湖南省長沙市望城區白箬中學高三數學第二輪專題講座復習：直線與圓錐曲線問題的處理方法(2)高考要求 直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等 突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能 重難點歸納 1 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數解成實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法 2 當直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化 同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍 典型題例示范講解 例1如圖，已知某橢圓的焦點是F1(4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列 (1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍 命題意圖 本題考查直線、橢圓、等差數列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數的范圍，設計新穎，綜合性，靈活性強 知識依托 橢圓的定義、等差數列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法 錯解分析 第三問在表達出“k=y0”時，忽略了“k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關系 技巧與方法 第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦AC的中點P的縱坐標y0,利用y0的范圍求m的范圍 解 (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故橢圓方程為=1 (2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列，得(x1)+(x2)=2,由此得出 x1+x2=8設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0=4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得94+25y0()=0 (k0)即k=y0(當k=0時也成立) 由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0 由點P(4，y0)在線段BB(B與B關于x軸對稱)的內部，得y0,所以m 例2若拋物線上總存在關于直線對稱的兩點，求的范圍 解法一 （對稱曲線相交法）曲線關于直線對稱的曲線方程為 如果拋物線上總存在關于直線對稱的兩點，則兩曲線與必有不在直線上的兩個不同的交點(如圖所示)，從而可由 代入得有兩個不同的解， 解法二 （點差法）設拋物線上以為端點的弦關于直線對稱，且以為中點是拋物線（即）內的點 從而有 由 (1)-(2)得 由 從而有 例3試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點關于直線對稱 解 設橢圓上以為端點的弦關于直線對稱，且以為中點是橢圓內的點 從而有 由 (1)-(2)得 由由在直線上從而有 例4已知直線過定點A(4,0)且與拋物線交于P、Q兩點，若以PQ為直徑的圓恒過原點O，求的值 解 可設直線的方程為代入得 設，則 由題意知，OPOQ，則即此時，拋物線的方程為 學生鞏固練習 1 在拋物線y2=16x內，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_ 2 已知兩點M(1，)、N(4，)，給出下列曲線方程 4x+2y1=0, x2+y2=3, +y2=1, y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_ 3 已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關于直線y=x對稱 (1)求雙曲線C的方程 (2)設直線l過點A，斜率為k,當0k1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標 參考答案:1 解析 設所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2)即kAB=8 故所求直線方程為y=8x15答案 8xy15=02 解析 點P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點 答案 3 解 (1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=1 即漸近線為y=x,又點A關于y=x對稱點的坐標為(0，)a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2 (2)設直線l y=k(x)(0k1,依題意B點在平行的直線l上，且l與l間的距離為設直線l y=kx+m,應有