1、2021年高考數學一輪精選練習：52拋物線一 、選擇題已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，點P為拋物線上一點，且在第一象限，PAl，垂足為A，|PF|=4，則直線AF的傾斜角等于( )A. B. C. D.已知拋物線y2=2px(p0)，點C(4,0)，過拋物線的焦點作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點，若CAB的面積為24，則以直線AB為準線的拋物線的標準方程是( )A.y2=4x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=8x已知拋物線C：x2=2py(p0)，若直線y=2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C方程為( )A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y

2、已知拋物線C：y2=2px(p0)的焦點為F，點M在拋物線C上，且|MO|=|MF|=(O為坐標原點)，則=( )A. B. C. D.如圖，設拋物線y2=4x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是( )A. B. C. D.已知拋物線C：y2=2x，過焦點F且斜率為的直線與C交于P，Q兩點，且P，Q兩點在準線上的射影分別為M，N兩點，則SMFN=( )A.8 B.2 C.4 D.8已知拋物線E：y2=2px(p0)的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，

3、MNy軸于點N.若四邊形CMNF的面積等于7，則拋物線E的方程為( )A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足AFB=120，過AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為( )A. B.1 C. D.2二 、填空題如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m.當水面寬為2 m時，水位下降了 m.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(ab)，原點O為AD的中點，拋物線y2=2px(p0)經過C，F兩點，則= .已知拋物線C1：y=ax2(a0)的

4、焦點F也是橢圓C2：=1(b0)的一個焦點，點M，P(1.5,1)分別為曲線C1，C2上的點，則|MP|MF|的最小值為 .在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2=6x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足.若直線AF的斜率k=，則線段PF的長為 .設直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓(x5)2y2=r2(r0)相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是 .三 、解答題已知拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：(1)y1y2=p2，x1x2=；(2)為定值；(3)

5、以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.已知直線y=k(x2)與拋物線：y2=x相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作y軸的垂線交于點N.(1)證明：拋物線在點N處的切線與直線AB平行；(2)是否存在實數k使=0？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由.已知拋物線C：x2=2py(p0)和定點M(0,1)，設過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程.答案解析答案為：B；解析：由拋物線y2=4x知焦點F的坐標為(1,0)，準線l的方程為x=1，由拋物線定義可知|PA|=|P

6、F|=4，所以點P的坐標為(3,2)，因此點A的坐標為(1,2)，所以kAF=，所以直線AF的傾斜角等于，故選B.答案為：D；解析：因為ABx軸，且AB過點F，所以AB是焦點弦，且|AB|=2p，所以SCAB=2p=24，解得p=4或12(舍)，所以拋物線方程為y2=8x，所以直線AB的方程為x=2，所以以直線AB為準線的拋物線的標準方程為y2=8x，故選D.答案為：C；解析：由得或即兩交點坐標為(0,0)和(4p,8p)，則=4，得p=1(舍去負值)，故拋物線C的方程為x2=2y.答案為：A；解析：不妨設M(m，)(m0)，易知拋物線C的焦點F的坐標為，因為|MO|=|MF|=，所以解得m=

7、，p=2，所以=，=，所以=2=.故選A.答案為：A；解析：過A，B點分別作y軸的垂線，垂足分別為M，N，則|AM|=|AF|1，|BN|=|BF|1.可知=，故選A.答案為：B；解析：不妨設點P在x軸上方，如圖，由拋物線定義可知|PF|=|PM|，|QF|=|QN|，設直線PQ的傾斜角為，則tan=，所以=，由拋物線焦點弦的性質可知，|PF|=2，|QF|=，所以|MN|=|PQ|sin=(|PF|QF|)sin=4，所以SMFN=|MN|p=4=2，故選B.答案為：C；解析：由題意，得F，直線AB的方程為y=x，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，聯立y=x和y2=2p

8、x得，y22pyp2=0，則y1y2=2p，所以y0=p，故N(0，p)，又因為點M在直線AB上，所以x0=，即M，因為MCAB，所以kABkMC=1，故kMC=1，從而直線MC的方程為y=xp，令y=0，得x=p，故C，四邊形CMNF的面積可以看作直角梯形CMNO與直角三角形NOF的面積之差，即S四邊形CMNF=S梯形CMNOSNOF=pp=p2=7，p2=4，又p0，p=2，故拋物線E的方程為y2=4x，故選C.答案為：A；解析：過A，B分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖，由題意知|MN|=(|AA1|BB1|)=(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2=|AF|2|BF

9、|22|AF|BF|cos120=|AF|2|BF|2|AF|BF|，2=，當且僅當|AF|=|BF|時取等號，的最大值為.一 、填空題答案為：1；解析：以拋物線的頂點為坐標原點，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，設拋物線的標準方程為x2=2py(p0)，把(2，2)代入方程得p=1，即拋物線的標準方程為x2=2y.將x=代入x2=2y得：y=3，又3(2)=1，所以水面下降了1 m.答案為：1；解析：|OD|=，|DE|=b，|DC|=a，|EF|=b，故C，F，又拋物線y2=2px(p0)經過C、F兩點，從而有即b2=a22ab，221=0，又1，=1.答案為：2；解析：將P代入到=1中，

10、可得=1，b=，c=1，拋物線的焦點F為(0,1)，拋物線C1的方程為x2=4y，準線為直線y=1，設點M在準線上的射影為D，根據拋物線的定義可知|MF|=|MD|，要求|MP|MF|的最小值，即求|MP|MD|的最小值，易知當D，M，P三點共線時，|MP|MD|最小，最小值為1(1)=2.答案為：6；解析：由拋物線方程為y2=6x，所以焦點坐標F，準線方程為x=，因為直線AF的斜率為，所以直線AF的方程為y=，畫圖象如圖.當x=時，y=3，所以A，因為PAl，A為垂足，所以點P的縱坐標為3，可得點P的坐標為，根據拋物線的定義可知|PF|=|PA|=6.答案為：(2,4)；解析：如圖，設A(x

11、1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則兩式相減得，(y1y2)(y1y2)=4(x1x2).當l的斜率k不存在時，符合條件的直線l必有兩條.當k存在時，x1x2，則有=2，又y1y2=2y0，所以y0k=2.由CMAB，得k=1，即y0k=5x0，因此2=5x0，x0=3，即M必在直線x=3上.將x=3代入y2=4x，得y2=12，則有2y02.因為點M在圓上，所以(x05)2y=r2，故r2=y4124=16.又y44(為保證有4條，在k存在時，y00)，所以4r216，即2r4.二 、解答題證明：(1)由已知得拋物線焦點坐標為.由題意可設直線方程為x=my，代入y2=2px，得

12、y2=2p，即y22pmyp2=0.(*)因為在拋物線內部，所以直線與拋物線必有兩交點.則y1，y2是方程(*)的兩個實數根，所以y1y2=p2.因為y=2px1，y=2px2，所以yy=4p2x1x2，所以x1x2=.(2)=.因為x1x2=，x1x2=|AB|p，代入上式，得=(定值).(3)設AB的中點為M(x0，y0)，如圖所示，分別過A，B作準線l的垂線，垂足為C，D，過M作準線l的垂線，垂足為N，則|MN|=(|AC|BD|)=(|AF|BF|)=|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.解：(1)證明：由消去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k2=0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2=，x1x2=4，xM=，yM=k(xM2)=k=.由題設條件可知，yN=yM=，xN=2y=，N.設拋物線在點N處的切線l的方程為y=m，將x=2y2代入上式，得2my2y=0.直線l與拋物線相切，=142m=0，m=k，即lAB.(2)假設存在實數k，使=0，則NANB.M是AB的中點，|MN|=|AB|.由(1)，得|AB|=|x1x2|=.MNy軸，|MN|=|xMxN|=.=，解得k=.故存在k=，使得=0.解：(1)可設AB：y=kx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x22p