. WORD格式.資料 .東光一中 高二 年級 數學 學科課時練 出題人： 許淑霞 出題時間：2015.1.22橢圓的中點弦問題學案學習目標：會求與橢圓的中點弦有關的問題 掌握一種思想：設而不求，整體代換的思想體會兩種方法：判別式法與點差法學習重點：能解決與橢圓的中點弦有關的問題學習過程：一、方法總結：1、與橢圓的弦的中點有關的問題，我們稱之為橢圓的中點弦問題。2、解橢圓的中點弦問題的一般方法是：（1）判別式法：聯立直線和橢圓的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式求解。（2）點差法：若設直線與橢圓的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入橢圓的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。3、設直線的技巧：（1）直線過定點時引入參數斜率，利用點斜式設方程，注意討論斜率存在與不存在兩種情況。（2）直線斜率一定時引入參數截距，利用斜截式設方程。（3）已知一般直線可設直線的斜截式方程，利用條件尋找k與b的關系。3、直線與橢圓相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求過中點的弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求與中點弦有關的圓錐曲線的方程二、題型復習：（一）、求過中點的弦所在直線方程問題例1、已知橢圓，求過點p(,)且被點p平分的弦所在直線方程注意：解決過中點的弦的問題時判斷點位置非常重要。（1）若中點在圓錐曲線內，則被點平分的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則被點平分的弦可能不存在。結論：（1） 設橢圓的弦AB的中點為P（，則,（2） 設雙曲線的弦AB的中點為P（則。（3）設拋物線的弦AB的中點為P（則。練習1、過橢圓內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是，又M為AB的中點，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設直線與橢圓的交點為A()，B（），M（2，1）為AB的中點，所以，又A、B兩點在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。（二）過定點的弦和平行弦的中點軌跡例2：已知橢圓，（1） 過點引橢圓的割線，求割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程。（2） 求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程。解法一：設過點的直線方程為，聯立方程，消去，整理得，設弦的兩個端點為、，中點，則，代入得，即又過點的直線與橢圓相交，所以解得，即，解得。當不存在時，不滿足題設要求，舍去。所以割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程是（）解法二：設弦的兩個端點為、，中點，則兩式相減得，整理得，由題意知，所以，又，所以，整理得。又過點的直線與橢圓相交，與解法一同理可得。所以割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程是（）注意：當定點在圓錐曲線外的時候一定要驗證直線與圓錐曲線相交的條件，并求出（或）的取值范圍；驗證斜率不存在的情況是否符合題意。練習1、 過橢圓上一點P（-8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。解法一：設弦PQ中點M（），弦端點P（），Q（），則有，兩式相減得，又因為，所以，所以，而，故。化簡可得 （）。解法二：設弦中點M（），Q（），由，可得，又因為Q在橢圓上，所以，即，所以PQ中點M的軌跡方程為 （）。練習2、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的坐標。解：設弦端點、，弦的中點，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即來源:學.科.網點的坐標為。（三）、求與中點弦有關的圓錐曲線的方程例3、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求橢圓的方程。解：設橢圓的方程為，則設弦端點、，弦的中點，則， ，又，兩式相減得即 聯立解得，所求橢圓的方程是練習3、平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：1(ab0)右焦點的直線xy0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.(1)求M的方程；解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.x1x22x0，y1y22y0，a22b2.又由題意知，M的右焦點為(，0)，a2b23.由得a26，b23.M的方程為1.enjoythetrustof得到.的信任have/puttrustin信任intrust受托的，代為保管的take.ontrust對.不加考察信以為真truston信賴giveanewturnto對予以新的看法turnaround/round轉身，轉過來，改變意見turnback折回，往回走turnaway趕走