高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市六校2023-2024學年高二下學期期末考試數學試題考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的：1.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.05 B.0.1 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】根據正態分布的基本性質可知，對稱軸為.故選：B.2.如圖，均為直角三角形，為直角頂點，，且，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數列為an，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個三角形的相似比為，從而這些三角形的周長從小到大組成的數列an是等比數列，公比，首項為的周長，因此.故選：C.3.已知函數，且，則實數（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意知，所以，所以，又，所以.故選：B4.已知是正項等比數列，若成等差數列，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】設等比數列an的公比為.因為成等差數列，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.所以.故選：D.5.已知為虛數單位，則的展開式中的系數為（）A. B.10 C. D.15【答案】C【解析】展開式的通項，當時，，因此的系數為.故選：C6.已知數列an滿足，且，設，則數列bn的前2024項和為（）A.674 B.673 C.-673 D.-674【答案】D【解析】因為奇數與奇數之和為偶數，奇數與偶數之和為奇數，所以數列an的各項的奇偶情況依次為奇?偶?奇?奇?偶?奇所以數列bn各項依次為，故數列bn以3為周期，且相鄰3項之和為-1因為，所以數列bn的前2024項和為.故選：D.7.已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，.當時，恒成立等價于恒成立，因為當時，，所以.當時，恒成立等價于恒成立.記，則在區間0,+∞上為增函數，并且零點為，單調遞減，單調遞增，因此，所以.綜上，.故選：A.8.已知雙曲線，如圖，過的右焦點作直線與的兩條漸近線分別交于點，與軸交于點，若，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】在中，因,可設，則，因，則,即，則，故.由三角形相似可知，因此.又因，所以.設，則，故，又中，，故得，即，從而，故得，從而離心率為.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一個家庭中共有3個孩子，用表示事件“該家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“該家庭中最多有1個女孩”，則（）A. B.C. D.與相互獨立【答案】ACD【解析】，故A正確.，所以，故B錯誤，C正確.因為，所以與相互獨立，故D正確.故選：ACD.10.已知數列的前項和，則下列說法中正確的是（）A.一定為等差數列B.可能為等比數列C.若，則一定為遞增數列D.若，則存在，使得【答案】BD【解析】對于A：當時，，該通項公式為一次函數形式，所以從第二項起為等差數列，所以數列是等差數列的條件只需滿足當時滿足的通項公式即可，即當，，所以只有當時，才是等差數列，故A錯誤；對于B：當時，，滿足要求，故B正確；對于C：若，則，所以，故C錯誤；對于D，若，函數的圖象關于直線對稱，因此，從而，故D正確.故選：BD11.已知函數，若不等式恰有一個整數解，則實數的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因為，所以，即.若，不等式化為，此不等式對任意恒成立，不符合條件.若，不等式化為，即恰有一個整數解.記，則，當，；當，；可得在上單調遞增，在上單調遞減，并且，因此恰有一個整數解時，實數的取值不可能是B，C，D.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將4個不同編號的球放到3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則不同的分配方法共有________種.【答案】【解析】由題意，將4個不同編號的球放到3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，先將4個不同編號的球分成3組，共有種不同的分法；再將分好的3組放到3個不同的盒子中，共有種不同的方法，由分步計數原理可得，共有種不同的分配方法.故答案為：.13.已知點在圓上運動，則的最小值是__________.【答案】【解析】由得，故圓的圓心為，半徑為1，當時，，當時，，如圖可知，故此時的最小值是直線斜率的最大值的倒數，令，即，則圓心到該直線的距離滿足，兩邊平方整理得，解得，故此時的最小值是，又，故的最小值為.故答案為：.14.已知函數及其導函數f'x定義域均為，且為偶函數，若時，，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】因為時，，所以，即，因此，從而在上單調遞增，又是上的偶函數，且是偶函數，所以，即是上的偶函數，故在上單調遞減，由于，因此，又即，即，所以，故由的單調性和偶函數特點可知，因此的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面.（1）若，求；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由平面，平面，.，且平面，所以平面.而平面，.四邊形是正方形，與重合，.（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設n=x,y,z為平面則，即，可取.設為直線與平面所成的角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.16.揚子鱷是中國特有的一種小型鱷類，是國家一級重點保護野生動物，活動區域主要在長江下游流域.研究人員為了解揚子鱷的生長發育情況，隨機抽取了6只揚子鱷，測量它們的頭長（單位與體長（單位：），得到如下數據：樣本編號123456頭長1515.315.316.616.817體長125128130138142153并計算得（1）求這6只揚子鱷的平均頭長與平均體長；（2）求揚子鱷的頭長與體長的樣本相關系數；（精確到0.01）（3）已知與可以用模型進行擬合，若某只揚子鱷頭長為，利用所給數據估計這只揚子鱷的體長.附：相關系數.解：（1）平均頭長為，平均體長為.（2）由題可知（3）由題意知.所以，所以，令，得，因此估計這只揚子鱷的體長為.17.已知數列an滿足，當時，.（1）求an（2）設為數列的前項和，證明：.（參考結論：當時，.）解：（1）當時，.又，因此an的通項公式為.（2）由（1）知，因此.因為，所以當時，.因為當時，，所以，此時.綜上，.18.已知函數，其中.（1）討論在區間上的單調性；（2）若，函數在區間內存在唯一的極值點，求實數的取值范圍.解：（1）函數，求導得，設，則.而，則當時，，函數在上單調遞減，于是，所以函數在上單調遞減.（2）函數，求導得，若，由（1）知在上恒成立，從而在內無極值點，不符合題意；若，設，則，且，設，則在上恒成立，因此在上單調遞減，若，即，則在上恒成立，因此在上單調遞增，則上恒成立，從而單調遞增，無極值點，不符合題意；若，即，則在上存在零點，且在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以要使有極值點，必須有，即，從而的取值范圍是.19.已知拋物線的焦點到直線的距離為為直線上的動點，過點作直線分別與相切于點.（1）求的方程；（2）證明：直線過定點；（3）若直線分別交軸于點，求的最小值.解：（1）由題意知，結合，解得.故的方程為.（2）根據題意，直線的斜率存在，設其方程為.聯立，得..由可得，所以，因此的斜率分別為，的方程分別為，整理得，聯立的方程，解得，即.因為點在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過定點.（3）由（2）可知與軸的交點橫坐標分別為.因為，當時取等號，故AB的最小值為.河南省南陽市六校2023-2024學年高二下學期期末考試數學試題考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的：1.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.05 B.0.1 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】根據正態分布的基本性質可知，對稱軸為.故選：B.2.如圖，均為直角三角形，為直角頂點，，且，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數列為an，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個三角形的相似比為，從而這些三角形的周長從小到大組成的數列an是等比數列，公比，首項為的周長，因此.故選：C.3.已知函數，且，則實數（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意知，所以，所以，又，所以.故選：B4.已知是正項等比數列，若成等差數列，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】設等比數列an的公比為.因為成等差數列，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.所以.故選：D.5.已知為虛數單位，則的展開式中的系數為（）A. B.10 C. D.15【答案】C【解析】展開式的通項，當時，，因此的系數為.故選：C6.已知數列an滿足，且，設，則數列bn的前2024項和為（）A.674 B.673 C.-673 D.-674【答案】D【解析】因為奇數與奇數之和為偶數，奇數與偶數之和為奇數，所以數列an的各項的奇偶情況依次為奇?偶?奇?奇?偶?奇所以數列bn各項依次為，故數列bn以3為周期，且相鄰3項之和為-1因為，所以數列bn的前2024項和為.故選：D.7.已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，.當時，恒成立等價于恒成立，因為當時，，所以.當時，恒成立等價于恒成立.記，則在區間0,+∞上為增函數，并且零點為，單調遞減，單調遞增，因此，所以.綜上，.故選：A.8.已知雙曲線，如圖，過的右焦點作直線與的兩條漸近線分別交于點，與軸交于點，若，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】在中，因,可設，則，因，則,即，則，故.由三角形相似可知，因此.又因，所以.設，則，故，又中，，故得，即，從而，故得，從而離心率為.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一個家庭中共有3個孩子，用表示事件“該家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“該家庭中最多有1個女孩”，則（）A. B.C. D.與相互獨立【答案】ACD【解析】，故A正確.，所以，故B錯誤，C正確.因為，所以與相互獨立，故D正確.故選：ACD.10.已知數列的前項和，則下列說法中正確的是（）A.一定為等差數列B.可能為等比數列C.若，則一定為遞增數列D.若，則存在，使得【答案】BD【解析】對于A：當時，，該通項公式為一次函數形式，所以從第二項起為等差數列，所以數列是等差數列的條件只需滿足當時滿足的通項公式即可，即當，，所以只有當時，才是等差數列，故A錯誤；對于B：當時，，滿足要求，故B正確；對于C：若，則，所以，故C錯誤；對于D，若，函數的圖象關于直線對稱，因此，從而，故D正確.故選：BD11.已知函數，若不等式恰有一個整數解，則實數的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因為，所以，即.若，不等式化為，此不等式對任意恒成立，不符合條件.若，不等式化為，即恰有一個整數解.記，則，當，；當，；可得在上單調遞增，在上單調遞減，并且，因此恰有一個整數解時，實數的取值不可能是B，C，D.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將4個不同編號的球放到3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則不同的分配方法共有________種.【答案】【解析】由題意，將4個不同編號的球放到3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，先將4個不同編號的球分成3組，共有種不同的分法；再將分好的3組放到3個不同的盒子中，共有種不同的方法，由分步計數原理可得，共有種不同的分配方法.故答案為：.13.已知點在圓上運動，則的最小值是__________.【答案】【解析】由得，故圓的圓心為，半徑為1，當時，，當時，，如圖可知，故此時的最小值是直線斜率的最大值的倒數，令，即，則圓心到該直線的距離滿足，兩邊平方整理得，解得，故此時的最小值是，又，故的最小值為.故答案為：.14.已知函數及其導函數f'x定義域均為，且為偶函數，若時，，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】因為時，，所以，即，因此，從而在上單調遞增，又是上的偶函數，且是偶函數，所以，即是上的偶函數，故在上單調遞減，由于，因此，又即，即，所以，故由的單調性和偶函數特點可知，因此的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面.（1）若，求；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由平面，平面，.，且平面，所以平面.而平面，.四邊形是正方形，與重合，.（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設n=x,y,z為平面則，即，可取.設為直線與平面所成的角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.16.揚子鱷是中國特有的一種小型鱷類，是國家一級重點保護野生動物，活動區域主要在長江下游流域.研究人員為了解揚子鱷的生長發育情況，隨機抽取了6只揚子鱷，測量它們的頭長（單位與體長（單位：），得到如下數據：樣本編號123456頭長1515.315.316.616.817體長125128130138142153并計算得（1）求這6只揚子鱷的平均頭長與平均體長；（2）求揚子鱷的頭長與體長的樣本相關系數；（精確到0.01）（3）已知與可以用模型進行擬合，