第八講正交試驗分析及分析方法ORTHOGONALDESIGN正交設計是一種研究多因素試驗的設計方法。在多因素試驗中隨著試驗因素和水平的增加，其處理數也隨之增加。例如，4因素各具4水平的試驗，就有44256個水平組合。要全面實施這些試驗有一定的困難。為克服這一難點，可以在因素空間中選擇N類具有不同特點的點，把它們適當結合起來形成試驗計劃。正交設計就是利用一套規格化的表格正交表，科學合理地安排試驗。其特點就是在試驗的全部處理組合中，僅挑選部分有代表性的水平組合進行試驗。通過部分試驗了解全面試驗情況，找到較優的水平組合。因此，正交設計最適用于多因素，多水平，試驗周期長，誤差較大的一類試驗。第一節正交表的構造及正交試驗設計一、正交表的構造正交表是正交設計的依據，它是通過數學理論預先推導出來的。實驗時只要根據試驗的條件直接套用就可以了。每一張正交表，都有一個標目，如L9（34）（表81）。其中L表示一張正交表，括號內的底數3表示因素的水平數，3的右上方指數4，表示最多可以安排因素的個數。L右下角的數字9表示試驗的次數（水平組合數）。橫表頭的“1，2，3，4”是表示正交表4列號；縱表頭的“1，2，9”分別表示9行，也是9個處理的代號；表身中每一列的“1、2、3”分別表示因素的3個水平。表81L9（34）正交表列號試驗號1234123456789111112221333212322312312313232133321以上所述的正交表各因素的水平數都是相同的。但試驗中，有時也會遇到某些試驗因素的水平多些，另一些因素的水平可能少些。這種試驗就應該應用混合水平正交表。如L8（4124）。其中8表示要安排8個處理組合；括號內的指數1和4表示此表共5列，可以安排5個因素；括號內的第一個底數4表示第一個因素設4個水平；第二個底數2表示后4個因素均設2個水平。有的正交表后附有“兩列間的交互列”表，是用于安排因素之間有交互作用的試驗，交互作用隨著因素的增加而減小。二、正交表的特性正交表具有以下兩個特性1、均衡搭配以L4（23）為例說明。由表82中看，每一列中不同數字（1，2）出現的次數相等。任二列中，同一橫行的每種數對（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）出現的次數相等。即對任兩列來說，其因素水平間的組合都是均衡搭配的。2、整齊可比由于組合間的均衡搭配，因此，任一因素的任一水平下都必然均衡地包含著其它因素的各水平。如第一列所在因素的兩個水平比較，第1水平是1、2兩個試驗號的相加，第2水平是3、4兩個試驗號的相加。在第1水平中，由于配有第2列、第3列的1、2兩個水平；在第2水平中，也同樣配有第2、3列的1、2兩個水平，因此第1列所在因素的兩個水平是在相同條件下的比較，具有整齊可比性。對第2、3列的水平間比較也是如此。表82L423正交表列號試驗號1231234111122212221三、正交試驗的設計正交試驗的設計，可按以下步驟進行。（一）確定因素和水平根據試驗的目的確定試驗要研究的因素。如果對研究的問題了解較少，可多取一些試驗因素。若對研究的問題比較了解，因素可少些。確定的因素主要是選擇對試驗指標影響最大而又最有經濟效果的因素。因素確定后，便可對水平進行劃分，每個因素的水平數可以相等，也可以不等，重要的因素或特別希望詳細了解的因素水平可多些，其余的可少些。例1研究不同營養成份含量對肉雞的增重效果，考察了粗蛋白含量（A）的4個水平（K4），粗脂肪（B）和粗纖維（C）含量各2個水平（M2）的三因素不等水平，如表83。表83因素水平表因素水平粗蛋白（）粗脂肪（）粗纖維（）123414253163541820（二）選用合適的正交表根據試驗因素和水平數的多少以及是否需要估計互作來選擇合適的正交表。選用正交表的原則是即要能安排下試驗的全部因素，又要使部分試驗的水平組合數盡可能的少。例1的試驗可選用L8（424）。該表是來自L8（27）正交表，（見表813）。把L8（27）正交表的第1、2兩列合并，橫行搭配（1，1）的賦予1，（1，2）的賦予2，（2，1）的賦予3，（2，2）的賦予4，便成為L8（424）正交表的第1列。根據L8（27）的交互列表知道，第3列是第1、2列的交互列，為避免效應的混雜，故在L8（424）表中也不能再出現，因此，L8（424）正交表僅有5列，其結構見表85。（三）作表頭設計，列出試驗方案表頭設計，就是把試驗中所選擇的各因素，填到正交表的表頭各列上。在不考慮交互作用時，哪一因素放到哪一列，原則上可任意放置，只要每一因素占一列即可；若要分析交互作用，或避免交互作用的混雜，就應按指定的列放置，不能任意放置。本例不考慮交互作用的影響，把A、B、C因素依次安排在第1、2、3列上，第4、5列為空列，如表84。表84肉雞增重試驗的表頭設計L8（424）列號12345因素ABC表頭設計好后，把各列中的水平號換成各因素的具體水平就成試驗方案。表85肉雞增重的正交試驗的表頭設計增重（G）因素試驗號ABC12345合計TT123456781（14）1（25）1（3）1112（35）2（4）222（16）1122222113（18）1212321214（20）122142112116115119114115114117116119119120120125122120126124121124025123128128126350343352359367371372382T1T2T3T469314411455145814447111455144114381452738754TR969965962T2896第二節正交試驗結果的實例分析一、無交互作用的正交試驗設計正交試驗結果分析的方法分直觀分析和方差分析兩種，這里僅介紹方差分析法。本例試驗設三次重復，其結果列于表85的右側，若用N表示試驗處理組合數，A、B、C分別表示A、B、C的每個水平的試驗重復數，R為每個處理組合的重復數。則K4，M2，N8，A2，B4，C4，R3。方差分析的步驟如下（一）計算各因素同一水平之和第一列AT1350343693T2352359711T3367371738T4372382754第二列BT13503523673721441T23433593713821455其余各列各水平之和的計算方法同上。（二）各平方和及自由度的剖分總平方和SSTSSTSSRSSE2SST為處理組合平方和，SSR為重復間平方和，SSE2為試驗誤差。03716495673871930245083649569641701173450829222221CARTSNSCXRSSATTRRTEBAT為空列算出的誤差）1427321211834218583196734503412598410252122212TRTECBATBARTRTECBATECBDFFDNFMCKDFNFSSCRTSB）（）之和，（或各空列水平數或（三）列出方差分析表，進行F檢驗本例為有重復的正交試驗，誤差E2是真正的試驗誤差，而誤差E1除有試驗誤差外還混雜有交互作用。如E1經F檢驗不顯著，則應計算合并誤差均方，以提高試驗分析的精度。若F檢驗顯著，則E1與E2不能合并，只能以E2作為檢驗其它效應的誤差，本例經檢驗,小于F0052，146397262SSF374故差異不顯著，需合并計算誤差均方，如表86。表86三因素L8（424）正交試驗方差分析表變異來源DFSSS2FF005F001重復ABC21E誤差誤差23081541337100123673246529181681621444918168162144589合并誤差166091381總的2345133F檢驗結果表明，A因素間的差異極為顯著。表明飼料中粗蛋白含量的高低，對肉雞增重的效果影響極大，而本次試驗的其余兩因素對增重效果不明顯。（四）進行多重比較，選取最優組合，因A因素各水平間存在明顯差異，故需做多重比較，根據比較結果及各因素的影響大小，來選取最優組合，本例采用SSR法進行多重比較。先求各水平平均數及標準誤671258401236787594321GARTXGARTX2RSEX根據DFE16，在SSR值表上分別查出R2，3，4的SSR值，再將SSR值乘以S值，即得各LSR值。列于表87。表87表85資料的LSR值（SSR法）KSSR005SSR001LSR005LSR001230041324033033154342523474323445258356將計算所得LSR檢驗各水平間的差異顯著性，列于表88。表88不同粗蛋白含量對肉雞增重效果的比較水平平均數IX51I51IX0123IX41256710177172673123007545211853011155比較結果表明除20與18及16與14粗蛋白含量間差異顯著外，其余各水平間的差異均達到10的顯著水準。其中以20的含量（A4）最佳，其次為18者。由于A因素為影響增重的主要因素，故最優組合中必須選有A4，B、C因素雖為次要因素，但考慮到A與B間有一定的交互作用存在，故在B因素中宜選B2為宜。C因素的兩個水平均可選其一。二、有交互作用的正交試驗設計例1資料的分析結果是在不考慮交互作用的情況下進行的。實際上，很多試驗因素間都存在交互作用。上例中所估算的C因素效應和試驗誤差，事實上都混雜有A、B的交互作用，即第3、4列為AB的交互列。為避免各因素效應及誤差與交互作用的混雜，需按指定的列安排各因素。以L8（27）正交表上安排三個因素A、B、C，并考慮存在AB、AC、BC的交互作用為例來說明其指定列。這時需選用L8（27）兩列間的交互列表，（見表89）來安排各交互作用列的位置。若將A因素和B因素分別安排在第1、2列，由表89可查出AB的交互列所在位置。即從（1）向右，從（2）向上的交叉點數字為3，便表示第3列是第1、2列的交互作用列，亦即AB所指定放的位置。這時，該列不能再安排其它因素，以免發生效應間的混雜，若將C因素放在第4列上，則（1）與（4）的交叉點的數為5，即為AC所指定的列位。BC則在（2）與（4）的交叉點第6列上。依據表89，例1資料的表頭設計如表810。表89L8（27）二列間交互作用列表列號1234567列號（）（1）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1（7）表810表頭設計列號1234567因素ABABCACBC例2為查明仔雞維生素缺乏癥由哪種維生素不足而導致的，現對核黃素、膽堿、煙酸和硫胺素四種維生素進行正交試驗，同時考察核黃素與膽堿、煙酸間的交互作用，每種維生素分喂與不喂兩個水平，試驗按4因素2水平進行設計，以仔雞的增重來衡量各因素的作用。（一）列出因素水平表表811因素水平表因素水平核黃素膽堿煙酸硫胺素ABCD12不添加不添加不添加不添加添加添加添加添加（二）選用合適的正交表并作表頭設計，本例選用L8（27）正交表，依據表810表頭設計為表812表頭設計列號1234567因素ABABCACD（三）列出試驗方案試驗方案及其試驗結果列于表813。表813仔雞維生素試驗方案及其結果因素試驗號ABABCACD1234567增重（G）123456781（不加）1（不加）11（不加）111（不加）1112（加）222（加）12（加）2112212222112（加）121212212212122112212212112162172168190178215162182T1T2692727678670727712729737702751759702717700T1429X1731817516951675181751780182251842517551877518975175517925175R112562518252225625125725（四）方差分析用N表示總試驗次數，A、B、C、D分別表示因素A、B、C、D的各個水平的重復數，各因素的水平數為K，K2，N8，ABCD41、平方和及自由度的剖分8721351826351429CXSTNC12718532785402416716820535402919276278354027392222CABDCBATCABDACABDDCCBADFFDFDFNSSSETSTBSA2、列出方差分析表，作F檢驗表814表813資料的方差分析表變異來源DFSSS2FF005ABCDABAC誤差12531225312803616117812781224801990129901231432110512105123337166612666122114717812781224381315315總的7217387F檢驗結果表明因素C和AB達到顯著水平，表明煙酸以及核黃素與膽堿的互作是影響肉用仔雞增重的主要因素，可見，肉雞飼料中主要是缺乏煙酸和核黃素。3、進行多重比較，選取最優組合，因只有兩個水平，故無須作多重比較。又因AB顯著，故選取最優組合時，需要比較A、B各水平搭配下的平均增重。見表815表815AB搭配表BB1B2A1（162172）/2167（168190）/2179AA2（178215）/21965（162182）/2172由表815可見，A2B1的平均增重最大，故主要因素中AB，選A2B1，C因素選C2，D因素選D1，故最優組合為A2B1C2D1即飼料中添加核黃素和煙酸，而不添加膽堿和硫胺素的飼料，可獲得較大的增重效果。例2為探討不同配方對赤霉素的培養效果，試驗考察了硼砂（A）、玉米粉（B）、白糖（C）等7個因素，每個因素設3個水平（見表816），依據以往經驗，各因素互作中擬重點考察A、B、C間的一級互作，試驗安排2次重復。考察指標為赤霉素效價單位數。試作正交試驗設計及試驗資料的分析（試驗資料摘自蓋鈞鎰主編試驗統計方法）（一）列出因素水平表表816因素水平表因素水平硼砂玉米粉白糖時間尿素磷酸二氮鉀碳酸鈣ABCDEFG12300520220天0050100501017325天0100201002013430天02003020（二）選用合適的正交表并作表頭設計，本例選用L27（313）正交表，依據該表有3因素交互作用的表頭設計為表817表頭設計列號12345678910111213因素ABAB1AB2CAC1AC2BC1DEBC2FG（三）列出試驗方案試驗方案及其試驗結果列于表818。表818赤霉素培養試驗方案及其結果12345678910111213指標（千單位）因素試驗號ABABABCACACBCDEBCFG重復重復TIIX123456789101112131415161718192021222324252627111111111111111112222222221111333333333122211122233312222223331111222333222111133311133322213332221113331333333222111212312312312321232312312312123312312312223112323131222312313121232231312123231231212331223123122311233122312312231123313213213213231322132132133132321321321321313221332132132133211323213321132213332113232121333212131323213321321213132808016080224224448224140140280140200200400200210210420210145140285143160160320160200205405203120100220110280148428214240148388194808016080140154294147180100200100199196392196200210410205140140280140210200410205224280504252120120240120126126252126140145285143240290530265224160384192224244468234224224448224808016080T1T2T3239828603187285032693060254423862305319230323626297529623190315732013359320134922845341831743335307429813271312128273120254329103135304034482805280434693215466745049171170（四）方差分析用N表示總試驗次數，R表示各處理組合的重復數，A、B、C、D、E、F、G分別表示因素A、B、C、D、E、F、G各個水平的重復數，各因素水平數為K，K3，N27，R2，ABCDEFG9。1、平方和及自由度的剖分091750842159722CCXSRT531796415302609244222TRTEITRSSCCRN1296293460763545818929345230205667329028832222CCFRTSECDRSCCTCBRSAFEDBA713229480638953023290173180555222CCBRTSACRTSGBCABGDFTNR1272153；DFRR1211；DFTN127126；DFEDFTDFRDFT36；DFADFBDFCDFDDFEDFFDFGK2312；DFABDFACDFBC2（K1）2242、列出方差分析表，作F檢驗表819表818資料的方差分析表變異來源DFSSS2FF005F001重復（R）處理組合ABCDEFGABACBC誤差149226153064238311916277337553233671684244222082110411598246989234953400254252713393219612980614192220511031604832220813012744144277896947100541327733194802617953691總的53171509F檢驗結果表明效應C、D、E、F、AB、AC及BC均達到顯著或極顯著水平。因素的主次作用依次為D、C、F、E，互作的主次作用依次為、AC、BC及AB。3、作多重比較（SSR法）對有差異顯著的效應C、D、E、F及AB、AC、BC間的TI作多重比較。各處理組TI的標準誤分別為（千單位）1529162CRSSEFEDC（千單位）46322KRSECBAB根據DFE26，K2、3、4、5、6、7、8、9，查其SSR值后，分別乘以標準誤得LSR，計算BACS,結果如表820及表821。表820C、D、E、F因素各TI間多重比較所用SSR及LSR值K23C、D、E、F23SSR005SSR001291306393410LSR005LSR0013245342037804572表821AB、AC、BC各組合TI間多重比較所用SSR及LSR值K23456789SSR005SSR001291306315322327331333336393410421429435441445448LSR005LSR0011874197120292074210621322145216425312640271127632801284028662885C、D、E、F各因素及AB、AC、BC互作各組合TI之間差異的比較結果見表822及表823、824、825。表822C、D、E、F各TI間差異的比較CTIDTIETIFTIC2C1C33359A3269A2543BD3D2D13448A3418A2305BE1E2E33192AA3174AAB2805BBF1F3F23626A3469A3074B大、小字母分別表示差異顯著性達1、5水準，以下同。表823AB各組合TI間差異的比較組合A3B2A1B2A2B3A3B1A2B1A1B3A2B2A1B1A2B2TI119911051100107699694597188888651AABABABCABCBCBCCCAABABABABABABBB表824AC各組合TI間差異的比較組合A1C2A3C1A3C2A2C1A2C3A1C1A2C2A3C3A1C3TI127312571218113296288086879678551AAAABBCBCCCCAAABABCBCDCDCDDD表825BC各組合TI間差異的比較組合B3C1B2C2B3C2B1C1B1C2B2C3B2C1B3C3B1C3TI119811501133109210716106197979069251AABABABABABBCCAAAAAAABBB多重比較結果表明表822中，C2、C1與C3；D3、D2與D1；F1、F3與F2比較，差異均達到極顯著水平。E1、E2與E3比較，差異分別達到極顯著或顯著水平。由于D、E、F三個因素間無交互作用，故最高的水平即為最佳組合；而A、B、C因素間存在顯著的交互作用，故最高的水平不一定是最佳組合；G因素無顯著性，各水平均可采用。表823中，A3B2和A1B2、A2B2與A1B1、A2B2相比分別達到1和5的顯著水準，其余各組合間均無顯著差異，因此該互作項中以A3B2、A1B2及A3B2為最佳組合。表824中，A1C2、A3C1和A3C2、A2C1的組合效果較好，它們之間無顯著性差異，但前兩個組合與其他組合比較，差異達到1顯著水準；后兩個組合與A1C1、A2C2、A3C3、A1C3比較也分別達