.,1,理論力學(xué),力學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)介紹,.,2,主要內(nèi)容靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)專題,.,3,靜力學(xué)部分力、力矩、力系力偶、力偶矩、力偶系主矢、主矩、力系簡(jiǎn)化約束與約束力力系平衡考慮摩擦的平衡問(wèn)題,.,4,考慮摩擦的平衡問(wèn)題,.,5,定義：兩個(gè)相接觸物體，當(dāng)其接觸處產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸處產(chǎn)生的阻礙物體相對(duì)滑動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。,滑動(dòng)摩擦,1.靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力,如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，當(dāng)水平方向無(wú)拉力時(shí)，顯然有P=FN。現(xiàn)在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當(dāng)拉力F由零逐漸增加但又不很大時(shí)，物體仍能維持平衡。,.,6,由此可見(jiàn)，支承面對(duì)物體的約束力除了法向約束力FN外還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向約束力Fs，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不能隨F的增大而無(wú)限地增大。而有一個(gè)最大值Fmax，稱為最大靜摩擦力，此時(shí)物體處于平衡的臨界狀態(tài)。當(dāng)主動(dòng)力F大于Fmax時(shí)，物體將失去平衡而滑動(dòng)。即,.,7,實(shí)驗(yàn)表明,上式稱為庫(kù)侖摩擦定律，是計(jì)算最大靜摩擦力的近似公式。式中fs稱為靜摩擦因數(shù)，它是一個(gè)無(wú)量綱的量。一般由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。,2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦力,當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，接觸物體之間仍有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力，以Fd表示，大小可用下式計(jì)算。,式中fd是動(dòng)摩擦因數(shù)，通常情況下，,.,8,摩擦角和自鎖現(xiàn)象,1.摩擦角,當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)物體的約束力有法向約束力FN和切向約束力Fs，這兩個(gè)力的合力稱為全約束力FR。,它的作用線與接觸處的公法線成一偏角j,如圖所示，當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大時(shí)，j也達(dá)到最大值jf,稱jf為摩擦角。,.,9,2.自鎖現(xiàn)象,由于全約束力的作用線與接觸處公法線的夾角j不能大于摩擦角，即變化范圍為0jjf，因此可得：,如果作用于物體的全部主動(dòng)力的合力的作用線與公法線的夾角qjf，則無(wú)論這個(gè)力多么小，物體必不能保持平衡。,.,10,摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時(shí)斜面的傾角q,即,下面的螺旋千斤頂就利用了自鎖的概念。,.,11,考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題,考慮有摩擦的平衡問(wèn)題時(shí)，其解法與普通靜力學(xué)問(wèn)題基本一樣。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補(bǔ)充方程0FsfsFN，因此有摩擦的平衡問(wèn)題的解通常是一個(gè)范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（Fs=fsFN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，只有摩擦力是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向。,求解時(shí)，根據(jù)具體的問(wèn)題采用解析法或幾何法求解，下面舉例說(shuō)明,.,12,取物塊A為研究對(duì)象，受力分析如圖。列平衡方程。,解:,例題5-1,聯(lián)立求解得,最大靜摩擦力,所以作用在物體上的摩擦力為,因?yàn)?小物體A重P=10N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.3。今在小物體A上施加F=4N的力，q=30，試求作用在物體上的摩擦力。,.,13,(a),構(gòu)件A及B用楔塊C聯(lián)結(jié)，如圖(a)所示，楔塊自重不計(jì)，。已知楔塊與構(gòu)件間的摩擦系數(shù)fs=0.1,求能自鎖的傾斜角q。,解：(1)解析法研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡,例題5-2,再考慮補(bǔ)充方程,聯(lián)立解之得,(b),.,14,(c),(2)幾何法,仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C兩端所受的全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點(diǎn)處的法線的夾角均等于摩擦角jf如圖(c)所示。,由幾何關(guān)系不難得,以上是考慮臨界狀態(tài)所得結(jié)果，稍作分析即可得,例題5-2,.,15,例題5-3,平衡方程為,取支架為研究對(duì)象,受力分析如圖。,（1）解析法,解:,一活動(dòng)支架套在固定圓柱的外表面，且h=20cm。假設(shè)支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.25。問(wèn)作用于支架的主動(dòng)力F的作用線距圓柱中心線至少多遠(yuǎn)才能使支架不致下滑（支架自重不計(jì)）。,.,16,聯(lián)立求解得,補(bǔ)充方程,例題5-3,解得,（2）幾何法,由以上二個(gè)例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交定理且?guī)缀侮P(guān)系又較簡(jiǎn)單，用幾何法往往較方便。,.,17,寬a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其幾何中心，柜與地面間的靜摩擦因數(shù)是fs，在柜的側(cè)面施加水平向右的力F，求柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)所需推力F的最小值。,例題5-4,.,18,1.假設(shè)不翻倒但即將滑動(dòng)，考慮臨界平衡。,解:,取矩形柜為研究對(duì)象,受力分析如圖。,聯(lián)立求解得柜子開(kāi)始滑動(dòng)所需的最小推力,補(bǔ)充方程,列平衡方程,例題5-4,.,19,2.假設(shè)矩形柜不滑動(dòng)但將繞B翻倒。,柜繞B翻倒條件：FNA=0,使柜翻倒的最小推力為,列平衡方程,解得,例題5-4,綜上所述使柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)所需的最小推力為,.,20,長(zhǎng)為l的梯子AB一端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設(shè)梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計(jì)。今有一重為P的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角q。,例題5-5,.,21,以梯子AB為研究對(duì)象，人的位置用距離a表示，梯子的受力如圖。,解：,使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程：,同時(shí)滿足物理?xiàng)l件,例題5-5,聯(lián)立解之得,因0al，當(dāng)a=l時(shí)，上式左邊達(dá)到最大值。,.,22,重為P=100N的勻質(zhì)滾輪夾在無(wú)重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB，其大小為FB=50N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間的摩擦因數(shù)為fs1=0.4。輪半徑為r，桿長(zhǎng)為l，當(dāng)q=60時(shí)，AC=CB=0.5l，如圖所示。如要維持系統(tǒng)平衡，（1）若D處?kù)o摩擦因數(shù)fs2=0.3，求此時(shí)作用于輪心O處水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此時(shí)F的最小值又為多少？,例題5-6,.,23,解：,此題在C，D兩處都有摩擦，兩個(gè)摩擦力之中只要有一個(gè)達(dá)到最大值，系統(tǒng)即處于臨界狀態(tài)。,假設(shè)C處的摩擦先達(dá)到最大值，輪有水平向右滾動(dòng)的趨勢(shì)。,例題5-6,1.以桿AB為研究對(duì)象，受力分析如圖。,解得,列平衡方程,補(bǔ)充方程,.,24,例題5-6,2.以輪為研究對(duì)象，列平衡方程。,當(dāng)fs2=0.3時(shí)，D處最大摩擦力為,.,25,解方程得,最小水平推力為,受力圖不變，補(bǔ)充方程應(yīng)改為,此時(shí)C處最大摩擦力為,因此當(dāng)fs2=0.15時(shí)，維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力改為,說(shuō)明前面假定不成立，D處應(yīng)先達(dá)到臨界狀態(tài)。,3.當(dāng)fs2=0.15時(shí),例題5-6,.,26,由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，如果仍用下圖的力學(xué)模型來(lái)分析就存在問(wèn)題。即無(wú)論水平力F多么小，此物體均不能平衡，因?qū)c(diǎn)A的矩的平衡方程不滿足，即,5-4滾動(dòng)摩阻的概念,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們?cè)诹Φ淖饔孟露紩?huì)發(fā)生一些變形，有一個(gè)接觸面，如圖所示。,這是與實(shí)際情況不符的，說(shuō)明此力學(xué)模型有缺陷，需要修正。,.,27,與靜滑動(dòng)摩擦力相似，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf隨主動(dòng)力F的增大而增大；但有一個(gè)最大值Mmax,即,或,且最大滑動(dòng)摩阻力偶矩,上式即是滾動(dòng)摩阻定律，d稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，具有長(zhǎng)度的量綱，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無(wú)關(guān)。,.,28,滾阻系數(shù)的物理意義如下,由力的平移定理,一般情況下，相對(duì)滑動(dòng)摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計(jì)。,.,29,取輪子為研究對(duì)象,受力分析如圖。由平衡方程,解:,例題5-7,勻質(zhì)輪子的重量P=3kN，半徑r=0.3m；今在輪中心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成q=30的斜面勻速向上作純滾動(dòng)。已知輪子與斜面的滾阻系數(shù)=0.05cm，試求力FH的大小。,聯(lián)立求解,補(bǔ)充方程,.,30,如圖所示，總重為P的拖車在牽引力F作用下要爬上傾角為的斜坡。設(shè)車輪半徑為r，輪胎與路面的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為，其它尺寸如圖所示。求拖車所需的牽引力。,例題5-8,.,31,拖車的兩對(duì)輪子都是從動(dòng)輪，因此滑動(dòng)摩擦力的方向都朝后。設(shè)拖車處于開(kāi)始向上滾動(dòng)的臨界狀態(tài)，因此前后輪的滾動(dòng)摩阻力偶的力偶矩M1,max和M2max都達(dá)到最大值。,解：,由平衡方程,首先取整個(gè)拖車為研究對(duì)象，受力分析如圖。,例題5-8,.,32,再取前輪為研究對(duì)象，受力分析如圖。,同樣由后輪得,輪子滾動(dòng)臨界時(shí)的補(bǔ)充方程,解方程可得,列平衡方程,例題5-8,.,33,運(yùn)動(dòng)學(xué)部分矢量法、直角坐標(biāo)法、自然坐標(biāo)法（軌跡、速度、加速度）平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（各點(diǎn)速度與加速度）點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)（速度與加速度）剛體平面運(yùn)動(dòng)（瞬心、各點(diǎn)速度與加速度）,.,34,動(dòng)力學(xué)部分質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、慣量積、慣性主軸動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能、沖量、功、勢(shì)能動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)方程及其應(yīng)用慣性力及慣性力系簡(jiǎn)化、動(dòng)靜法、靜平衡與動(dòng)平衡的概念,.,35,專題部分機(jī)械振動(dòng)（單自由度振動(dòng)的周期、頻率、振幅、臨界轉(zhuǎn)速和隔振的概念）第二類拉格朗日方程（廣義力的概念與計(jì)算，第二類拉格朗日方程的應(yīng)用）,.,36,專題部分質(zhì)點(diǎn)系虛位移原理應(yīng)用（虛位移、虛功、自由度、廣義坐標(biāo)）碰撞問(wèn)題（碰撞問(wèn)題特征及其簡(jiǎn)化條件，恢復(fù)因數(shù)、對(duì)心碰撞及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體和平面運(yùn)動(dòng)剛體的碰撞問(wèn)題）,.,37,機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),.,38,振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見(jiàn)的現(xiàn)象。例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。,利：振動(dòng)給料機(jī)弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度振動(dòng)篩引起噪聲，影響勞動(dòng)條件振動(dòng)沉拔樁機(jī)等消耗能量，降低精度等。,3.研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng)為人類服務(wù)。,2.振動(dòng)的利弊：,1.所謂振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,.,39,本章重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)。,.,40,單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng),一、自由振動(dòng)的概念：,.,41,.,42,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動(dòng)稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。,質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：?jiǎn)螖[：復(fù)擺：,.,43,二、單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解,對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以q為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開(kāi)始量取），則自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：,ke,me是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令,則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：,解為：,.,44,設(shè)t=0時(shí)，則可求得：,或：,C1，C2由初始條件決定為,.,45,三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)：A物塊離開(kāi)平衡位置的最大位移，稱為振幅。nt+q相位，決定振體在某瞬時(shí)t的位置q初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。T周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。f頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)，f=1/T。固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。,.,46,無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是：,(2)振幅A和初相位q取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速度)；,(1)振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；,四、其它1.如果系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。,.,47,2.彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度,并聯(lián),串聯(lián),.,48,19-2求系統(tǒng)固有頻率的方法,由Tmax=Vmax,求出,.,49,無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。,如：,.,50,能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來(lái)得更為簡(jiǎn)便的一種方法。,例2圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無(wú)側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無(wú)滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為m1，重物質(zhì)量m2，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率。,.,51,解1：以x為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則任意位置x時(shí)：,靜平衡時(shí)：,.,52,應(yīng)用動(dòng)量矩定理：,由，有,振動(dòng)微分方程：固有頻率：,A,.,53,解2：用機(jī)械能守恒定律以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）,以平衡位置為計(jì)算勢(shì)能的零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)2x,因平衡時(shí),.,54,由T+V=有：,對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，再消去公因子，得,.,55,如圖所示兩個(gè)相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑皆為R，半徑為r的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪連一鉛直彈簧，輪掛一重物。塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J，彈簧剛度為k。重物質(zhì)量為m，求此系統(tǒng)的固有頻率。,例3,.,56,.,57,解：,系統(tǒng)平衡處彈簧雖有拉長(zhǎng)，但如前所述，從平衡位置起計(jì)算彈性變形，可以不再計(jì)入重力。由幾何關(guān)系，當(dāng)重物位于x處，彈簧由平衡位置計(jì)算的變形量也是x，則系統(tǒng)的勢(shì)能為,以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取x軸如圖。重物于任意坐標(biāo)x處，速度為x的導(dǎo)數(shù)，兩塔輪的角速度皆為。系統(tǒng)動(dòng)能為,.,58,不計(jì)摩擦，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有,兩端對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得,上式為自由振動(dòng)微分方程，系統(tǒng)固有頻率為,.,59,如圖所示表示以質(zhì)量為m，半徑是r的圓柱體，在一半徑是R的圓弧槽上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近做微小振動(dòng)的固有頻率。,例4,.,60,解：,用能量法求解這個(gè)問(wèn)題。,設(shè)在振動(dòng)過(guò)程中，圓柱體中心與圓槽中心的連線OO1與鉛直線OA的夾角為。圓柱體中心O1的線速度為,由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)圓柱體做純滾動(dòng)時(shí)，其角速度為,因此系統(tǒng)的動(dòng)能為,.,61,整理后得,系統(tǒng)的勢(shì)能即重力勢(shì)能，圓柱在最低處平衡，取該處圓心位置C為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為,當(dāng)圓柱體作微振動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為,因此勢(shì)能可改寫成,.,62,設(shè)系統(tǒng)做自由振動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律為,則系統(tǒng)的最大動(dòng)能,由機(jī)械能守恒定律，有Tmax=Vmax，解得系統(tǒng)的固有頻率為,系統(tǒng)的最大勢(shì)能,.,63,例5鼓輪：質(zhì)量m1，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑r，彈簧剛度，重物質(zhì)量為m2,不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。,解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：,.,64,系統(tǒng)的最大勢(shì)能為：,系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：,.,65,設(shè)則有,根據(jù)Tmax=Vmax,解得,.,66,19-3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),一、阻尼的概念：阻尼：振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受的阻力。粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。,投影式：,c粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)。,.,67,二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：,有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,.,68,其通解分三種情況討論：1、小阻尼情形,有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率,.,69,衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：(1)振動(dòng)周期變大，頻率減小。,阻尼比,有阻尼自由振動(dòng)：,當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為,.,70,(2)振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減,對(duì)數(shù)減縮率,2、臨界阻尼情形臨界阻尼系數(shù),相鄰兩次振幅之比,.,71,可見(jiàn)，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。,代入初始條件,3、過(guò)阻尼（大阻尼）情形,.,72,19-6臨界轉(zhuǎn)速減振與隔振的概念,一、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速引起轉(zhuǎn)子劇烈振動(dòng)的特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引起的，在軸的設(shè)計(jì)中對(duì)高速軸應(yīng)進(jìn)行該項(xiàng)驗(yàn)算。,單圓盤轉(zhuǎn)子：圓盤：質(zhì)量m,質(zhì)心C點(diǎn)；轉(zhuǎn)軸過(guò)盤的幾何中心A點(diǎn)，AC=e，盤和軸共同以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)n（n為圓盤轉(zhuǎn)軸所組成的系統(tǒng)橫向振動(dòng)的固有頻率）時(shí)，OC=x+e(x為軸中點(diǎn)A的彎曲變形）。,.,73,（k為轉(zhuǎn)軸相當(dāng)剛度系數(shù)）,臨界角速度：臨界轉(zhuǎn)速：,.,74,質(zhì)心C位于O、A之間OC=x-e,當(dāng)轉(zhuǎn)速非常高時(shí)，圓盤質(zhì)心C與兩支點(diǎn)的連線相接近，圓盤接近于繞質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)，于是轉(zhuǎn)動(dòng)平穩(wěn)。為確保安全，軸的工作轉(zhuǎn)速一定要避開(kāi)它的臨界轉(zhuǎn)速。,.,75,二、減振與隔振的概念劇烈的振動(dòng)不但影響機(jī)器本身的正常工作，還會(huì)影響周圍的儀器設(shè)備的正常工作。減小振動(dòng)的危害的根本措施是合理設(shè)計(jì)，盡量減小振動(dòng)，避免在共振區(qū)內(nèi)工作。許多引發(fā)振動(dòng)的因素防不勝防，或難以避免，這時(shí)，可以采用減振或隔振的措施。,減振：在振體上安裝各種減振器，使振體的振動(dòng)減弱。例如，利用各種阻尼減振器消耗能量達(dá)到減振目的。,.,76,隔振：將需要隔離的儀器、設(shè)備安裝在適當(dāng)?shù)母粽衿鳎◤椥匝b置）上，使大部分振動(dòng)被隔振器所吸收。,.,77,碰撞問(wèn)題,.,78,在前面討論的問(wèn)題中，物體在力的作用下，運(yùn)動(dòng)速度都是連續(xù)地、逐漸地改變的。本章研究另一種力學(xué)現(xiàn)象碰撞，兩個(gè)或兩個(gè)以上相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體在瞬間接觸、速度發(fā)生突然改變的力學(xué)現(xiàn)象稱為碰撞。物體發(fā)生碰撞時(shí)，會(huì)在非常短促的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)速度突然發(fā)生有限的改變。碰撞是工程中常見(jiàn)而非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，本章在一定的簡(jiǎn)化條件下，討論兩個(gè)物體間的碰撞過(guò)程中的一些基本規(guī)律。,.,79,17-1碰撞的分類碰撞問(wèn)題的簡(jiǎn)化,碰撞：運(yùn)動(dòng)或靜止的物體在突然受到?jīng)_擊（包括突然受到約束或解除約束）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生急劇的變化，這種現(xiàn)象稱為碰撞。,1.碰撞的分類,兩物體碰撞時(shí)，按其相處位置劃分，可分為對(duì)心碰撞、偏心碰撞與正碰撞、斜碰撞。,碰撞時(shí)兩物體間的相互作用力，稱為碰撞力（或稱瞬間力）。若碰撞力的作用線通過(guò)兩物體的質(zhì)心，稱為對(duì)心碰撞，否則稱為偏心碰撞。,.,80,.,81,兩物體碰撞時(shí)，按其接觸處有無(wú)摩擦，可分為光滑碰撞與非光滑碰撞。兩物體相碰撞時(shí)，按物體碰撞后的恢復(fù)程度（或能量有無(wú)損失），可分為完全彈性碰撞、彈性碰撞與塑性碰撞。,若碰撞時(shí)各自質(zhì)心的速度均沿著公法線，稱為正碰撞，否則稱為斜碰撞。按此分類還有對(duì)心正碰撞，偏心正碰撞。上圖中左圖所示即為對(duì)心正碰撞。,.,82,碰撞現(xiàn)象的特點(diǎn)是時(shí)間極短，一般為10-310-4s，速度改變?yōu)橛邢拗担铀俣茸兓薮螅鲎擦O大。,2.對(duì)碰撞問(wèn)題的兩點(diǎn)簡(jiǎn)化,設(shè)榔頭重10N，以v1=6m/s的速度撞擊鐵塊，碰撞時(shí)間t=1/1000s,碰撞后榔頭以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔頭打擊鐵塊的力的平均值。,以榔頭為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)量定理,投影形式為,碰撞力的變化如圖，平均打擊力為,是榔頭重的765倍。,.,83,可見(jiàn)，即使是很小的物體，當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度很高時(shí)，瞬時(shí)力可以達(dá)到驚人的程度。有關(guān)資料介紹，一只重17.8N的飛鳥與飛機(jī)相撞，如果飛機(jī)速度是800km/h，（對(duì)現(xiàn)代飛機(jī)來(lái)說(shuō)，這只是中等速度），碰撞力可高達(dá)3.56105N，即為鳥重的2萬(wàn)倍！這是航空上所謂“鳥禍”的原因之一。,害的一面：“鳥禍”、機(jī)械、儀器及其它物品由于碰撞損壞等。利的一面：利用碰撞進(jìn)行工作，如鍛打金屬，用錘打樁等。研究碰撞現(xiàn)象，就是為了掌握其規(guī)律，以利用其有利的一面，而避免其危害。,.,84,2）由于碰撞過(guò)程非常短促，碰撞過(guò)程中，速度變化為有限值，物體在碰撞開(kāi)始和碰撞結(jié)束的位置變化很小，因此在碰撞過(guò)程中，物體的位移忽略不計(jì)。,根據(jù)碰撞的上述特點(diǎn)，在研究一般碰撞問(wèn)題時(shí)，通常做下面兩點(diǎn)簡(jiǎn)化：,1）在碰撞過(guò)程中，由于碰撞力非常大，重力、彈性力等普通力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能夠與之相比，因此這些普通力的沖量忽略不計(jì)；,.,85,17-2用于碰撞過(guò)程的基本定理,由于碰撞力變化復(fù)雜，不宜直接用力或者運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)描述碰撞過(guò)程；又由于用力的功難以計(jì)算碰撞過(guò)程機(jī)械能的損失，因此也不宜用動(dòng)能定理來(lái)描述碰撞過(guò)程中能量的變化。而對(duì)由于碰撞沖量的作用使物體運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生的變化可以用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理的積分形式來(lái)研究。,.,86,1、用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量定理沖量定理。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，碰撞開(kāi)始時(shí)的速度v，結(jié)束瞬時(shí)的速度v,則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理為,其中I為碰撞沖量，普通力沖量忽略不計(jì)。,設(shè)Ii(e)為外碰撞沖量、Ii(i)為內(nèi)碰撞沖量。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)受碰撞的質(zhì)點(diǎn)，有,相加后，并考慮Ii(i)=0，得,.,87,上式即為用于碰撞過(guò)程的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，它不計(jì)普通力的沖量，也稱沖量定理：質(zhì)點(diǎn)系在碰撞開(kāi)始和結(jié)束時(shí)動(dòng)量的變化，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量的主矢。,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量也可用總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積計(jì)算。則,2、用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量矩定理沖量矩定理。,由用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量定理,對(duì)上式兩邊矢積矢徑ri得,上式也稱為碰撞時(shí)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,.,88,將n個(gè)方程求和,即,上式中riIi(e)為沖量矩，其中不計(jì)普通力的沖量矩。該式是用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量矩定理，又稱沖量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系在碰撞開(kāi)始和結(jié)束時(shí)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩的變化，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量對(duì)同一點(diǎn)的主矩。,.,89,3、碰撞時(shí)的剛體平面運(yùn)動(dòng)方程,質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理與對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理具有相同的形式，如此推證相似，可以得到用于碰撞過(guò)程的質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理,對(duì)平行于其對(duì)稱面的平面運(yùn)動(dòng)剛體，有,上式成為,再結(jié)合,以上稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)的碰撞方程。,.,90,17-3質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定面的碰撞恢復(fù)系數(shù),設(shè)一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿鉛直方向落到水平的固定平面上，如圖所示。,.,91,第一階段：開(kāi)始接觸至變形達(dá)到最大。該階段中，小球動(dòng)能減小,變形增大。設(shè)碰撞沖量為I1，則應(yīng)用沖量定理在y軸投影式,第二階段：由彈性變形開(kāi)始恢復(fù)到脫離接觸。該階段中，小球動(dòng)能增大，變形（彈性）逐漸恢復(fù)。設(shè)碰撞沖量為I2，則：,該碰撞過(guò)程分為兩個(gè)階段：,.,92,由于碰撞過(guò)程有能量損失（發(fā)光、發(fā)熱、發(fā)聲等），一般v小于v，但牛頓發(fā)現(xiàn)，其比值對(duì)于材料確定的物體幾乎不變。即,常數(shù)k稱為恢復(fù)因數(shù)，且恒取正值。,.,93,恢復(fù)因數(shù)k一般需實(shí)驗(yàn)確定，用待測(cè)定恢復(fù)因數(shù)的材料做成小球和質(zhì)量很大的平板，如圖所示，測(cè)定小球下落高度h1和小球彈起高度h2，則,則恢復(fù)因數(shù)為,恢復(fù)因數(shù)表示物體在碰撞后速度的恢復(fù)程度，也表示物體變形恢復(fù)的程度，并且反映出碰撞過(guò)程中機(jī)械能損失的程度。,.,94,k=0為極限情況，物體在碰撞結(jié)束后變形絲毫沒(méi)有恢復(fù)，稱為非彈性碰撞或塑性碰撞。,一般0v1,.,97,列出補(bǔ)充方程：,聯(lián)立解得,對(duì)于完全彈性碰撞（k=1）：,(碰撞后兩物體交換速度),.,98,對(duì)于塑性碰撞（k=0）：,對(duì)于一般情況（00。,在20的臨界情形時(shí),v0趨近于最小速度v01,代入(3)得,由此求得所需的最小速度,根據(jù)積分形式的動(dòng)能定理T2T1W,有,(c),.,113,A，B兩球大小相同，質(zhì)量相等。球A以速度v1=2ms1撞擊靜止的球B。碰撞前球A球心的速度與球B相切，如圖所示。設(shè)碰撞是光滑的。恢復(fù)系數(shù)k=0.6，求碰撞后兩球的速度。,例5,.,114,.,115,考察球A，因碰撞力沿法線n-n方向，其沿切線t-t的動(dòng)量不變，即,由直角三角形OO1T可求得，碰撞前球B的速度為零，。,碰撞后球B的速度u2沿n-n線，球A碰撞后的速度u1與公切線t-t成角。,根據(jù)動(dòng)量守恒定理，沿n-n方向動(dòng)量守恒，,(a),(b),解：,.,116,由（a），（b）和（c）三式，代入。又因m1=m2，得,又知恢復(fù)系數(shù),(c),求得,.,117,滾珠軸承中鋼球的檢驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖如圖所示。鋼球從H=1m高度靜止落下，撞在一斜置的重鋼板光滑平面上（傾角=10）。如要求恢復(fù)系數(shù)小于0.7的鋼球，碰撞后回跳時(shí)不能超過(guò)固定障礙A，求擋板上端A點(diǎn)的位置xA，yA應(yīng)為多少？,例6,.,118,.,119,恢復(fù)系數(shù)為，此處，Oy軸與切線t-t之間的夾角j為,設(shè)鋼球質(zhì)量為m，重鋼板質(zhì)量為M，。碰撞前后鋼板不動(dòng)，即v2=u2=0。,解:,因碰撞力沿法線n-n方向，故切線t-t方向的動(dòng)量不變，得,解聯(lián)立方程，求得：,.,120,由此可知鋼球碰撞后的速度u1的大小和方向決定于k。令k=0.7，代入數(shù)據(jù)，求得,根據(jù)物理學(xué)拋射體的軌跡公式得知xA等于射程之半，yA等于最高點(diǎn)高度，且已知，仰角，則可求得：,.,121,兩個(gè)質(zhì)量相等的球1和2，碰撞前的速度分別為v1=2ms1和v2=3ms1，方向如圖所示。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為k=0.60，求碰撞后每球的速度和碰撞時(shí)所損失的動(dòng)能占原有動(dòng)能的百分比。,例7,.,122,.,123,設(shè)兩球質(zhì)量均為m，假設(shè)兩球碰撞后速度為u1和u2。因每個(gè)球碰撞前后在切線方向的動(dòng)量不變，故u1必沿法線方向。設(shè)u2與法線的夾角為，則,（a）,因整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒，故沿法線n-n方向的動(dòng)量守恒投影式為,（b）,解:,1.求碰撞后每球的速度。,.,124,式（d）+（e）得,由式（a），（b）和（c），可求得三個(gè)未知量u1，u2和。,由式（c）得,由式（b）得,（e）,（d）,此外由恢復(fù)系數(shù)的定義，得,（c）,.,125,代入數(shù)據(jù)求得,代入式（a）,由式（a）和（e），消去u2，得,.,126,動(dòng)能的損失,2.碰撞時(shí)所損失的動(dòng)能占原有動(dòng)能的百分比。,碰撞前動(dòng)能,損失的動(dòng)能占原有動(dòng)能的百分比為,.,127,勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量是m，半徑是r，以質(zhì)心速度vC斜向撞在水平面上，vC對(duì)鉛直線成偏角q。同時(shí)球殼具有繞水平質(zhì)心軸(垂直于vC)的角速度w0。假定碰撞接觸點(diǎn)的速度能按反向全部恢復(fù)(k=k=1)，求碰撞后球殼的運(yùn)動(dòng)。,例8,.,128,.,129,解：,球殼作平面運(yùn)動(dòng)，作用于它的外碰撞沖量有瞬時(shí)法向反力的沖量IN和瞬時(shí)摩擦力的沖量IF。,設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)質(zhì)心速度是uC，繞質(zhì)心軸的角速度是(規(guī)定以逆鐘向?yàn)檎?。,寫出質(zhì)心沖量方程和對(duì)質(zhì)心的沖量矩方程，并注意球殼對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC=2Mr23，有,.,130,由恢復(fù)系數(shù)的定義可知，在完全彈性碰撞結(jié)束后，接觸點(diǎn)的切向和法向相對(duì)速度都按相反方向全部恢復(fù)。以vA和uA分別表示碰撞始末接觸點(diǎn)A的速度，則有,由運(yùn)動(dòng)學(xué)知,從而可得,.,131,于是，上面兩個(gè)等式()就可寫成,聯(lián)立求解上列方程(1)(5)，就可得到需求的全部答案。,.,132,(a),由式(a)可以求出球殼回跳時(shí)的角度，有,這個(gè)結(jié)果表明有可能取任意的數(shù)值，只要vC，q和w配合適當(dāng)。,.,133,均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，以速度v平行于桿自身而斜撞于光滑地面，桿與地面成角，如圖所示。若為完全彈性碰撞，試求撞后桿的角速度。,例9,.,134,.,135,地面光滑，桿只受有y方向的碰撞沖量I，桿沿x方向動(dòng)量守恒。設(shè)桿撞后質(zhì)心C的速度為vC，角速度為w，如圖所示。則x方向有,沿y軸投影為,由平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法得知點(diǎn)A速度為,(a),解：,.,136,撞擊點(diǎn)A在碰撞前的法向速度為，由恢復(fù)系數(shù),對(duì)質(zhì)心C的沖量矩定理為,沖量定理沿y軸投影式為,代入式（a），得,(b),(c),(d),.,137,由(c)、（d）二式消去I，得,解出,代入式（b），得,即,.,138,均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，如圖所示。設(shè)桿在鉛直面內(nèi)保持水平下降，桿與固定支點(diǎn)E碰撞，前其質(zhì)心的速度為v0，恢復(fù)系數(shù)為k。求碰撞后桿的質(zhì)心速度uy和桿的角速度。已知E點(diǎn)到桿左端的距離為。,例10,.,139,不考慮碰撞時(shí)桿的彈性振動(dòng)，可看成是剛體碰撞的突加約束問(wèn)題。E為固定障礙，碰撞前桿作平動(dòng)，碰撞后桿作平面運(yùn)動(dòng)。,作Exy坐標(biāo)軸，Ey向下為正。圖上所表示的方向均假設(shè)為正。,應(yīng)用投影式，得,（a）,（b）,解：,上面三個(gè)未知量uy，S，故還需建立一個(gè)方程才能求解。,.,140,注意，碰撞前E的速度為v0（方向向下），碰撞后E點(diǎn)的速度是質(zhì)心速度uy（方向向下）與桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度（方向向上）的代數(shù)和，故得,（c）,上面三個(gè)未知量uy，S，故還需建立一個(gè)方程才能求解。,.,141,由式（a），（b）和（c），消去I，求得,代入,得,.,142,若為彈性碰撞，k=1，此時(shí)求得,若為塑性碰撞，k=0，則,負(fù)號(hào)表示碰撞后質(zhì)心C的速度向上，與碰撞前速度v0的方向相反。,.,143,k=1,k=0,.,144,一均質(zhì)圓柱體，質(zhì)量為m，半徑為r，其質(zhì)心以勻速vC沿水平面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，突然與一高度為h（hr)的平臺(tái)障礙碰撞，如圖所示。設(shè)碰撞是塑性的。求圓柱體碰撞后質(zhì)心的速度、圓柱體的角速度和碰撞沖量。,例11,.,145,.,146,設(shè)圓柱體與平臺(tái)凸緣碰撞沖量為I，因碰撞接觸面并非光滑的，故I有公法線和公切線分量In和It，如圖所示。,這是一個(gè)突加約束的問(wèn)題。,碰撞后瞬時(shí)，柱體上O軸線（垂直于圖面）與平臺(tái)凸緣上O軸線不分離，柱體突然變成繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其角速度為（順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）。這時(shí)，質(zhì)心的速度為uC，方向如圖所示。,解：,.,147,碰撞沖量I通過(guò)O軸，因此沖量矩為零，故碰撞前后柱體對(duì)O軸的動(dòng)量矩守恒。碰撞前柱體對(duì)O軸的動(dòng)量矩為,（a）,碰撞后柱體對(duì)O軸的動(dòng)量矩為,JO是柱體對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，,由動(dòng)量矩守恒，,得,.,148,因，代入后求得,因，故,（b）,質(zhì)心速度,（c）,.,149,為了求碰撞沖量，寫出碰撞過(guò)程中動(dòng)量方程的投影式：,（d）,（e）,這里下標(biāo)n和t分別表示速度和碰撞沖量在公法線n-n和公切線t-t上的投影，其正方向如圖所示。顯然,.,150,如果在碰撞過(guò)程中用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理是否可以求解這個(gè)問(wèn)題？,代入式（d）和（e）得：,.,151,兩個(gè)質(zhì)量和直徑都相同的鋼球A和B，由不計(jì)質(zhì)量的剛性桿相連。自高度h處自由下落，同時(shí)分別與銅板和鋼板碰撞。已知球與鋼板和銅板碰撞的恢復(fù)系數(shù)分別為k1=0.6和k2=0.4。求碰撞后剛性桿的角速度。,鋼,銅,d,h,例12,.,152,.,153,設(shè)A，B球的質(zhì)量均為m，碰撞前的速度為v0，碰撞后的速度分別為vA和vB，碰撞沖量分別為IA和IB。球與剛性桿組成的系統(tǒng)作平面運(yùn)動(dòng)，碰撞前、后的角速度分別為00和1。,應(yīng)用,解：,有,.,154,由球A和B的恢復(fù)系數(shù)得,聯(lián)立解之得,.,155,例13,以速度為v0勻速運(yùn)動(dòng)的小車上有一邊長(zhǎng)為l的方塊，當(dāng)小車突然停住時(shí)，方塊將繞底面的一邊翻轉(zhuǎn)，求此時(shí)方塊翻轉(zhuǎn)的角速度和方塊動(dòng)能的損耗。,解：,滑塊的平動(dòng),繞O的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)分析,碰撞前,碰撞后,.,1