1 2 2基本初等函數的導數公式及導數的運算法則 二 自主學習新知突破 1 能利用導數的四則運算法則求解導函數 2 能利用復合函數的求導法則進行復合函數的求導 問題2 試求F x f x g x 的導數 問題3 F x 的導數與f x g x 的導數有何關系 提示3 F x 的導數等于f x g x 導數和 設兩個函數分別為f x 和g x 導數的運算法則 f x g x f x g x f x g x f x g x 1 應用導數的運算法則應注意的問題 1 對于教材中給出的導數的運算法則 不要求根據導數定義進行推導 只要能熟練運用運算法則求簡單函數的導數即可 2 對于和差的導數運算法則 此法則可推廣到任意有限個可導函數的和或差 即 f1 x f2 x fn x f 1 x f 2 x f n x 復合函數y f g x 的導數和函數y f u u g x 的導數間的關系為yx 即y對x的導數等于 復合函數的導數 yu ux y對u的導數 與u對x的導數的乘積 2 復合函數求導應注意的問題 1 簡單復合函數均是由基本初等函數復合而成的 對于常用的基本函數要熟悉 2 求復合函數的導數 關鍵要分清函數的復合關系 特別要注意中間變量 3 要注意復合函數的求導法則與四則運算求導法則的綜合運用 1 已知函數f x cosx lnx 則f 1 的值為 A 1 sin1B 1 sin1C sin1 1D sin1答案 A 2 函數y sinx cosx的導數是 A y cos2x sin2xB y cos2x sin2xC y 2cosx sinxD y cosx sinx解析 y sinx cosx cosx cosx sinx sinx cos2x sin2x 答案 B 3 若f x 2x a 2 且f 2 20 則a 解析 f x 4x2 4ax a2 f x 8x 4a f 2 16 4a 20 a 1 答案 1 3 方法一 y 4x x ex 1 4xex 4x xex x y 4xex 4x xex x 4x ex 4x ex 4x x ex x ex x ex4xln4 4xex 4xln4 ex xex 1 ex 4xln4 4x 1 x 4xln4 1 方法二 y 4x x ex 1 4x x ex 1 4xln4 1 ex 1 4x x ex ex 4xln4 4x 1 x 4xln4 1 合作探究課堂互動 導數運算法則的應用 根據基本初等函數的導數公式和導數運算法則 求下列函數的導數 解決函數的求導問題 應先分析所給函數的結構特點 選擇正確的公式和法則 對較為復雜的求導運算 如綜合了和 差 積 商幾種運算的函數 在求導之前應先將函數化簡 然后求導 以減少運算量 解析 1 y x2 ex x2 ex 2x ex x2 ex 2x x2 ex 2 令u 2x y cosu 則yx yu ux cosu 2x 2sin2x 復合函數的導數 寫出下列各函數的中間變量 并利用復合函數的求導法則 求出函數的導數 2 引入中間變量u x 2008x 8 則函數y cos 2008x 8 是由函數f u cosu與u x 2008x 8復合而成的 查導數公式表可得f u sinu x 2008 根據復合函數求導法則可得 cos 2008x 8 f u x sinu 2008 2008sinu 2008sin 2008x 8 3 引入中間變量u x 1 3x 則函數y 21 3x是由函數f u 2u與u x 1 3x復合而成的 查導數公式表得f u 2uln2 x 3 根據復合函數求導法則可得 21 3x f u x 2uln2 3 3 2uln2 3 21 3xln2 復合函數求導的注意事項 1 求復合函數的導數 關鍵在于分析清楚函數的復合關系 選好中間變量 2 要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量的求導 不能混淆 如y cos2x可由y cosu和u 2x復合而成 第一步為y對u求導 第二步為u對x求導 3 復合函數求導后 要把中間變量換成自變量的函數 4 開始學習求復合函數的導數要一步步寫清楚 熟練后中間步驟可省略 特別提醒 只要求會求形如f ax b 的復合函數的導數 求曲線的切線方程 已知函數f x x3 x 16 1 求曲線y f x 在點 2 6 處的切線方程 2 直線l為曲線y f x 的切線 且經過原點 求直線l的方程及切點坐標 思路點撥 利用導數的幾何意義解決切線問題的關鍵是判斷已知點是否是切點 若已知點是切點 則該點處的切線斜率就是該點處的導數 如果已知點不是切點 則應先設出切點 再借助兩點連線的斜率公式進行求解 3 已知拋物線y ax2 b