2018年上期衡陽市八中高二年度過關考試文科數學試題時量120分鐘 滿分100分(考試范圍:集合、函數（不考導數）三角函數及解三角形、立體幾何、數列、平面向量及復數)一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設集合,集合是函數的定義域;則A. B. C. D. 2已知復數，則復數在復平面內對應的點位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3“pq為假”是“pq為假”的( )條件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要4如下圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中 與成角與為異面直線 以上四個命題中，正確的序號是 A. B. C. D. 5九章算術有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日共織二十八尺，第二日、第五日所織之和為七尺，則第十日所織尺數為A. 9 B. 10 C. 11 D. 126某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為A. 4 B. 8 C. D. 7設，則的大小關系是A. B. C. D. 8在中， ，則的面積等于A. B. 或 C. D. 或9已知數列滿足， 是等差數列，則數列的前10項的和A. 220 B. 110 C. 99 D. 5510已知ABC中，AB=2，AC=4，BAC=60，P為線段AC上任意一點，則PBPC的范圍是A. 1,4 B. 0,4 C. -2,4 D. -94,411將函數fx=2sinx+40的圖象向右平移4個單位長度，得到函數y=gx的圖象，若y=gx在-6,4上為增函數，則的最大值為A. 2 B. 3 C. 4 D. 612定義在區間（1，+）內的函數f（x）滿足下列兩個條件：對任意的x（1，+），恒有f（2x）=2f（x）成立； 當x（1，2時，f（x）=2x.已知函數y=f（x）的圖象與直線mx-y-m=0恰有兩個交點，則實數m的取值范圍是A. 1，2） B. （1，2C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。13已知，且與的夾角，則_ 14已知sin-=55，且在第二象限角，則 tan=_.15已知命題， 恒成立，命題，使得，若命題為真命題，則實數的取值范圍為_16已知定義在上的函數滿足，且當時， ，函數，實數滿足.若,使得成立,則的最大值為_.三、解答題：共52分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1719題每題8分，第20、21每題9分，第22題10分。17（滿分8分）已知函數.（I）求f(x)的最小正周期及對稱中心；（II）當時，求f(x)的值域18（滿分8分）設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=a(cosC-sinC)（1）求角A；（2）若a=10，sinB=2sinC，求ABC的面積19（滿分8分）已知向量， ， . （1）若，求的值； （2）若向量的夾角為，求的值.20（滿分9分）已知數列an-n是等比數列，且a1=9,a2=36（1）求數列an的通項公式；（2）求數列an-n2的前n項和Sn21（滿分9分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等邊三角形，BCCC14，D是A1C1中點(1)求證：A1B平面B1CD；(2)當三棱錐CB1C1D體積最大時，求點B到平面B1CD的距離22（滿分10分）數列an,bn滿足條件：a1=1,b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn，其中nN*.證明：對于任意的正整數n，有如下結果成立.（）數列an2-2bn2為等比數列；（）記數列cn=anbn-2，則數列cn為單調遞減數列；（）12212a1+132(12a1+22a2)+.+1(n+1)2(12a1+22a2+.+n2an)0，即x1，B=(1,+)，則AB=(1，2，2已知復數，則復數在復平面內對應的點位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】在復平面內對應的點坐標為在第一象限，故選A. 3“pq為假”是“pq為假”的( )條件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：根據充分、必要條件的定義進行判斷即可詳解：當“pq為假”時，則p和q都為假，故“pq為假”；反之，當“pq為假”時，則p和q中至少有一個為假，此時“pq為假”不一定成立所以“pq為假”是“pq為假”的充分不必要條件故選A4如下圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中 與成角與為異面直線 以上四個命題中，正確的序號是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中正方體的平面展開圖，得到正方體的直觀圖如上圖所示：由正方體的幾何特征可得：不平行，不正確；ANBM，所以，CN與BM所成的角就是ANC=60角，正確；與不平行、不相交，故異面直線與為異面直線，正確；易證，故，正確；故選D5九章算術有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日共織二十八尺，第二日、第五日所織之和為七尺，則第十日所織尺數為（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B【解析】分析: 由已知條件利用等差數列的前n項和公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出第十日所織尺數詳解: 設第一天織a1尺，從第二天起每天比第一天多織d尺，由已知得&S7=28&a2+a5=7，即7a1+762d=282a1+5d=7解得a1=1，d=1，第十日所織尺數為a10=a1+9d=1+91=10故選：B6某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C【解析】由題可知，幾何體是三棱錐，底面是邊長為2的等腰直角三角形，且頂點到底面的距離為2， .7設，則的大小關系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：，即，8在中， ，則的面積等于A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】試題分析：由余弦定理可得： 或，當時，當時，故選B.9已知數列滿足， 是等差數列，則數列的前10項的和A. 220 B. 110 C. 99 D. 55【答案】B【解析】設等差數列的公差為，則，將已知值和等量關系代入，計算得，所以，所以，選B.10已知ABC中，AB=2，AC=4，BAC=60，P為線段AC上任意一點，則PBPC的范圍是（ ）A. 1,4 B. 0,4 C. -2,4 D. -94,4【答案】D【解析】分析：建立平面直角坐標系，然后根據條件即可求出A， C點的坐標，表示PBPC，利用二次函數的圖象與性質求值域即可.詳解：以B為坐標原點，BC為x軸、BA為y軸建系，則C(23,0),A(0,2),AC:x23+y2=1，設P(x,y),x0,23y2=x23-43x+4,所以PBPC=(-x,-y)(23-x,-y)=x2+y2-23x=43x2-1033x+4 -94,4，故選：D.11將函數fx=2sinx+40的圖象向右平移4個單位長度，得到函數y=gx的圖象，若=y=gx在-6,4上為增函數，則的最大值為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】分析：根據圖象的變換，先求出gx的表達式，結合函數的單調性進行轉化即可.詳解：將函數fx=2sinx+40的圖象向右平移4個單位長度，得到函數gx，則gx=2sin(x-4)+4=2sinwx，若y=gx在-6,4上為增函數，則滿足T44，即T，所以0w2，所以實數w的最大值為2，故選A.12定義在區間（1，+）內的函數f（x）滿足下列兩個條件：對任意的x（1，+），恒有f（2x）=2f（x）成立； 當x（1，2時，f（x）=2x.已知函數y=f（x）的圖象與直線mx-y-m=0恰有兩個交點，則實數m的取值范圍是A. 1，2） B. （1，2C. D. 【答案】C【解析】直線過定點，畫出在上的部分圖象如圖，得又由題意得的函數圖象是過定點的直線，如圖所示紅色的直線與線段相交即可（可以與點重合但不能與點重合）分析圖象知，當時有兩個不同的交點二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。13已知，且與的夾角，則_【答案】【解析】， 故答案為.14已知sin-=55，且在第二象限角，則 tan=_.【答案】-12【解析】由題意可得：sin=sin-=55，結合角的范圍有：cos=-1-sin2=-255，則tan=sincos=-12.15已知命題， 恒成立，命題，使得，若命題為真命題，則實數的取值范圍為_【答案】【解析】當P為真命題時， 恒成立，所以， ，當Q為假命題時， 為真命題，即，所以，又命題為真命題，所以命題都為真命題，則 ，即。故實數的取值范圍是。16已知定義在上的函數滿足，且當時， ，函數，實數滿足.若,使得成立,則的最大值為_.1，【解析】因為在時，最大值為，所以只有當時， ， 才能成立，當 時， 解得，因為函數是周期函數，所以則的最大值為1，點睛：函數是周期函數，可以在一個周期內研究問題的原型，選擇一個周期時， 解得，這是一個周期內，滿足條件的最大自變量取值范圍，因此在整個定義域上，若,使得成立,則的最大值為1三、解答題：共52分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1719題每題8分，第20、21每題9分，第22題10分。17（滿分8分）已知函數.（I）求f(x)的最小正周期及對稱中心；（II）當時，求f(x)的值域【答案】（） ；（）詳見解析.【解析】試題解析：（）.所以的最小正周期.（）因為，所以.所以.18（滿分8分）設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=a(cosC-sinC)（1）求角A；（2）若a=10，sinB=2sinC，求ABC的面積【答案】（1）A=34；（2）1詳解：（1）b=a(cosC-sinC)，由正弦定理得sinB=sinAcosC-sinAsinC，可得sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC-sinAsinC，cosAsinC=-sinAsinC，由sinC0，可得sinA+cosA=0，tanA=-1，由A為三角形內角，可得A=34（2）因為sinB=2sinC，所以由正弦定理可得b=2c，因為a2=b2+c2-2bccosA，A=34，可得c=2，所以b=2，所以SABC=12bcsinA=119（滿分8分）已知向量， ， . （1）若，求的值； （2）若向量的夾角為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）若，則=0，結合三角函數的關系式即可求tanx的值；（2）若與的夾角為，利用向量的數量積的坐標公式進行求解即可求x的值，進而得到的值試題解析：（1）由可得, 即，化簡可得，則，（2）由題意可得， ， ， 而由的夾角為可得， 因此有，則. 所以 20（滿分9分）已知數列an-n是等比數列，且a1=9,a2=36（1）求數列an的通項公式；（2）求數列an-n2的前n項和Sn【答案】（1）an=n+2n2（2）Sn=n-12n+2+4n+1+83【解析】分析：（1）根據數列an-n為等比數列，可求其公比q=2，再寫出其通項an-n，可得數列an得通項；（2）由（1）可得an-n2=n2n+1+4n，結合分組求和法及錯位相減法可求其前n項和Sn.詳解：（1）設等比數列an-n的公比為q，則q=a2-2a1-1=6-23-1=2，從而an-n=3-12n-1，故an=n+2n2；（2）an=n+2n2,an-n2=n2n+1+4n，記Tn=22+223+n-12n+n2n+1，2Tn=23+224+n-12n+1+n2n+2-Tn=22+23+2n+1-n2n+2=2n+2-4-n2n+2=1-n2n+2-4Tn=n-12n+2+4；故Sn=Tn+4-4n+11-4=n-12n+2+4n+1+8321（滿分9分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等邊三角形，BCCC14，D是A1C1中點(1)求證：A1B平面B1CD；(2)當三棱錐CB1C1D體積最大時，求點B到平面B1CD的距離【答案】(1)詳見解析;(2) .試題解析：(1)證明：連接BC1交B1C于O，連接DO.在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BB1C1C為平行四邊形，則BOOC1，又D是A1C1中點，DOA1B，而DO平面B1CD，A1B平面B1CD，A1B平面B1CD.(2)設點C到平面A1B1C1的距離是h，則VCB1C1DSB1C1Dhh，而hCC14，故當三棱錐CB1C1D體積最大時，hCC14，即CC1平面A1B1C1.(6分)由(1)知BOOC1，所以B到平面B1CD的距離與C1到平面B1CD的距離相等CC1平面A1B1C1，B1D平面A1B1C1，CC1B1D.ABC是等邊三角形，D是A1C1中點，A1C1B1D，又CC1A1C1C1，CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，B1D平面AA1C1C，B1DCD，由計算得：B1D2，CD2，所以SB1CD2.設C1到平面B1CD的距離為h，由VCB1C1DVC1B1CD，得4SB1CDhh，所以B到平面B1CD的距離是.22（滿分10分）數列an,bn滿足條件：a1=1,b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn，其中nN*.證明：對于任意的正整數n，有如下結果成