安徽省阜陽第一中學2018-2019學年高二數(shù)學4月月考試題 理（含解析）一選擇題（共12題，每題5分，共計60份。在每小題的四個選項中，只有一個正確答案）1.下面是關于復數(shù)的四個命題，其中的真命題為（ ）;的共軛復數(shù)為；的虛部為i.A. ,B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的乘除運算化簡復數(shù)z，再根據(jù)共軛復數(shù)、復數(shù)的虛部、復數(shù)模的計算公式求解即可得答案【詳解】z1+i，：|z|，：z22i，：z的共軛復數(shù)為1-i，：z的虛部為1，真命題為p2，p3故選：A【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應用，考查復數(shù)運算及復數(shù)的模、復數(shù)的虛部、共軛復數(shù)的概念，是基礎題2.已知為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求得函數(shù)在x=1處的切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率相乘等-1，解方程可得a【詳解】解：的導數(shù)為，可得曲線在點（1，ae+1）處的切線斜率為ae+2，由切線與直線垂直可得（ae+2）（）=-1，解得a故選C【點睛】本題考查導數(shù)在點處的切線的斜率的求法，同時考查兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎題3.下面使用類比推理，得到的結論正確的是( ）A. 直線a,b,c,若a/b,b/c,則a/c.類比推出:向量，若，則.B. 同一平面內,直線a,b,c,若ac,bc,則a/b.類比推出:空間中,直線a,b,c,若ac,bc,則a/b.C. 以點為圓心,為半徑的圓的方程為.類比推出:以點為球心,為半徑的球面的方程為.D. 實數(shù),若方程有實數(shù)根,則.類比推出:復數(shù),若方程有實數(shù)根,則.【答案】C【解析】對于A，時，不正確；對于B，空間中，直線，若則 或或相交，故不正確；對于D，方程 有實根，但不成立，故D不正確。故選C【點睛】歸納推理與類比推理不一定正確，我們在進行類比推理時，一定要注意對結論進行進一步的論證，如果要證明一個結論是正確的，要經過嚴密的論證，但要證明一個結論是錯誤的，只需要舉出一個反例4.現(xiàn)有4種不同的顏色為公民基本道德規(guī)范四個主題詞（如圖）涂色，要求相鄰的詞語涂色不同，則不同的涂法種數(shù)為（ ）A. 27B. 54C. 108D. 144【答案】C【解析】【分析】首先給最左邊一塊涂色，有4種結果，再給左邊第二塊涂色有3種結果，以此類推第三塊也有3種結果，第四塊也有3種結果，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結果【詳解】由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，首先給最左邊一塊涂色，有4種結果，再給左邊第二塊涂色有3種結果，以此類推第三塊有3種結果，第四塊有3種結果，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有4333108故選：C【點睛】本題考查計數(shù)原理的應用，本題解題的關鍵是看清條件中對于涂色的限制，屬于中檔題5.，則T的值為A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定積分的幾何意義求出的值，再根據(jù)微積分基本定理求出即可【詳解】由題意得表示單位圓面積的四分之一，且圓的面積為，故選A【點睛】定積分的計算方法有兩種：一是根據(jù)微積分基本定理計算，此時解題的關鍵是求出函數(shù)的原函數(shù)；二是根據(jù)定積分的幾何意義求解，即當曲邊梯形面積易求時，可通過求曲邊梯形的面積求出定積分6.若函數(shù)在其定義域內的一個子區(qū)間上不是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出導函數(shù)，求得極值點，函數(shù)在含有極值點的區(qū)間內不單調詳解：，此函數(shù)在上是增函數(shù)，又，因此是的極值點，它在含有的區(qū)間內不單調，此區(qū)間為B故選B點睛：本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)在不含極值點的區(qū)間內一定是單調函數(shù)，因此此只要求出極值點，含有極值點的區(qū)間就是正確的選項7.分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦 曼德爾布羅特( )在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科,它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路。下圖按照的分形規(guī)律生長成一個樹形圖,則第13行的實心圓點的個數(shù)是( )A. 55個B. 89個C. 144個D. 233個【答案】C【解析】分析：一一的列舉出每行的實心圓點的個數(shù)，觀察其規(guī)律，猜想：，得出結論即可，選擇題我們可以不需要完整的理論證明。詳解：行數(shù)12345678910111213球數(shù)01123581321345589144，由此猜想：，故選C。點睛：觀察規(guī)律，把行數(shù)看成數(shù)列的項數(shù)，個數(shù)看作數(shù)列的項，盡可能的多推導前面有限項看出規(guī)律。8.函數(shù) 的大致圖象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)求出單調區(qū)間，及x=0時，y=0，即可求解【詳解】函數(shù)y=的導數(shù)為，令y=0，得x=，時，y0，時，y0，時，y0函數(shù)在（），（）遞減，在（）遞增且x=0時，y=0，排除B，x=-1時，y=0，x=-2時，y0,排除C，故選A【點睛】本題考查函數(shù)圖象問題，函數(shù)的導數(shù)的應用，考查計算能力，屬于中檔題，9.已知函數(shù)下列結論中函數(shù)的圖象是中心對稱圖形 若是的極小值點，則在區(qū)間單調遞減 若是的極值點，則. 正確的個數(shù)有( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】，其圖象為開口向上的拋物線，當時，恒成立，在上單調遞增，故；當時，的值有時為正，有時為負，時增時減，故，正確；因為的對稱中心是，如果能寫成的形式，那么三次函數(shù)的對稱中心就是，設得；，故函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，即正確；若是的極小值點，只能說明在附近，左側導數(shù)小于，右側導數(shù)大于，不能說明在區(qū)間單調遞減，故不正確；對于若是的極值點，則，正確故選.考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)圖象的對稱性.10.設函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】有三個零點等價于與的圖象有三個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得結果.【詳解】設，則，在上遞減，在上遞增，且時，有三個零點等價于與的圖象有三個交點，畫出的圖象，如圖，由圖可得，時，與的圖象有三個交點，此時，函數(shù)有三個零點，實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結合思想的應用，屬于難題. 數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質11.設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足， ，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】構造函數(shù)，所以為增函數(shù)，由于，故當時，所以選.12.已知函數(shù)有兩個不同的極值點，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道題計算導函數(shù)，結合存在兩個不同的極值點，計算a的范圍，構造新函數(shù)，計算最值，得到的范圍，即可。【詳解】計算導數(shù)得到，結合構造新函數(shù)得到要使得存在兩個不同的極值點，則要求有兩個不同的根，且，則，解得，而 ，構造新函數(shù)，計算導數(shù)得到，結合前面提到的a的范圍可知在單調遞增，故，因而，表示為區(qū)間則是，故選A。【點睛】本道題考查了導函數(shù)與原函數(shù)單調性關系，考查了利用導函數(shù)計算最值，難度偏難。二、填空題13.如圖所示，在正方形OABC內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率為_【答案】【解析】【分析】結合定積分計算陰影部分平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率計算公式易求解【詳解】正方形的面積為e2，由lnxdx（xlnxx）1，由函數(shù)圖像的對稱性知黑色區(qū)域面積為2lnxdx=2即S陰影2，故此點取自黑色部分的概率為，故答案為：【點睛】本題考查幾何概型的計算，涉及定積分在求面積中的應用，關鍵是正確計算出陰影部分的面積14.某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人僅出差一個地方，每個地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，則不同的安排方法有_種【答案】24【解析】【分析】根據(jù)特殊問題優(yōu)先考慮原則，可先安排除甲以外的人去北京，因此分兩種情況：一人去北京或兩人去北京，即可求出結果.【詳解】若安排一人去北京，共有種；若安排兩人去北京，共有種，總共24種.【點睛】本題主要考查排列組合問題，排列組合的常用策略：（1）特殊位置特殊元素優(yōu)先考慮；（2）相鄰問題捆綁策略；（3）不相鄰問題插空策略；（4）定序問題倍縮原則；（5）均分問題除法原則；（6）相同元素隔板策略等.屬于中檔試題.15.已知正四棱錐中，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為_【答案】6【解析】設正四棱錐的底面邊長為，則高為該棱錐的體積為設，則令，則，即在上為減函數(shù)令，則，即在上為增函數(shù)當時，即棱錐的體積最大，此時故答案為6點睛：解函數(shù)應用題的一般程序：第一步：審題弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系；第二步：建模將文字語言轉化成數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；第三步：求模求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論；第四步：還原將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題的意義；第五步：反思回顧對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結果，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性16.已知實數(shù)，滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，那么的最小值為_【答案】【解析】【分析】由已知點在曲線上，點在曲線上，的幾何意義就是曲線上的點到曲線上的點的距離的平方，進而求出的最小值【詳解】因為實數(shù)滿足，所以，所以點在曲線上，點在曲線上，的幾何意義就是曲線上的點到曲線上的點的距離的平方，最小值即為曲線上與直線平行的切線，因為，求曲線上與直線平行的切線即，解得 ，所以切點為，該切點到直線的距離，就是所求兩曲線間的最小距離，所以的最小值為 。【點睛】本題考查曲線與直線間距離的最小值，即為曲線上與直線平行的切線的切點到直線的距離。三、解答題17.選擇適當?shù)淖C明方法證明下列問題（1）設是公比為的等比數(shù)列且，證明數(shù)列不是等比數(shù)列.（2）設為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，證明：.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1)要想證明數(shù)列不是等比數(shù)列.可以使用反證法。先假設數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)數(shù)學推理，得出一個錯誤結論，從而假設不成立，本題得證。（2）對于關于正整數(shù)的有關命題，一般可以使用數(shù)學歸納法。【詳解】（1）用反證法：設是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列.當存在，使得成立時，數(shù)列不是等比數(shù)列.當，使得成立時，則，化為.，故矛盾.綜上兩種情況，假設不成立，故原結論成立.（2）1當時，左邊，右邊，所以命題成立.2假設當時，命題成立，即，則當時，.所以，當時，命題也成立.綜上所述，（為正整數(shù)）成立.【點睛】本題重點考查了反證法、數(shù)學歸納法。同時也考查了學生根據(jù)不同的結論特征，采用不同方法的應變能力。18.已知4名學生和2名教師站在一排照相，求：（1）中間二個位置排教師，有多少種排法？（2）首尾不排教師，有多少種排法？（3）兩名教師不站在兩端，且必須相鄰，有多少種排法？（4）兩名教師不能相鄰的排法有多少種？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】試題分析：（1）先排教師有種方法，再排學生有種方法，再根據(jù)分步計數(shù)原理求得結果;（2）首尾兩個位置排學生有種，其余4個位置可任意其余的4人，有種方法，再根據(jù)分步計數(shù)原理求得結果;（3）將兩個老師看做一個整體，有種排法，再給老師選個位置，最終將學生排進；（4）先排4名學生，有種方法；再把2個教師插入4個學生形成的5個空中，方法有種根據(jù)分步計數(shù)原理，求得結果詳解：（1）；（2）；（3）；（4）.點睛: 本題主要考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排不相鄰問題用插空法，解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手,(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決19.已知函數(shù)，（1）當時，求的單調遞減區(qū)間；（2）若，求在區(qū)間上的極大值與極小值【答案】（）（）極大值，極小值.【解析】【分析】（）先求出f（x）的導數(shù)，根據(jù)f（x）0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間；（）先求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)等于0求出導數(shù)的零點，再令導數(shù)大于0求出單調增區(qū)間，導數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間，再由極值的定義，導數(shù)零點左增右減為極大值點，左減右增為極小值點，求出相應極值即可.【詳解】（）的定義域為，當時，的單調遞減區(qū)間為；（），在是增函數(shù)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，極大值，極小值.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及極值的定義，要會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，本題還涉及了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等知識，考查運算求解能力要求會根據(jù)導函數(shù)的正負判斷得到函數(shù)的單調區(qū)間，屬基礎題20.已知函數(shù)在處的切線方程.（）求，的值；（）證明：當時.【答案】（）；（）見解析.【解析】【分析】（）由題設，運算求解即可；（）令 ，通過求兩次導數(shù)分析函數(shù)單調性可得存在在唯一的使得，當或者時，單調遞增，當時，單調遞減，進而有，從而得證.【詳解】（），由題設 （）實際上是證明時，的圖象在切線的上方.令 ，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增；在唯一的極小值.注意到，而，所以，所以；又因為在上單調遞減，所以存在在唯一的使得；因此當或者時，當時，；所以當或者時，單調遞增，當時，單調遞減；由于，所以，當且僅當時等號成立；所以時，不等式成立.【點睛】利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù).21.已知函數(shù)()若，求曲線在點處的切線方程；()若，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.【答案】（）（）詳見解析【解析】【分析】（）把分別代入原函數(shù)及導函數(shù)解析式，求得f（1）及f（1），利用直線方程的點斜式求解；（）求出導函數(shù)的零點，列關于x，f（x），f（x）變化情況表，求得函數(shù)最小值f（a）然后分f（a）0，f（a）0，f（