湖南省長沙市望城區白箬中學高三數學第二輪專題講座復習：求函數值域的常用方法及值域的應用高考要求 函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一 本節主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數的值域解決實際應用問題 重難點歸納 (1)求函數的值域此類問題主要利用求函數值域的常用方法 配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等 無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域 (2)函數的綜合性題目此類問題主要考查函數值域、單調性、奇偶性、反函數等一些基本知識相結合的題目 此類問題要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力 在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強 (3)運用函數的值域解決實際問題此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決此類題要求考生具有較強的分析能力和數學建模能力 典型題例示范講解 例1設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為(1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求，那么為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？命題意圖 本題主要考查建立函數關系式和求函數最小值問題，同時考查運用所學知識解決實際問題的能力 知識依托 主要依據函數概念、奇偶性和最小值等基礎知識 錯解分析 證明S()在區間上的單調性容易出錯，其次不易把應用問題轉化為函數的最值問題來解決 技巧與方法 本題屬于應用問題，關鍵是建立數學模型，并把問題轉化為函數的最值問題來解決 解 設畫面高為x cm,寬為x cm,則x2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,將x=代入上式得 S=5000+44 (8+),當8=,即=1)時S取得最小值 此時高 x=88 cm,寬 x=88=55 cm 如果，可設10,S(1)S(2)0恒成立，試求實數a的取值范圍 命題意圖 本題主要考查函數的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力 知識依托 本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現了轉化的思想與分類討論的思想 錯解分析 考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉化為函數的最值問題來解決 技巧與方法 解法一運用轉化思想把f(x)0轉化為關于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得 (1)解 當a=時，f(x)=x+2 f(x)在區間1，+上為增函數，f(x)在區間1，+上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區間1，+上， f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 設y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a0時，函數f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+當a0時，函數f(x)的值恒為正；當a0時，函數f(x)0恒成立，故a3 例3設m是實數，記M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)證明 當mM時，f(x)對所有實數都有意義；反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則mM (2)當mM時，求函數f(x)的最小值 (3)求證 對每個mM,函數f(x)的最小值都不小于1 (1)證明 先將f(x)變形 f(x)=log3(x2m)2+m+,當mM時，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域為R 反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解析 設u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函數，當u最小時，f(x)最小 而u=(x2m)2+m+,顯然，當x=m時，u取最小值為m+,此時f(2m)=log3(m+)為最小值 (3)證明 當mM時，m+=(m1)+ +13,當且僅當m=2時等號成立 log3(m+)log33=1 學生鞏固練習 1 函數y=x2+ (x)的值域是( )A(,B,+C,+D(,2 函數y=x+的值域是( )A (,1B (,1C RD 1,+3 一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于()2千米 ，那么這批物資全部運到B市，最快需要_小時(不計貨車的車身長) 4 設x1、x2為方程4x24mx+m+2=0的兩個實根，當m=_時，x12+x22有最小值_ 5 某企業生產一種產品時，固定成本為5000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數為R(x)=5xx2(萬元)(0x5),其中x是產品售出的數量(單位 百臺)(1)把利潤表示為年產量的函數； (2)年產量多少時，企業所得的利潤最大？(3)年產量多少時，企業才不虧本？6 已知函數f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1(1)若f(x)的定義域為(,+)，求實數a的取值范圍；(2)若f(x)的值域為(,+),求實數a的取值范圍 參考答案 1 解析 m1=x2在(,）上是減函數，m2=在(,）上是減函數，y=x2+在x(,)上為減函數,y=x2+ (x)的值域為，+答案 B2令=t(t0), y=+t= (t1)2+11值域為(,1 答案 A3 解析 t=+16()2/V=+2=8 答案 84 解析 由韋達定理知 x1+x2=m,x1x2=,x12+x22=(x1+x2)22x1x2=m2=(m)2, 又x1,x2為實根，0 m1或m2，y=(m)2在區間(,1）上是減函數，在2，+上是增函數，又拋物線y開口向上且以m=為對稱軸 故m=1時， ymin= 答案 1 5 解 (1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，當x5時，產品能全部售出，當x5時，只能銷售500臺，所以y=(2）在0x5時，y=x2+4 75x0 5,當x=4 75(百臺）時，ymax=10 78125(萬元），當x5(百臺）時，y120 255=10 75(萬元），所以當生產475臺時，利潤最大 (3）要使企業不虧本，即要求解得5x4 750 1(百臺）或5x48(百臺）時，即企業年產量在10臺到4800臺之間時，企業不虧本 6 解 (1）依題意(a21）x2+(a+1)x+10對一切xR恒成立，當a210時，其充要條