1、第四章 根軌跡分析法,系統閉環特征方程的根的位置決定閉環系統的穩定性和動態特性,伊凡思(W.R. Evans)創立根軌跡法（1948,幾何圖解求解特征根,l系統中某一參數在全部范圍內（0）變化時， 系統閉環特征根隨之變化的軌跡,l可以推廣到其它參數的變化廣義根軌跡。 l可用于單變量系統和多變量系統,l常規根軌跡法以開環增益K做為參數畫出根軌跡的,l利用這些在s平面上形成的軌跡分析和設計閉環控 制系統,本章主要內容,以K為變量的常規根軌跡的繪制方法 以其它參數為變量的廣義根軌跡的繪制方法 根軌跡分析方法的應用 利用根軌跡分析和設計控制系統,4.1 根軌跡的概念,定義,根軌跡,系統中某一參數在全部

2、范圍內變化時， 系統閉環特征根隨之變化的軌跡,1 根軌跡舉例,例4-1 二階系統的方塊圖如下，繪制它的根軌跡,開環傳遞函數,分析,閉環特征方程,求出2個閉環特征根,4-1-1,閉環特征根是K的函數。當K從0變化， 閉環特征根在根平面上形成根軌跡,閉環傳遞函數,K取不同值,等于兩個開環極點,兩根重合于0.5處,即0K1/4，兩根為實根,1,0.5,兩根為共軛復數根，其實部為0.5,總結,有兩個閉環極點，有2條根軌跡,根軌跡是從開環極點出發點,通過選擇增益K，可使閉環極點落 在根軌跡的任何位置上,如果根軌跡上某一點滿足動態特性要求，可以計算該點的K值實現設計要求,這是個？階系統,2,根軌跡上的點與

3、K值一一對應。根軌跡是連續的,4.2 根軌跡繪制的基本規則,1、根軌跡的基本關系式,典型的反饋控制系統如圖,其開環傳遞函數,4-2-1,其中：K:開環增益,開環零點,開環極點,閉環傳遞函數,閉環特征方程為,它們滿足,G(s)H(s)是復數，在復平面上對應一個矢量,繪制根軌跡必須滿足的基本條件,相角公式：積的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差,幅值條件,相角條件,積的模等于模的積，商的模等于模的商,注意：1. 這兩個條件是從系統閉環特征方程中導出的，所有滿足以上兩式的s 值都是系統的特征根，把它們在s平面上畫出，就構成了根軌跡,2. 觀察兩式，均與開環零極點有關，也就是說，根軌跡是利用開環

4、零極點求出閉環極點,畫法： 利用相角條件，找出所有滿足相角條件的s值，連成根軌跡。 確定某一特征根后，利用幅值條件，求出對應的K值,2、繪制根軌跡的基本規則,例4-4,要求畫出根軌跡,某單位反饋系統,分析：1個開環零點，3個開環極點,規則一,根軌跡的分支數：根軌跡的分支數等于開環極點數n,閉環系統的階次為3 ，有3條根軌跡,例中,規則二,根軌跡的起止：每條根軌跡都起始于開環極點，終止于開環零點或無窮遠點,根軌跡是K從0時的根變化軌跡，因此必須 起于K=0處，止于K=處,觀察幅值條件,如果n m, m條根軌跡趨向開環的m 個零點，而另n-m條根軌跡趨向無窮遠處,對于例題，3條根軌跡始于3個開環極

5、點，一條止于開環零點，另兩條（n-m=2）趨于無窮遠處,規則三,根軌跡的連續對稱性：根軌跡各分支是連續的，且對稱于實軸,證明：（1）連續性,從代數方程的性質可知，當方程中的系數連續變化時，方程的根也連續，因此特征方程的根軌跡是連續的,證明：（2）對稱性,因為特征方程的根或為實數，或為共軛復數，所以根軌跡對稱于實軸,對于例題,在實軸上的根軌跡,一條始于開環極點，止于開環零點， 另兩條始于開環極點，止于無窮遠處,規則四、實軸上的根軌跡：在實軸上某線段右側的實數開環零、極點個數之和為奇數，則該線段為根軌跡,漸近線：根軌跡有n-m條漸進線,漸近線與實軸的夾角為,漸近線與實軸的交點為,l它們是針對n-m

6、條趨向無窮遠點的根軌跡而設立的 l如果知道了漸近線，可以馬上畫出根軌跡的大致形狀,規則五,規則六,性質: (重點討論實軸上的分離點,在此點上必出現重根,利用根軌跡的性質可知，當根軌跡出現在實軸 上兩相鄰開環極點間時，必有一分離點,若當根軌跡出現在兩相鄰開環零點間（包括無窮遠處）時，必有一分離點,根軌跡的分離點：當兩條根軌跡在復平面上相遇又分開的點叫作分離點,由求極值的公式求出,它們可以利用代數重根法或極值法求出。(介紹后者,在實軸根軌跡上，求使K達到最大（最小）值的s 值,注意：求出結果，需經判斷，保留合理解。 如果根在實軸根軌跡上，保留，否則，舍去,在例題4-4中,解出,對上圖的觀察，后兩個

7、根不在根軌跡上，因此交點坐標為（-0.447,j0）處,規則七、根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸的交點對應于臨界穩定狀態，此時系統出現虛根,在例4-4中，系統閉環特征方程式為,即,令虛軸的交點,代入上式，得,與虛軸的交點為,例4-4的根軌跡如圖,K=.084,1、畫出開環零極點,2、確定根軌跡根數,3、畫出實軸上的根軌跡,4、求漸進線（nm,5、求分離點,6、求與虛軸交點,7、畫出根軌跡,8、求出特殊點對應的K值,K值由根軌跡幅值條件求出,如分離點（-0.447,j0）處的K值,規則八,根軌跡的出射角,在開環復數極點px處，根軌跡的出射角為,在開環復數零點zy處，根軌跡的入射角為,若系統存在復

8、數開環零極點，需要知道根軌跡從此點出發（進入）的方向角度。可根據相角條件求出,例4-5,設系統開環零極點圖如圖,其中,確定根軌跡離開共軛復數根的出射角,根據公式,考慮到根軌跡的對稱性,出射角p3= -5，p4= 5,例4-6,作 的根軌跡,開環極點3個,分析：n=3，m=0, 沒有開環零點,在s平面上的極點處標以“”，,根據規則一、二 、三,根據規則四，實軸上0-為根軌跡,分別起始于3個開環極點，均終止于無窮遠處,根軌跡有三個分支,圖4-8,根據規則五，求漸近線:n-m=3條,例4-6,漸近線與實軸夾角,漸近線與實軸的交點,2.767,60,沒有分離點,例4-6,根據規則七：求出根軌跡與虛軸的

9、交點,閉環特征方程,K=256,令s=jw,代入上式。令實部和虛部同時等于0，可解得,例4-6,根據規則八求起始角,對P2，根軌跡的起始角為,由對稱性知：-4-j4處的射角為45,根軌跡完成,例4-7,作 的根軌跡,該系統 n=3 ，m=1,根據規則一、二、三,一個零點,有三個開環極點,該根軌跡有三個分支,分別起始于p = 0(兩條)和p = -12處,有一個分支終止于z = -1,另兩個分支趨于無窮遠,根據規則四： 實軸上存在根軌跡是從-12到-1之間,例4-7,根據規則五：漸近線有2條，n-m2,5.5,漸近線夾角,漸近線與實軸的交點,例4-7,根據規則七、 求根軌跡與虛軸的交點,閉環特征

10、方程是,K=0，s=0,令s=jw,代入上式。令實部和虛部同時等于0，可解得,例4-7,根據規則六、求分離點,則,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30,可知一部分根軌跡為圓。 據此，可畫出根軌跡,均在根軌跡上,大Ks1 小Ks2,求出分離角為,5.5,例4-7,利用幅值條件，可求出分離點的K值,s2是第一分離點，s1是第二分離點,完整的繪出根軌跡如圖4-9所示,圖4-9,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30,4.3 廣義根軌跡,常規根軌跡以開環增益K為可變參量,這些參數必須以線性形式出現在特征方程中,如某些開環零極點、調節器PID參數 或者系統的時間常數等,廣義根軌跡其

11、它參數為變量,1、單參數根軌跡,繪制參數根軌跡的步驟如下,2) 列寫以新的變量表示的等效系統開環傳遞函數(GH )e,1) 寫出原系統的閉環特征方程式,l概念：指具有相同的閉環特征方程,l做法：從原系統的閉環特征方程出發，把與新變 量有關的項寫到分子上，其余部分寫在分母上。 這樣，參變量移到K的位置,因而具有相同的閉環特征根,3) 把等效系統的參數當作原系統中的增益K，以常 規根軌跡的繪制規則，繪制參數根軌跡,繪制參數根軌跡的關鍵是得到等效開環傳遞函數,1）等效開環傳遞函數,以下圖所示的調節系統為例說明,1,2,3,參數根軌跡繪制總結,l關鍵點要把新參數移到原K的位置上，利用常規 根軌跡的畫法

12、,等效只等效在閉環特征方程和它的解(閉環極點) 上，不等效在閉環傳遞函數上,l移動的原則是等效系統的閉環特征方程必須和原 系統相同,必須注意,參數根軌跡只用在分析閉環極點對系統的影響， 不能用于分析整個閉環系統,閉環零點往往是不相同的，而閉環零點對相同的 閉環過程也有影響,2）參數根軌跡的畫法,繪制當對象的開環極點p變化時的參數根軌跡,例 4-8,開環傳遞函數,開環極點,閉環特征方程,K=4,等效系統的開環傳遞函數,分析,l等效系統有兩個開環極點 ，一個開環零點0,l根軌跡起點于 ，終止于零和無窮遠處,漸近線,2,P,P,P=0,j2,j2,求分離點坐標,l 負實軸為根軌跡，有一分離點,P=0

13、,把s-2代入p的公式，求出此點p=4,研究開環極點對閉環極點的影響,分離角為90,K=4,還可以畫出在p=0時，K從零到無窮大變化時的根軌跡,此時，系統的開環傳遞函數為,閉環特征方程,根軌跡為兩條從原點出發，沿正負虛軸趨向無窮遠處的軌跡 。求特殊點的K值,j2(K=4,j2(K=4,p=0,在 處兩圖都有K=4，p=0,4.4 利用根軌跡分析控制系統,l主要分析和討論影響根軌跡形狀的因素 l系統特征根在S平面上的位置與動態指標的關系,l目的在于給出系統設計的指導方向,l改變或增加開環零極點對閉環特征根以及系統控制 質量的影響,一、特征根與系統動態指標的關系,1,1,2,2,3,3,見圖,它們

14、對應的單位階躍響應過渡曲線見圖,的虛部,1和3有相同,2和3 有相同的實部,軸有相同的夾角,1和2對實,在s左半平面有三類共軛復根,1,2,3,共軛復根,特征根與系統動態指標的關系,1、超調量和衰減比n,超調量,衰減比,它們與實軸的夾角,如果兩個復根同處在一條從原點發出的射線上時,在s平面上與實軸有相同夾角的直線叫等線,落在等線上的特征根對應相同的衰減比和超調量,越小，系統越振蕩，超調量越大，衰減比越小，相對的穩定性變差,等線越靠近虛軸,它是極點虛部的函數,在s平面上平行于實軸的直線叫作等頻線(等 線,落在這條線上的極點具有相同的虛部，它們的峰值時間相同，振蕩頻率相同,2、峰值時間tp,等頻線

15、離實軸越遠，則tp越短，振蕩頻率越高，tp反比于虛部值,3、調節時間ts（過渡時間,它是極點實部的函數,在s平面上平行于虛軸的直線叫作等線,等線離虛軸越遠，它所對應的過渡過程時間ts越短。ts與實部值成反比,落在這條線上的極點具有相同的實部，它們對應相同的調節時間,4、余差,余差是系統的穩態值與設定值之差,這個指標是系統達到穩定以后的性質，屬于靜態指標，而前面所述的幾種是動態指標,余差可以從閉環傳遞函數的終值定理求得,這個指標與過渡過程的暫態部分無關，即與特征根無關，因而不能表示在根平面上,等頻線,綜上所述,在五種常用的質量指標中，四種動態指標可以在根平面中用三種直線表示,l衰減比和超調量都可

16、以用等線代表,等 線,等線,合格區,l當系統主要的特征根落在這個合格區內時，控制系 統的質量就可達到原定的要求,l它們重合的部分符合所有指標,l這三種直線的合格區域都可以用 陰影表示出來，如圖中所示,l振蕩頻率用等頻線代表,l調節時間用等線代表,l即增加校正裝置，改變根軌跡的形狀，從而滿 足系統設計的要求,l例如，不僅僅改變調節器參數Kc， 而且改變調節器結構，給系統增加 開環零極點,l但是，在很多時候，只調整增益 不能滿足系統的性能。此時必須 改造根軌跡,l 當根軌跡落在這個合格區內時，通過選擇合適的參數值K，使系統的質量達到原定的要求,二、開環極點對根軌跡和系統控制質量的影響,例4-8,開

17、環傳遞函數為,漸近線,夾角,與實軸交點,與虛軸交點,分離點：-0.146,dK/ds=0,例4-8,傳遞函數,漸近線,夾角,與實軸交點,與虛軸交點,時間常數的變化相當于開環極點的變化,根軌跡如圖所示,如果,將-0.2 這個開環極點增大到 0.16，相當于時間常數 T2 從5 增大至6.25，其根軌跡如圖所示,可以看出，一個開環極點增大(向右移動)，閉環系統的一對主要復根的軌跡必然會向右移動,過渡過程時間增加，使系統穩定的K值下降,例4-9,研究系統中增加極點對根軌跡的影響,l增加開環極點 （在右邊增加,相當于增加系統的時間常數，使根軌跡向右方移動，降低系統的穩定性，增加系統的過渡時間,l原點處

18、增加一開環極點,相當于在系統中增加積分作用，與圖（c）類似，降低穩定性，但可以消除余差,作業：4-10，4-14（a:0）, 并說明參數a的取值對系統階躍響應性能的影響,它在小增益時是穩定的，在大增益時是不穩定的,增加零點后，系統對所有增益值都是穩定的,零點越靠近虛軸，根軌跡向左移動，系統性能越好。 與增加極點的效果相反,Z=-0.6,Z=-.3,Z=-.1,Z=0,三、開環零點對系統控制質量的影響,例4-10,繪制某單位反饋系統的根軌跡，分析Td對根軌跡的影響,例4-10,討論,1)若Td=0， K取何值，系統皆不穩定,2)若選用Td=0.5，它把根軌跡拉進了穩定區域， K 4以后系統總是穩定的,3）當微分時間加大（開環零點更靠近虛軸時）, 一對 復數極點會離開虛軸更遠一些，過程的振蕩減弱,例4-11,畫出例4-10以Td為參變量的根軌跡（K50）,等效開環