12.4直接證明與間接證明1了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點1直接證明中最基本的兩種證明方法是_和_2綜合法是利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立綜合法又叫_3分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)分析法又叫_4反證法：假設原命題_(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這樣的證明方法叫反證法應用反證法證明數學命題，一般有下面幾個步驟：第一步，分清命題“pq”的_；第二步，作出與命題結論q相矛盾的假設_；第三步，由p與q出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；第四步，斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題pq為真1分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的()a充分條件 b必要條件c充要條件 d等價條件2用反證法證明命題“三角形的三個內角至少有一個不大于60”時，應假設()a三個內角都不大于60b三個內角都大于60c三個內角至多有一個大于60d三個內角至多有兩個大于603設ta2b，sab21，則下列關于t和s的大小關系中正確的是()ats btscts dts4命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2過程應用了()a分析法b綜合法c綜合法、分析法綜合應用d間接證明法5因為某種產品的兩種原料相繼提價，所以生產者決定對產品分兩次提價，現在有三種提價方案：方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%，其中pq0.比較上述三種方案，提價最多的是()a甲 b乙c丙 d一樣多一、綜合法【例1】 如圖，四邊形abcd是正方形，pb平面abcd，ma平面abcd，pbab2ma.求證：(1)平面amd平面bpc；(2)平面pmd平面pbd.方法提煉1綜合法是“由因導果”，它是從已知條件出發，順著推證，經過一系列的中間推理，最后導出所證結論的真實性用綜合法證明題的邏輯關系是：ab1b2bnb(a為已知條件或數學定義、定理、公理，b為要證結論)，它的常見書面表達是“，”或“”2利用綜合法證不等式時，是以基本不等式為基礎，以不等式的性質為依據，進行推理論證的因此，關鍵是找到與要證結論相匹配的基本不等式及其不等式的性質3綜合法是一種由因導果的證明方法，其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法，這就是保證前提正確，推理合乎規律，才能保證結論的正確性請做演練鞏固提升1二、分析法【例2】已知abc三邊a，b，c的倒數成等差數列，證明：b為銳角方法提煉1分析法是“執果索因”，它是從要證的結論出發，倒著分析，逐漸地靠近已知2用分析法證“若p，則q”這個命題的模式是：為了證明命題q為真，這只需證明命題p1為真，從而有這只需證明命題p2為真，從而有這只需證明命題p為真而已知p為真，故q必為真特別警示：用分析法證題時，一定要嚴格按格式書寫，否則極易出錯3在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用，根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論p，若由p可以推出q成立，就可以證明結論成立一般情況下，用分析法尋找思路，用綜合法完成證明請做演練鞏固提升4三、反證法【例3】 設an是公比為q的等比數列，sn是它的前n項和(1)求證：數列sn不是等比數列；(2)數列sn是等差數列嗎？為什么？方法提煉反證法是間接證明問題的一種常用方法，它不是從已知條件去直接證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上進行演繹推理，導出矛盾，從而肯定結論的真實性用反證法證明要把握三點：(1)反設：必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)歸謬：必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據這一條件進行推證推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，但推導出的矛盾必須是明顯的；(3)結論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立請做演練鞏固提升2證明類問題中的新情景問題【典例】 設f(x)，g(x)，h(x)是r上的任意實數函數，如下定義兩個函數(fg)(x)和(fg)(x)：對任意xr，(fg)(x)f(g(x)，(fg)(x)f(x)g(x)則下列等式恒成立的是()a(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)b(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)c(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)d(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)解析：(fg)h)(x)(fg)(h(x)f(h(x)g(h(x)(fh)(x)(gh)(x)(fh)(gh)(x)答案：b答題指導：對于此類新情景下的新定義問題需要做好以下幾點：1充分理解題意，理解定義是解題的關鍵2若是選擇、填空題建議以特例理解新定義，可以化難為易、化繁為簡3“按規則要求辦事”，即新定義如何要求就如何去做，此法雖然可能會繁瑣，但只要理解透徹，運算得當也能解決問題1(2012浙江紹興模擬)設alg 2lg 5，bex(x0)，則a與b的大小關系為()aab babcab dab2(2012山師大附中模擬)用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為()aa，b，c中至少有兩個偶數ba，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數ca，b，c都是奇數da，b，c都是偶數3若函數f(x)f(x)f(x)與g(x)f(x)f(x)，其中f(x)的定義域為r，且f(x)不恒為零，則()af(x)、g(x)均為偶函數bf(x)為奇函數，g(x)為偶函數cf(x)與g(x)均為奇函數df(x)為偶函數，g(x)為奇函數4已知a，b(0，)，求證：.參考答案基礎梳理自測知識梳理1綜合法分析法2順推證法或由因導果法3遞推證法或執果索因法4不成立假設錯誤原命題成立條件和結論q基礎自測1a2.b3d解析：stab21a2b(b1)20，st.4b解析：因為證明過程是“從左往右”，即由條件結論5c解析：設產品的原價為a，則按方案甲可得提價后的價格為aa(1p%)(1q%)；按方案乙可得提價后的價格為ba(1q%)(1p%)a；按方案丙可得提價后的價格為caa2，則cba2a(1p%)(1q%)(p%q%)20，故應選c.考點探究突破【例1】 證明：(1)因為pb平面abcd，ma平面abcd，所以pbma.因為pb平面bpc，ma平面bpc，所以ma平面bpc.同理，da平面bpc.又ma平面amd，ad平面amd，maada，所以平面amd平面bpc.(2)連接ac，設acbde，取pd的中點f，連接ef，mf.因為四邊形abcd為正方形，所以e為bd的中點因為f為pd的中點，所以efpb.又ampb，所以四邊形aefm為平行四邊形所以mfae.因為pb平面abcd，ae平面abcd，所以pbae.所以mfpb.因為四邊形abcd為正方形，所以acbd.所以mfbd.所以mf平面pbd.又mf平面pmd，所以平面pmd平面pbd.【例2】 證明：要證明b為銳角，根據余弦定理，也就是證明cos b0，即需證a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要證a2c2b20.只需證2acb20.a，b，c的倒數成等差數列，即2acb(ac)要證2acb20，只需證b(ac)b20，即證b(acb)0.上述不等式顯然成立b必為銳角【例3】 (1)證明：若sn是等比數列，則s2s1s3，即a1(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，這與q0相矛盾，故數列sn不是等比數列(2)解：當q1時，sn是等差數列當q1時，sn不是等差數列假設q1時，s1，s2，s3成等差數列，即2s2s1s3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，這與q0相矛盾綜上可知，當q1時，sn是等差數列；當q1時，sn不是等差數列演練鞏固提升1a解析：alg 2lg 5lg 101，而bexe01，故ab.2b解析：“恰有一個偶數”的對立面是“沒有偶數或至少有兩個偶數”3d解析：由f(x)f(x)f(x)，g(x)f(x)f(x)