第三章 變量之間的關系 知識點梳理及典型例題知識回顧復習 路程、速度、時間之間的關系： ， ， ；知識點一 常量與變量 在一個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為 .數值始終不變的量為 ； 在某一變化過程中，如果有兩個變量x和y，當其中一個變量x在一定范圍內取一個數值時，另一個變量y也有唯一一個數值與其對應，那么，通常把前一個變量x叫做 ，后一個變量y叫做自變量的 ； 注意：一般地，常量是不發生變化的量，變量是發生變化的量，這些都是針對某個變化過程而言的.例如：s=60t，速度60千米/時是 ，時間t和里程s為變量.t是 ，s是 。知識點二 用表格表示變量之間的關系 表示兩個變量之間的關系的表格，一般第一行表示自變量，第二行表示因變量；借助表格，可以表示因變量隨自變量的變化而變化的情況。注意：用表格可以表示兩個變量之間的關系時，能準確地指出幾組自變量和因變量的值，但不能全面地反映兩個變量之間的關系，只能反映其中的一部分，從數據中獲取兩個變量關系的信息，找出變化規律是解題的關鍵.知識點三 用關系式表示兩個變量之間的關系 例如，正方形的邊長為x，面積為y，則y=x2這個關系式就是表示兩個變量之間的對應關系，其中x是 ，y是 ；一般地，含有兩個未知數（變量）的等式就是表示這兩個變量的關系式； 【溫馨提示】（1）寫關系式的關鍵是寫出一個含有自變量和因變量的等式，將表示因變量的字母單獨寫在等號的左邊，右邊是用自變量表示因變量的代數式.（2）自變量的取值必須使式子有意義，實際問題還要有實際意義.（3）實際問題中，有的變量關系不一定能用關系式表示出來.【方法技巧】列關系式的關鍵是記住一些常見圖形的相關公式和弄清兩個變量間的量的關系.根據關系式求值實質上是求代數式的值或解方程.知識點四 用圖象表示兩個變量間的關系 圖象法就是用圖象來表示兩個變量之間的關系的方法；在用圖象法表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸（橫軸）上的點表示 ，用豎直方向的數軸（縱軸）上的點表示 ，用坐標來表示每對自變量和因變量的對應值所在位置； 【溫馨提示】圖象法能直觀、形象地描述兩個變量之間的關系，但只是反映兩個變量之間的關系的一部分，而不是整體，且由圖象確定的數值往往是近似的.【方法技巧】（1）借助圖象，過某點分別向橫軸、縱軸作垂線可以知道自變量取某個值時，因變量取什么值.（2）借助圖象可判斷因變量的變化趨勢：圖象自左向右是上升的，則說明因變量隨著自變量的增大而增大，圖象自左向右是上升下降的，則說明因變量隨著自變量的增大而增大減小，圖象自左向右是與橫軸平行的，則說明因變量在自變量的增大的過程中保持不變.知識點五 變量之間的關系的表示方法比較 表示變量之間的關系，可以用 、 和 ；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的數值有限，不容易看出因變量與自變量的變化規律；關系式法簡單明了，能準確反映出整個變化過程中因變量與自變量之間的相互關系，但是求對應值時，要經過比較復雜的計算，而且在實際問題中，有的變量之間的關系不一定能用關系式表示出來；圖象法的特點是形象、直觀，可以形象地反映出變量之間的變化趨勢和某些性質，是研究變量性質的好工具，其不足是由圖象法往往難以得到準確的對應值；專題一 能從表格中獲取兩個變量之間關系的信息1有一個水箱，它的容積是500 L，現要將水箱注滿，下面是注水的情況表注水時間/min051015202530注水量/L200250300350400450500 （1）在這個注水過程中，反映的是兩個變量 與 之間的關系，其中變量 是自變量，變量 是因變量；（2）這個水箱原有水 L；（3） min時水箱注滿水；（4）由表中的數據可以看出，水箱的注水過程是均勻的，那么平均每分鐘注水 L.2一根合金棒在不同的溫度下，其長度也不同，合金棒的長度和溫度之間有如下關系：溫度（）-5051015長度（cm）9.9951010.00510.0110.015 （1）上表反映了溫度與長度兩個變量之間的關系，其中 自變量， 長度是因變量.（2）當溫度是10 時，合金棒的長度是 10.01cm（3）如果合金棒的長度大于10.05 cm小于10.15 cm，根據表中的數據推測，此時的溫度應在 50 150的范圍內（4）當溫度為-20 和100 ，合金棒的長度分別為 9.98cm和 10.1cm專題二 根據表格確定自變量、因變量及變化規律3七年級（1）班第一小組的同學星期天去郊外爬山，得到如下數據：爬坡長度x/m305080100150200爬坡時間y/min23.76.591420（1）當爬到100 m時，所花的時間是多少？（2）當爬到每增加10 m時，所花的時間相同嗎？（3）從表中數據的變化中，你能得到什么變化趨勢？ 4一輛小汽車在高速公路上從靜止到啟動10秒之間的速度經測量如下表：時 間（ s ）012345678910速度（m/s）00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個變量是自變量？哪個變量是因變量？（2） 如果用t表示時間，v表示速度，那么隨著t的變化，v的變化趨勢是什么？（3） 當t每增加1 s時，v的變化情況相同嗎？在哪一秒鐘,v的增加量最大？（4） 若在高速公路上小汽車行駛速度的上限為120 km/h，試估計還需幾秒這輛小汽車的速度就達到這個上限?專題三 用關系式表示兩個變量之間的關系5某水果批發市場香蕉的價格如下表： 購買香蕉數x（千克）x202040每千克價格8元7元6元若小強購買香蕉x千克（x大于40千克）付了y元，則y關于x的關系式為 .6.（1）某禮堂共有25排座位，第一排有20個座位，后面每一排都比前一排多1個座位，寫出每排的座位數m與這排的排數n的關系式，并寫出自變量n的取值范圍（2）在其他條件不變的情況下，請探究下列問題： 當后面每一排都比前一排多2個座位時，則每排的座位數m與這排的排數n的關系式是 m=2n+18（1n25，且n是正整數）；當后面每一排都比前一排多3個座位、4個座位時，則每排的座位數m與這排的排數n的關系式分別是 m=3n+17， m=4n+16 （1n25，且n是正整數）；某禮堂共有p排座位，第一排有a個座位，后面每一排都比前一排多b個座位，試寫出每排的座位數m與這排的排數n的關系式專題四 用關系式求值栽種以后的年數n/年高度h/厘米11052130315541807一棵樹苗，栽種時高度約為80厘米，為研究它的生長情況，測得數據如下表：（1）此變化過程中 栽種以后的年數是自變量， 樹苗的高度是因變量；（2）樹苗高度h與栽種的年數n之間的關系式為 ；（3）栽種后 8年后，樹苗能長到280厘米每月每戶用水量每噸價（元）不超過10噸部分0.50超過10噸而不超過20噸部分0.75超過20噸部分1.508某市為了鼓勵市民節約用水，規定自來水的收費標準如下表：（1）現已知小偉家四月份用水18噸，則應繳納水費多少元？（2）寫出每月每戶的水費y（元）與用水量x（噸）之間的函數關系式（3）若已知小偉家五月份的水費為17元，則他家五月份用水多少噸？專題五 曲線型圖象9溫度的變化是人們經常談論的話題請你根據圖象，討論某地某天溫度變化的情況如圖所示：（1）上午10時的溫度是 度，14時的溫度是 度；（2）這一天最高溫度是 度，是在 時達到的；最低溫度是 度，是在 時達到的；（3）這一天從最低溫度到最高溫度經過了 小時；（4）溫度上升的時間范圍為 ，溫度下降的時間范圍為 ；（5）你預測次日凌晨1時的溫度是 10如圖，水以恒速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中.（1）請分別找出與各容器對應的水的高度h和時間t的變化關系的圖象，用直線段連接起來；（2）當容器中的水恰好達到一半高度時，請在關系圖的t軸上標出此時t值對應點T的位置 專題六 折線型圖象11.如圖，表現了一輛汽車在行駛途中的速度隨時間的變化情況（1）A、B兩點分別表示汽車是什么狀態？（2）請你分段描寫汽車在第0分鐘到第19分鐘的行駛狀況（3）司機休息5分鐘后繼續上路，加速1分鐘后開始以60 km/h的速度勻速行駛，5分鐘后減速，用了2分鐘汽車停止，請在原圖上畫出這段時間內汽車的速度與時間的關系圖 第三章 變量之間的關系復習題1一名同學在用彈簧做實驗，在彈簧上掛不同質量的物體后，彈簧的長度就會發生變化，實驗數據如下表：所掛物體的質量/千克012345彈簧的長度/cm1212.51313.51414.5 (1)上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？ (2)彈簧不掛物體時的長度是多少？如果用x表示彈性限度內物體的質量，用y表示彈簧的長度，那么隨著x的變化，y的變化趨勢如何？(3)如果此時彈簧最大掛重量為15千克，你能預測當掛重為10千克時，彈簧的長度是多少？2如圖：將邊長為20cm的正方形紙片的四個角截去相同的小正方形，然后將截好的材料圍成一個無蓋的長方體。 (1) 這個情境反映了哪兩個變量之間的關系？其中自變量是什么？因變量是什么？(2)在以上問題中，若設截去的小正方形的邊長是xcm，圍成的無蓋長方體的體積是ycm3,則y與x之間的關系式是_；(3)若小正方形的邊長是5cm，那么長方體的體積是多少cm3？當x=2.5cm體積是多少cm3(4)根據以上關系式填下表：x/cm123456789y/cm3(5)當x在什么范圍變化時，y隨x的增大而增大，當x在什么范圍變化時，y隨x的增大而減小？你又是根據哪種表示法得到的？(6)請你估計x取何值時，制成的無蓋長方體的體積最大？3小紅與小蘭從學校出發到距學校5千米的書店買書，下圖反應了他們兩人離開學校的路程與時間的關系。根據圖形嘗試解決你們提出的問題。312450102030405060t/分鐘s/千米實線-小蘭虛線-小紅（1）小紅與小蘭誰先出發？誰先達到？（2）描述小蘭離學校的路程與時間的變化關系。（3）小蘭前20分鐘的速度和最后10分鐘的速度是多少？怎樣從圖像上直觀地反映速度的大小？（4）小紅與小蘭從學校到書店的平均速度各是多少？4一輛汽車以每小時50千米的速度行駛了t小時，行駛的路程為s千米.（1）這個情境中，有哪些變量？其中自變量是什么？因變量是什么？(2)你能用哪種方式表示路程與時間之間的關系？具體做一做。（3）該汽車行駛2.5小時的路程是多少千米？（4）一段公路全長350千米，這輛汽車行駛完全程需要多少小時？5. 2012年6月份某一天沈陽的氣溫隨時間變化的情況如圖所示，回答下列問題：溫度/2022242628時間03691215182124(1)這天的最高氣溫約是 ；(2)這天一共有 個小時的氣溫在24以上；(3)這天在 范圍內溫度在上升；這天在 范圍內溫度在下降；(4)請你預測一下，次日凌晨1點的氣溫大約多少度。6.果子成熟從樹上落到地面，它落下的高度與經過的時間有如下的關系：時間t/秒0.50.60.70.80.91高度 h/米50.2550.3650.4950.6450.8151(1)上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？(2)如果果子經過2秒落到地上，那么請估計這果子開始落下時離地面的高度是多少米？(3)請你列出果子落下的高度h（米）與時間t（秒）之間的關系式。7某種油箱容量為60升的汽車，加滿汽油后，汽車行駛時油箱的油量Q（升）隨汽車行駛時間t（時）變化的關系式如下：Q606t (1)請完成下表汽車行駛時間t/小時012.54油箱的油量Q/升60(2)汽車行駛5小時后，油箱中油量是 升(3)若汽車行駛過程中，油箱的油量為12升，則汽車行駛了 小時(4)貯滿60升汽油的汽車，最多行駛 小時(5)下面哪個圖像能夠反映變量Q與t的關系的是（ ）Qt（A）Qt（B）Qt（C）情景創設：分析下面反映變量之間關系的圖，想象一個適合它的實際情境.（1）可以把x和y分別代表時間和距離，那么這個圖