角的平分線的性質(zhì)（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 玉山一中文苑學(xué)校 郟偉芬【教學(xué)目標(biāo)】（1） 知識(shí)與技能 1、會(huì)用尺規(guī)作已知角的平分線，知道作法的合理性；2、探索并證明角的平分線的性質(zhì)；3、會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題。（二）過程與方法 在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力。（3） 情感、態(tài)度與價(jià)值觀在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣、合作交流的意識(shí)、動(dòng)手操作的能力與探索的精神，增強(qiáng)解決問題的信心，獲得2解決問題的成功體驗(yàn)。【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：探索并證明角的平分線的性質(zhì)；難點(diǎn)：證明以文字命題形式給出的角平分線的性質(zhì)。【教（學(xué)）具準(zhǔn)備】 自制角平分儀，三角板，圓規(guī)，三角形紙片【教法學(xué)法】自主探索，合作交流的學(xué)習(xí)方式【教與學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)】（1） 感悟?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)，用尺規(guī)作角的平分線活動(dòng)一：教師出示蛋糕，問有一塊蛋糕，你能有什么辦法把它分成相等的兩份 師生活動(dòng)：作角平分線（提問式，不做操作要求）活動(dòng)二：不用工具，一張用紙片做的角，你能把它分成兩個(gè)相等的角嗎？ 師生活動(dòng)：可用對(duì)折法，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，親身體驗(yàn)角平分線的得來。活動(dòng)三：教師在黑板上畫一個(gè)角（任意），如黑板上這個(gè)角不能對(duì)折，你有什么辦法把它分成兩個(gè)相等的角嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生分析并回答利用量角器比較方便，但是有誤差；利用折疊的方式比較簡(jiǎn)捷，但是只限于可以折疊的材質(zhì)，若在黑板上此方法就不可行了。活動(dòng)四：教師出示自制角平分儀，讓學(xué)生仔細(xì)觀察。教師啟發(fā)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解釋平分角的儀器的工作原理。同時(shí)，大屏幕出示：如圖，是一個(gè)平分角的儀器，其中OA=OB, BC=AC,將點(diǎn)O放在角的頂點(diǎn)OA和OB沿著角的兩邊放下，沿著OC畫一條射線OE,OE是AOB的角平分線，你能說明它的道理嗎？理由由學(xué)生自己歸納。讓學(xué)生回答。 師生活動(dòng)：通過上面的探究，你有什么啟發(fā)？你能用尺規(guī)作圖作已知角的平分線嗎？請(qǐng)你試著做一做，并與同伴交流.如果學(xué)生沒有思路，教師可用平分儀放在黑板的已知角上把儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，把儀器的兩邊放在角的兩邊上然后把中間一根（角的平分線）放上。讓學(xué)生體會(huì)作圖過程，理解作圖的合理性。教師在黑板上板演作圖過程。已知：MON求作：MON的角平分線作法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OM于A，交ON于B點(diǎn) （2）分別以A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在MON的內(nèi)部交于點(diǎn)C （3）畫射線OC. 射線OC即為所求.思考：（1）.在上面作法的第二步中，去掉“大于AB”的長(zhǎng)這個(gè)條件行嗎？ （2）.第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在MON的內(nèi)部嗎？ （設(shè)計(jì)這兩個(gè)問題的目的在于加深對(duì)角的角平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣） 學(xué)生討論結(jié)果總結(jié)： （1）.去掉“大于AB的長(zhǎng)”這個(gè)條件，所作的兩弧可能沒有交點(diǎn)，所以就找不到角的平分線。 （2）若分別以A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫兩弧，兩弧的交點(diǎn)可能在MON的內(nèi)部，也可能在MON外部，而我們要找的是MON內(nèi)部的交點(diǎn)，否則兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線得到的射線就不是MON的平分線了。（3）.角的平分線是一條射線.它不是線段，也不是直線，所以第二步中的兩個(gè)限制缺一不可。（4）.這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明。練一練：作一個(gè)平角的角平分線（尺規(guī)作圖）由學(xué)生說怎么作，教師在黑板上演示。(2） 經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程，發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì) 活動(dòng)五：利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的角平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？ 師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生在角平分線OC上任取三點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PDOA,PEOB并用刻度尺測(cè)量PD、PE的長(zhǎng)（記錄下來）第一次第二次第三次 PD PE 師生活動(dòng)：通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察比較，你能猜想角的平分線有什么性質(zhì)嗎？發(fā)現(xiàn)規(guī)律：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。 師生活動(dòng)：你能通過嚴(yán)格的邏輯推理證明這個(gè)結(jié)論嗎？教師首先引導(dǎo)學(xué)生分析命題的已知和求證。如果學(xué)生感到困難，可以讓學(xué)生把這句命題改成“如果.，那么.”的形式，然后引導(dǎo)學(xué)生逐字分析結(jié)論，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并找出結(jié)論中的隱含條件（垂直）。最后讓學(xué)生畫出圖形，用符號(hào)語言寫出已知和求證，并獨(dú)立完成證明過程。已知：AOC=BOC,點(diǎn)P在OC上， PDOA,PEOB,垂足分別為D、E求證：PD=PE證明：PDOA,PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直定義） 在POD和PEO中 PDOPEO(AAS) PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。幾何語言：OC是AOB的角平分線，PDOA,PEOB,垂足分別為D、EPD=PE,師生活動(dòng)：?jiǎn)枺河山瞧椒志€的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？師生共同概括證明幾何命題的一般步驟（并在大屏幕出示）：1. 明確命題中的已知求證；2. 根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；3. 經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程。同時(shí)出示反例。三、解決簡(jiǎn)單問題，鞏固角平分線的性質(zhì)1、如圖OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分別是D、E,PD=4cm (1)PE= cm (2)當(dāng)DPO=60 時(shí)，則AOB= 2、如圖，在ABC中，C=90，DEAB,1=2,AC=6cm,DE=2cm則AE=3、 已知如圖,在ABC中,C=90AD是ABC的角平分線DEAB于E點(diǎn)，點(diǎn)F在AC上，DF=BD求證：CF=BE.【課堂小結(jié)】教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要知識(shí)，并請(qǐng)學(xué)生回答一下問題：1、 本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？2、 本節(jié)課是通過什么方式探究角的平分線的性質(zhì)的？3、 角的平分線的性質(zhì)為我們提供了證明什么的方法？在應(yīng)用這一性質(zhì)時(shí)要注意哪些問題？ 板書設(shè)計(jì)：12.3 角的平分線的性質(zhì)（第一課時(shí)）1、 角的平分線的尺規(guī)作圖 已知：MON 求作：MON的角平分線 2、 角的平分線的性質(zhì)：角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。已知：AOC=BOC，點(diǎn)P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分別為D、E求證：PD=PE幾何語言：OC是AOB的平分線，PDOA,PEOB,垂足分別為D、EPD=PE 角的平分線的性質(zhì)（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)說明 玉山一中文苑學(xué)校 郟偉芬一、教材的分析和處理（一）內(nèi)容角的平分線的性質(zhì)（第一課時(shí)）（2） 教材的地位和作用角的平分線的性質(zhì)反映了角的平分線的基本特征，也是證明兩條線段相等的常用方法，角的平分線的性質(zhì)的研究過程為以后學(xué)習(xí)線段垂直平分線的性質(zhì)提供了思路和方法。本節(jié)課是全等三角形知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù)。用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，其作法原理是三角形全等的“邊邊邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì)；角的平分線的性質(zhì)證明，運(yùn)用了三角形全等的“角角邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì)。角的平分線的性質(zhì)證明提供了使用角的平分線的一種重要模式-利用角平分線構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形進(jìn)而證明相關(guān)元素對(duì)應(yīng)相等。（3） 教學(xué)目標(biāo)達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生明確尺規(guī)作圖的基本要求，知道用尺規(guī)作角的平分線的方法和原理，能在教師的引導(dǎo)下用尺規(guī)做出一個(gè)已知角的平分線。達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能在教師的引導(dǎo)下通過度量、觀察等方法，發(fā)現(xiàn)角的平分線的性質(zhì)，能準(zhǔn)確表述性質(zhì)的內(nèi)容，能正確地寫出已知、求證，能運(yùn)用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性質(zhì)證明角的平分線的性質(zhì)。達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：學(xué)生能利用角的平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，證明與線段相等有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。（4） 學(xué)情分析 剛進(jìn)入八年級(jí)的學(xué)生觀察、操作、猜想能力較強(qiáng)，但歸納、運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步加強(qiáng)引導(dǎo)。（5） 教學(xué)重、難點(diǎn)、教學(xué)問題診斷分析 本節(jié)課 學(xué)習(xí)中，學(xué)生在分清角的平分線的性質(zhì)的條件和結(jié)論，并進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明的過程中常常感到困難。例如，在用符號(hào)語言表述性質(zhì)的條件和結(jié)論時(shí)，不知“距離”應(yīng)為“條件”還是“結(jié)論”。其主要原因是叫的平分線的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)中的條件和結(jié)論具有一定的隱蔽性。教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)中的條件和結(jié)論（必要時(shí)可讓學(xué)生把這命題改成“如果.，那么.”的形式），找出結(jié)論中的隱含條件（垂直），正確寫出已知和求證，并歸納出證明幾何命題的第一步驟。本節(jié)課的重點(diǎn)是：探究并證明角的平分線的性質(zhì)；難點(diǎn)是：證明以文字命題形式給出的角的平分線的性質(zhì)。 教學(xué)難點(diǎn)突破方法（1） 利用在角平分線上任意取點(diǎn)向角兩邊作垂線段，可度量長(zhǎng)度直觀顯示角平分線性質(zhì)的得來，在學(xué)生腦海中加深印象，從而對(duì)性質(zhì)定理正確使用；（2）通過對(duì)比教學(xué)讓學(xué)生選擇簡(jiǎn)單的方法解決問題；（6） 教法學(xué)法：自主探索，合作交流的學(xué)習(xí)方式 本節(jié)課我堅(jiān)持“教與學(xué)、知識(shí)與能力的辯證統(tǒng)一”和“使每個(gè)學(xué)生都得到充分發(fā)展”的原則，采用引導(dǎo)式探索發(fā)現(xiàn)法、主動(dòng)式探究法、講授教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)手操作，合作交流，自主探究”。鼓勵(lì)學(xué)生多思、多說、多練，堅(jiān)持師生間的多向交流，努力做到教法、學(xué)法的最優(yōu)組合。 教學(xué)輔助手段：根據(jù)本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)需要，我選擇多媒體PPT課件輔助教學(xué)，自制角平分儀教具，讓學(xué)生能夠進(jìn)行直觀地觀察，并留下清晰的印象，從而發(fā)現(xiàn)變化之中的不變，這樣，吸引了學(xué)生的注意力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。2、 教與學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)說明（1） 感悟?qū)嵺`體驗(yàn)，用尺規(guī)作角的平分線 設(shè)計(jì)過程：此處設(shè)計(jì)了四個(gè)活動(dòng)，前兩個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生回憶把一個(gè)角平分的方法，度量法和對(duì)折法，分析兩種方法的局限性。（利用量角器比較方便，但是有誤差；利用折疊的方法比較簡(jiǎn)捷，但是只限于可以折疊的材質(zhì)，若在木板，鋼板等材料上操作,不可行）活動(dòng)三、四引導(dǎo)學(xué)生觀察教師自制角平分儀啟發(fā)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型,并運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解釋平分角的儀器的工作原理。接著，引導(dǎo)學(xué)生利用角平分儀的應(yīng)用原理，尺規(guī)作角的平分線，并讓學(xué)生自己動(dòng)手練一練，增強(qiáng)作圖技能。最后讓學(xué)生在簡(jiǎn)單推理的過程中，體會(huì)作法的合理性。（2） 經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程，發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì) 設(shè)計(jì)過程：探索并證明角的平分線的性質(zhì)，利用在已做出的角的平分線上任取一點(diǎn)作兩邊的垂線段，用量的方法得出“距離相等”的性質(zhì)。在作垂線段時(shí)，教師加以指導(dǎo)。第一次第二次第三次PDPE角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角角兩邊的距離相等。在證明角的平分線的性質(zhì)這條文字命題時(shí)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生分析命題的題設(shè)和結(jié)論。如果學(xué)生感到困難，可以讓學(xué)生把這句命題改成“如果，那么”的形式，然后引導(dǎo)學(xué)生逐字分析結(jié)論，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并找出結(jié)論中的隱含條件（垂直）。最后讓學(xué)生畫出圖形，用符號(hào)語言寫出已知和求證，并獨(dú)立完成證明過程。幾何語言：OC是AOB的平分線，PDOA,PEOBPD=PE已知：AOC= BOC,點(diǎn)P在OC上，PD OA,PE OB,垂足分別為D,E求證：PD=PE 此處完整的證明過程的規(guī)范書寫非常重要，如果時(shí)間充裕的話，可安排學(xué)生板演，能進(jìn)一步復(fù)習(xí)三角形全等的證明過程書寫。或者由學(xué)生口答，教師作一規(guī)范板書。然后，師生共同概況證明幾何命題的一般步驟，步驟由大屏幕逐條顯現(xiàn)。 證明好性質(zhì)之后，要運(yùn)用性質(zhì)，提問：角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？學(xué)生不難回答：角的平分線的性質(zhì)的作用主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等。回答之后，要好好分析角的平分線的基本圖形，讓學(xué)生從圖中找出相等關(guān)系的角和線段，為后面的練習(xí)的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、分析概括、推理證明角的平分線的性質(zhì)，體會(huì)研究幾何問題的基本思路，以角的平分線的性質(zhì)的證明為例，讓學(xué)生概括證明幾何命題的一般步驟，發(fā)展他們的歸納概括能力。而反思性質(zhì)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到證明兩條線段