南通市2014屆高三第一次調研測試數學參考答案與評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應位置上1 已知集合U1，2，3，4，5，A1，2，4，則 【答案】3，52 已知復數，(為虛數單位)在復平面內，對應的點在第 象限【答案】二3 命題：“，”的否定是 【答案】，4 在平面直角坐標系中，拋物線上橫坐標為1的點到其焦點的距離為 輸入xNY結束（第6題）開始輸出y【答案】35 設實數，滿足則的最大值是 【答案】76 如圖是一個算法的流程圖若輸入x的值為2，則輸出y的值是 【答案】7 抽樣統計甲，乙兩個城市連續5天的空氣質量指數(AQI)，數據如下：城市空氣質量指數(AQI)第1天第2天第3天第4天第5天甲109111132118110乙110111115132112則空氣質量指數(AQI)較為穩定(方差較小)的城市為 （填甲或乙） 【答案】乙8 已知正三棱錐的側棱長為1，底面正三角形的邊長為現從該正三棱錐的六條棱中隨機選取兩條棱，則這兩條棱互相垂直的概率是 【答案】9 將函數的圖象上所有點向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則等于 【答案】10等比數列an的首項為2，公比為3，前n項和為Sn若log3an(S4m+1)=9，則+的最小值是 【答案】11若向量，且，則的值是 【答案】112在平面直角坐標系中，直線是曲線的切線，則當0時，實數的最小值是 【答案】13已知集合M=y，N=，則表示MN的圖形面積等于 【答案】14若函數對任意實數，在閉區間上總存在兩實數、，使得8成立，則實數的最小值為 【答案】8二、解答題：本大題共6小題，共90分請在答題卡指定區域內作答. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15(本小題滿分14分) 如圖，在四棱柱中，且A1B1C1CDABD1 （第15題） （1）求證：平面；（2）求證：平面（1）證明：在四棱柱中，平面，平面，所以平面 6分（2）證明：在四棱柱中，四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為菱形從而 9分又，而，平面，所以平面 14分16(本小題滿分14分) 在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且c=3bcosA，tanC= （1）求tanB的值； （2）若，求ABC的面積（1）解：由正弦定理，得 ，2分即 所以 從而 因為，所以4分 又，由（1）知，解得6分（2）解：由（1），得 ， 10分由正弦定理，得12分所以ABC的面積為 14分 17(本小題滿分14分)已知a為實常數，y=f(x)是定義在(，0)(0，+)上的奇函數，且當x0時，f(x)=2x+1（1）求函數f(x)的單調區間；（2）若f(x)a1對一切x0成立，求a的取值范圍（1）解：由奇函數的對稱性可知，我們只要討論f(x)在區間(，0)的單調性即可f (x)2，令f (x)0，得xa 2分當a0時，f (x)0，故f(x)在區間(，0)是單調遞增 4分當a0時，x (，a )，f (x)0，所以f(x)在區間(，a )是單調遞增x (a，0)，f (x)0，所以f(x)在區間(a，0)是單調減 6分綜上所述：當a0時，f(x)單調增區間為(，0)，(0，+)；當a0時，f(x)單調增區間為(，a )，(a ，+)，單調減區間為(a，0)，(0，a) 7分（2）解：因為f(x)為奇函數，所以當x0時，f(x)f(x)(2 x1)2x 1 9分當a0時，要使f(x)a1對一切x0成立，即2x a對一切x0成立而當x0時，有a+4aa，所以a0，則與a0矛盾所以a0不成立11分當a0時，f(x)2x11=a1對一切x0成立，故a0滿足題設要求12分當a0時，由(1)可知f(x)在(0，a)是減函數，在(a ，+)是增函數所以fmin(x)=f(a)3a1a1，所以a0時也滿足題設要求 13分綜上所述，a的取值范圍是 14分18(本小題滿分16分)如圖，一塊弓形薄鐵片EMF，點M為的中點，其所在圓O的半徑為4 dm（圓心O在弓形EMF內），EOF=將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計損耗)， ADEF，且點A、D在上，設AOD= （1）求矩形鐵片ABCD的面積S關于的函數關系式；M （2）當矩形鐵片ABCD的面積最大時，求cos的值（第18題）MFOEM（1）解：設矩形鐵片的面積為，當時（如圖）， 3分當時（如圖）， 故綜上得，矩形鐵片的面積S關于的函數關系式為 7分（2）解：當時，求導，得令，得 10分記區間內余弦值等于的角為（唯一存在）列表：0增函數極大值減函數又當時，在上的單調減函數， 所以當即時，矩形的面積最大 16分19(本小題滿分16分)（第19題）ABCDxPyO如圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，離心率為，又橢圓內接四邊形ABCD (點A、B、C、D在橢圓上)的對角線AC，BD相交于點，且，（1）求橢圓的方程；（2）求直線AB的斜率（1）解：依題意，解得所求橢圓的方程為 6分（2）解：設，則由，得 8分代入橢圓方程，得整理，得， 10分即 12分設，同理可得 14分 ，得，即直線AB的斜率為 16分20(本小題滿分16分)已知等差數列an、等比數列bn滿足a1+a2a3，b1b2b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差數列，a1，a2，b2成等比數列 （1）求數列an和數列bn的通項公式；（2）按如下方法從數列an和數列bn中取項：第1次從數列an中取a1，第2次從數列bn中取b1，b2，第3次從數列an中取a2，a3，a4，第4次從數列bn中取b3，b4，b5，b6，第2n1次從數列an中繼續依次取2n1個項，第2n次從數列bn中繼續依次取2n個項，由此構造數列cn：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，記數列cn的前n和為Sn求滿足Sn22014的最大正整數n（1）解：設等差數列an的公差為，等比數列bn的公比為，依題意，得 解得a1=d=1，b1=q=2故an=n，bn=2n 6分（2）解：將a1，b1，b2記為第1組，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6記為第2組，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12記為第3組，以此類推，則第n組中，有2n1項選取于數列an，有2 n項選取于數列bn，前n組共有n2項選取于數列an，有n2n項選取于數列bn，記它們的總和為Pn，并且有 11分， 當（22222012）時， 13分當（22222013)時， 可得到符合的最大的n=4522012=4037 16分數學（附加題）參考答案與評分標準21【選做題】A 選修41：幾何證明選講 （本小題滿分10分） 在ABC中，已知CM是ACB的平分線，AMC的外接圓交BC于點N，且BN2AM 求證：ABAC 證明：如圖，在ABC中，因為CM是ACM的平分線，（第21A題）ABCMNO 所以 3分 又因為BA與BC是圓O過同一點B的割線， 所以， 即 6分 又BN=2AM， 所以 8分 由，得ABAC 10分B 選修42：矩陣與變換 （本小題滿分10分） 設二階矩陣，滿足，求解：設，因為， 2分所以，即 6分解得所以 10分C選修44：坐標系與參數方程 （本小題滿分10分） 在極坐標系中，已知曲線：，過極點O的直線與曲線相交于A、B兩點， ，求直線的方程 解：設直線的方程為(R)， 2分則 5分又，故 7分解得+2k或+2k，kZ所以直線的方程為或 (R) 10分D選修45：不等式選講 （本小題滿分10分）已知x，y，z均為正數，求證：證明：因為x，y，z均為正數，所以 4分 同理可得， 7分 當且僅當xyz均時，以上三式等號都成立 將上述三個不等式兩邊左，右兩邊分別相加，并除以2， 得 10分【必做題】22（本小題滿分10分）如圖，設，為單位圓上逆時針均勻分布的六個點現任選其中三個不同點構成一個三角形，記該三角形的面積為隨機變量 （1）求的概率；（2）求的分布列及數學期望（第22題）P1 解：（1）從六個點任選三個不同點構成一個三角形共有種不同選法，其中的為有一個角是的直角三角形（如），共種，所以 3分 （2）的所有可能取值為，的為頂角是的等腰三角形（如），共6種，所以 5分 的為等邊三角形（如），共2種，所以 7分 又由（1）知，故的分布列為 所以 10分23（本小題滿分10分）已知1，2，滿足下列性質T的排列，的個數為（n2，且nN*）性質T：排列，中有且只有一個（1，2，）（1）求；（2）求解：（1）當