型、反 A字型（斜A字型） （平行） （二） 8字型、反8字型 （不平行） B （蝴蝶型） （不平行） （四）一線三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景 （六）雙垂型: 、相似三角形判定的變化模型 8 由 a b- 1 共享性 4 D 九 BE C -d 一線三直角的變形 第二部分相似三角形典型例題講解 母子型相似三角形： 例1:如圖，梯形 ABCDK AD/ BC對角線AC BD交于點Q BE/ CD交CA延長線于E. 求證：QC2 =QA QE . 例2:已知：如圖， ABC中，

2、點E在中線AD上 , DEB =/ABC . A 相關練習: 求證：(1) DB?二 DE DA ;(2) . DCE =/DAC 例 3:已知：如圖，等腰 ABC中, AB= AC ADL BC于 D, CG/ AB BG分別交 AD AC于 E F. 求證：BE2 = EF EG . 7 1、如圖，已知ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證：FD 2二FB FC . 2、已知：AD是Rt ABC中/ A的平分線，/ C=90,EF是AD的垂直平分線交AD于MEF、BC的延長線交于一點N。 求證： AM0A NMD; (2)ND2 =NC- NB 3、已知：如圖，在 ABC中，/ A

3、CB=90 , CDL AB于 D, E是 AC上一點，CFL BE于 F。 求證：EB- DF=AE- DB 4. 在也ABC中，AB=AC高AD與 BE交于H EF丄BC，垂足為F,延長AD到G,使DG=EF M是 AH勺中點。 求證：ZGBM = 90 5.已知：如圖，在Rt ABC中，/C=90,BC=2,AC=4,P是斜邊AB上的一個動點，PDLAB,交邊AC于點D (點D 與點A C都不重合)，E是射線DC上一點，且/ EPD/ A.設A、P兩點的距 離為x,A BEP的面積為y. (1) 求證：AE=2PE (2) 求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域； (3) 當厶ABC相

4、似時，求 BEP的面積. 雙垂型： 1、如圖，在 ABC中，/ A=60, BD CE分別是 AG AB上的高 求證：() ABD ACE (2) AD0A ABC (3)BC=2ED 2、如圖，已知銳角 ABC AD CE分別是BG AB邊上的高，BDE的面積分別是 27和3, DE=$/2，求：點 B到直線AC的距離。 A 共享型相似三角形： 、 ABC是等邊三角形，D、B G E在一條直線上，/ DAE=120，已知BD=1, CE=3 ,求等邊三角形的邊長 2、已知：如圖，在 Rt ABC中, AB=AC / DAE=45 求證：(1) ABEAACD(2) BC2=2BE CD .

5、A D 一線三等角型相似三角形： 例1:如圖，等邊 ABC中，邊長為6, D是BC上動點，/ EDF=60 (1) 求證： BDEo CFD (2) 當 BD=1, FC=3 時，求 BE 例2: （1）在:ABC中，AB二AC =5 , BC =8，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與點C、點B重合）， 且保持.APQ 二/ABC . 若點P在線段CB上（如圖），且BP =6，求線段CQ的長； 若BP = x，CQ = y，求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域； C 備用圖備用圖 （2）正方形ABCD的邊長為5 （如下圖），點P、Q分別在直線CB、 DC上（點P不與點C、點B重合

6、），且保持 APQ -90 當CQ =1時，求出線段 BP的長. D C 9 例 3:已知在梯形 ABCD中, AD/ BC, ADc BC,且 AD= 5, AB= DG= 2. （1）如圖，P為AD上的一點，滿足/ BPG=Z A. 求證； ABPo DPC 求AP的長. （2）如果點P在AD邊上移動（點 P與點A D不重合），且滿足/ BPEZ A, PE交直線BC于點E,同時交直線 DC于點Q那么 當點Q在線段DC的延長線上時，設 Al x, CQ= y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域; 當CB 1時，寫出AP的長. 例4:如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB

7、 =CD = BC =6 , AD =3 點M為邊BC的中點，以M為頂點作 .EMF =/B，射線ME交腰AB于點E，射線MF交腰CD于點F，聯結EF (1) 求證： MEF BEM ; (2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長； (3) 若EF _CD，求BE的長. 相關練習: A 1、如圖，在 ABC中, AB = AC = 8 , BC =10 , D是BC邊上的一個動點，點 (1)求證： ABD DCE 如果BD =x , AE =y，求y與x的函數解析式，并寫出自變量 x的定義域; (3)當點D是BC的中點時，試說明厶 ADE是什么三角形，并說明理由. E在AC邊上，

8、且.ADE = C 如圖，已知在 ABC中, AB=AC=6, BC=5, D是AB上一點，BO2, E是BC上一動點, 射線EF交線段AC于 F. (1) 求證：ECF( 2)當F是線段AC中點時，求線段 BE的長; 聯結DE并作.DEF二/B , (3)聯結DF,如果 DEF與 DBE相似，求FC的長. 3、已知在梯形 ABC中，AD/ BC ADK BC且BC=6 , AB=DC=4,點E是AB的中點. (1) 如圖，P為BC上的一點，且 BF=2.求證： BEP CPD (2) 如果點 P在BC邊上移動(點 P與點B C不重合)，且滿足/ EPf=Z C, PF交直線CD于點F,同時交

9、直線 AD 于點M那么 當點F在線段CD的延長線上時，設 BF=x, DF= y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域； (備用圖) 4、如圖，已知邊長為3的等邊ABC，點F在邊BC上，CF =1，點E是射線BA上一動點，以線段EF為邊向右 側作等邊EFG，直線EG, FG交直線AC于點M , N , (1) 寫出圖中與 BEF相似的三角形； (2) 證明其中一對三角形相似； (3) 設BE二x,MN =y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量 (4) 若AE =1，試求GMN的面積. 一線三直角型相似三角形： 例1、已知矩形 ABCD中, CD=2 AD=3點P是AD上的一個動點，且

10、和點 x的取值范圍; A,D不重合，過點 P作PE _ CP，交邊AB 于點E,設PD二x, AE二y，求y關于x的函數關系式，并寫出 x的取值范圍。 備用圖 AC 2 例2、在:ABC中，C =90,AC =4, BC =3,0是AB上的一點，且 竺 =2，點P是AC上的一個動點，PQ _ CP AB 5 交線段BC于點Q,（不與點B,C重合），設AP二x,CQ二y，試求y關于x的函數關系，并寫出定義域。 【練習1】 3 在直角 ABC中，.C =90,AB =5,tanB，點D是BC的中點，點 4 于點F （1）、求AC和BC的長 （2）、當EF /BC時，求BE的長。 （3）、連結EF,

11、當 DEF和心ABC相似時，求 BE的長。 E是AB邊上的動點， DF _ DE交射線 AC B 【練習2】 在直角三角形 ABC中，.C =90, AB = BC, D是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點，（與A,C不重合）， DF - DE, DF與射線BC相交于點F. （1）、當點D是邊AB的中點時，求證： DE =DF （2）、當型二m，求匹的值 DBDF AD 1 （3）、當 AC = BC =6,= 一，設 AE = x, BF = y ,求 DB 2 于x的函數關系式，并寫出定義域 C B 3 【練習3】如圖，在-ABC中，/C = 90 , AC = 6 , tan B , D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點， 4 作.DEF =90 , EF交射線BC于點F 設BE二x , BED的面積為y (1) 求y關于x的函數關系式，并寫出自變量 x的取值范圍； (2) 如果以B、E、F為頂點的三角形與BED相似，求ABED的面積 【練習 4】如圖，在梯形 ABCD 中，AB CD , AB =2,AD 二 4