3.2 第3課時 空間向量與空間距離（選學）A基礎達標1如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分別是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，則E，F兩點間的距離為()A1 B.C. D.解析：選C.以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則點E(1，1，)，F，所以EF，故選C.2已知平面的一個法向量n(2，2，1)，點A(1，3，0)在平面內，則點P(2，1，4)到的距離為()A10 B3C. D.解析：選D.由已知得(1，2，4)，故點P到平面的距離d.3已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是()A. B.C. D.解析：選B.建立空間直角坐標系如圖所示，則(0，2，0)，(0，1，2)，設ABE，則cos ，sin .故A到直線BE的距離d|sin 2.4如圖，已知長方體ABCD A1B1C1D1中，A1A5，AB12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是()A5 B8C. D.解析：選C.法一：因為B1C1BC，所以B1C1平面A1BCD1，從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求如圖，過點B1作B1EA1B于點E.因為BC平面A1ABB1，且B1E平面A1ABB1，所以BCB1E.又BCA1BB，所以B1E平面A1BCD1，B1E的長即為點B1到平面A1BCD1的距離在RtA1B1B中，B1E，所以直線B1C1到平面A1BCD1的距離為.法二：以D為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0，12，0)，D1(0，0，5)設B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x0)設平面A1BCD1的法向量為n(a，b，c)，由n，n，得n(a，b，c)(x，0，0)ax0，n(a，b，c)(0，12，5)12b5c0，所以a0，bc，所以可取n(0，5，12)又(0，0，5)，所以點B1到平面A1BCD1的距離為.因為B1C1平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距離為.5正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則O到平面ABC1D1的距離為()A. B.C. D.解析：選B.以，為正交基底建立空間直角坐標系，則A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，平面ABC1D1的一個法向量(1，0，1)，點O到平面ABC1D1的距離d.故選B.6在底面是直角梯形的四棱錐PABCD中，側棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，則AD到平面PBC的距離為_解析：AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離由已知可知AB，AD，AP兩兩垂直以A為坐標原點，的方向為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系(圖略)，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，則(2，0，2)，(0，2，0)設平面PBC的法向量為n(a，b，c)，則即取a1，得n(1，0，1)，又(2，0，0)，所以d.答案：7(2018北京通州潞河中學高二(上)期中考試)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則點D1到直線GF的距離為_解析：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有(1，1，1)，(0，2，1)，所以，|，所以點D1到直線GF的距離為.答案：8正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離解：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，0，0)設平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則所以令z1，得y1，x1，所以n(1，1，1)所以點D1到平面A1BD的距離d.因為平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為.9在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M為BB1的中點，N為BC的中點(1)求點M到直線AC1的距離；(2)求點N到平面MA1C1的距離解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直線AC1的一個單位方向向量為s0，(2，0，1)，故點M到直線AC1的距離d.(2)設平面MA1C1的法向量為n(x，y，z)，則n0且n0，即(x，y，z)(0，2，0)0且(x，y，z)(2，0，1)0，即y0且2xz0，取x1，得z2，故n(1，0，2)為平面MA1C1的一個法向量，與n同向的單位向量為n0.因為N(1，1，0)，所以(1，1，1)，故點N到平面MA1C1的距離d|n0|.B能力提升10如圖，ABCDEFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿足，則P到AB的距離為()A. B.C. D.解析：選C.如圖，分別以AB、AD、AE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，、可作為x、y、z軸方向上的單位向量，(1，0，0)，所以P點到AB的距離d .11(2018陜西西安一中高二(上)期末考試)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則點B1到平面ABC1的距離為_解析：法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，則，(0，1，0)，(0，1，1)設平面ABC1的一個法向量為n(x，y，1)，則有解得n，則所求距離為.法二：連接AB1，VB1ABC1VA BB1C1，VA BB1C1SBB1C1AB.設點B1到平面ABC1的距離為h，則VB1ABC1SABC1h，SABC1AB，所以h.答案：12(選做題)在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如圖把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD(如圖)(1)求證：CDAB；(2)若點M為線段BC的中點，求點M到平面ACD的距離；(3)在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解：(1)證明：由已知條件可得BD2，CD2，CDBD.因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，又因為AB平面ABD，所以CDAB.(2)以點D為原點，DB所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以(0，2，0)，(1，0，1)，(1，1，0)設平面ACD的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以令x1，得平面ACD的一個法向量為n(1，0，1)，所以點M到平面ACD的距離d.(3)假設