金太陽新課標資源網 南京市四星級高級中學2013屆高三聯考調研考試 數學 時間2013年3月 注 意 事 項考生在答題前認真閱讀本注意事項及各題答題要求1. 本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）。本試卷滿分160分，考試時間為120分鐘。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2. 答題前，請您務必將自己的姓名、考試號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題紙上的規定位置。3. 作答試題，必須用0.5毫米的黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律無效。4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：球的表面積為，其中表示球的半徑。一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題紙相應位置上.1、已知集合，則= .2、若復數()是純虛數，則= .3、已知雙曲線的中心在坐標原點,一個焦點為,兩條漸近線的方程為,則該雙曲線的標準方程為 .4、在等比數列中,若,則的值是 .5、在用二分法求方程的一個近似解時,現在已經將一根鎖定在區間(1,2)內,則下一步可斷定該根所在的區間為 .6.從0，1，2，3這四個數字中一次隨機取兩個數字，若用這兩個數字組成無重復數字的兩位數，則所得兩位數為偶數的概率是 .7.已知等比數列的前項和為，若，則的值是 .8.已知雙曲線的右焦點為若以為圓心的圓與此雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率為 .9.由命題“”是假命題，求得實數的取值范圍是，則實數的值是 .10.已知實數滿足約束條件（為常數），若目標函數的最大值是，則實數的值是 .11.已知函數，當時，則實數的取值范圍是 .12、過定點(1,2)的直線在正半軸上的截距分別為,則4的最小值為 .13、已知是首項為a,公差為1的等差數列,.若對任意的,都有成立,則實數a的取值范圍是 .14、已知，則 .二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定的區域內作答，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分14分）在，已知（1） 求角值；（2） 求的最大值.16.（本小題滿分14分）如圖，在四棱柱中，已知平面平面且,.（1） 求證：（2） 若為棱的中點，求證：平面.第16題圖17.（本小題滿分14分）如圖，兩座建筑物的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.(1) 求的長度；第17題圖(2) 在線段上取一點點與點不重合），從點看這兩座建筑物的視角分別為問點在何處時，最??？18.（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2，且過點.（1） 求橢圓的方程；（2） 若點，分別是橢圓的左、右頂點，直線經過點且垂直于軸，點是橢圓上異于，的任意一點，直線交于點（）設直線的斜率為直線的斜率為，求證：為定值；（）設過點垂直于的直線為.求證：直線過定點，并求出定點的坐標.19、(本小題滿分16分)已知函數，(其中)，設.（）當時,試將表示成的函數,并探究函數是否有極值；(7分)（）當時，若存在，使成立，試求的范圍. (9分)20、(本小題滿分16分)已知為實數，數列滿足，當時， （）；(5分)（）證明：對于數列，一定存在，使；(5分)（）令，當時，求證：(6分)南京市四星級高級中學2013屆高三聯考調研考試數學試題參考答案與評分標準一、填空題1. 2.2 3. 4.4 5.（說明:寫成閉區間也算對） 6 78 9 10 11 12.32 13. 14.二、解答題15因為，由正弦定理，得，2分所以，所以，4分因為，所以6分 由，得，所以，10分因為，所以，12分當，即時，的最大值為 14分16在四邊形中，因為，所以，2分又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，4分又因為平面，所以7分在三角形中，因為，且為中點，所以，9分又因為在四邊形中，所以，所以，所以，12分因為平面，平面，所以平面14分17作，垂足為，則，設，則2分，化簡得，解之得，或（舍）答：的長度為6分設，則，8分設，令，因為，得，當時，是減函數；當時，是增函數，所以，當時，取得最小值，即取得最小值，12分因為恒成立，所以，所以，因為在上是增函數，所以當時，取得最小值答：當為時，取得最小值 14分18由題意得 ，所以，又，2分消去可得，解得或（舍去），則，所以橢圓的方程為4分（）設，則，因為三點共線，所以， 所以，8分因為在橢圓上，所以，故為定值10分（）直線的斜率為，直線的斜率為,則直線的方程為，12分=，所以直線過定點 16分19. 解：（）, (3分) 設是的兩根，則，在定義域內至多有一解,欲使在定義域內有極值，只需在內有解，且的值在根的左右兩側異號，得 (6分)綜上：當時在定義域內有且僅有一個極值，當時在定義域內無極值 (7分)（）存在，使成立等價于的最大值大于0(9分)，,得.當時，得；當時，得 (12分)當時，不成立 (13分)當時，得；當時，得；綜上得：或 (16分)20. 解:（）由題意知數列的前34項成首項為100,公差為3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,從而= (3分) =. (5分) （）證明：若,則題意成立(6分)若,此時數列的前若干項滿足,即.設,則當時,.從而此時命題成立(8分)若,由題意得,則由的結論知此時命題也成立.綜上所述,原命題