廣東省揭陽一中2012-2013學年高二下學期第二次階段考試（數學理）一、選擇題要求：在下列各題的四個選項中，只有一個選項是正確的。請將正確答案的字母填在題后的括號內。1.已知函數$f(x)=\sinx+\cosx$，則函數$f(x)$的值域為（）。A.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$B.$[-1,1]$C.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$D.$[-2,2]$2.下列各式中，能表示復數$z$的三角形式的是（）。A.$z=\sqrt{3}+i$B.$z=-2+\sqrt{3}i$C.$z=2-i$D.$z=\sqrt{2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})$3.若$\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,3)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值為（）。A.7B.5C.-5D.-7二、填空題要求：請將正確答案填寫在題后的橫線上。4.已知等差數列$\{a_n\}$的前$6$項和為$15$，第$6$項為$3$，則該數列的首項$a_1$為____。5.若等比數列$\{a_n\}$的首項為$2$，公比為$\dfrac{1}{2}$，則第$5$項$a_5$為____。6.若直線$x+2y-1=0$與直線$3x-4y+5=0$的夾角為$\dfrac{\pi}{4}$，則兩直線的斜率之積為____。三、解答題要求：請將解答過程書寫在答題卷上。7.已知函數$f(x)=\lnx-ax+b$（$a>0$，$b>0$），且$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞減。（1）求實數$a$，$b$的取值范圍；（2）設$x_1$，$x_2$是函數$f(x)$在$(0,+\infty)$上的兩個不同零點，求$\ln\dfrac{x_1x_2}{(x_1+x_2)^2}$的值。8.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=\dfrac{3n^2-2n}{4}$。（1）求證：數列$\{a_n\}$為等差數列；（2）設$T_n=\dfrac{a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n}{a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n+a_na_{n+1}}$，求$\lim_{n\to\infty}T_n$。9.已知直線$l_1:3x+4y-3=0$與直線$l_2:4x+3y+5=0$。（1）求直線$l_1$，$l_2$的交點坐標；（2）求過點$A(2,1)$的直線$l$，使得直線$l$與直線$l_1$，$l_2$均不平行，且垂直于兩條直線$l_1$，$l_2$的夾角的平分線。四、解答題要求：請將解答過程書寫在答題卷上。10.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$。（1）求函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）求函數$f(x)$的極值點和拐點；（3）畫出函數$f(x)$的圖像，并說明函數的單調性、極值和拐點的位置。五、解答題要求：請將解答過程書寫在答題卷上。11.已知數列$\{a_n\}$滿足遞推關系$a_{n+1}=2a_n-1$，且$a_1=2$。（1）求證：數列$\{a_n\}$是等比數列；（2）求出數列$\{a_n\}$的通項公式；（3）計算數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。六、解答題要求：請將解答過程書寫在答題卷上。12.已知三角形ABC中，$\angleA=\dfrac{\pi}{3}$，$\angleB=\dfrac{\pi}{4}$，$b=2\sqrt{2}$。（1）求邊長$c$和角$C$的大小；（2）若三角形ABC的面積$S=2\sqrt{3}$，求邊長$a$的長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數$f(x)=\sinx+\cosx$可以寫成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$，由于正弦函數的值域為$[-1,1]$，所以$f(x)$的值域為$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。2.D解析：復數$z$的三角形式為$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是模長，$\theta$是輻角。選項D中的表達式符合這一形式。3.A解析：向量點積的公式為$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$，代入$\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,3)$，得$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times1+1\times3=7$。二、填空題4.1解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$n=6$，$S_6=15$，$a_6=3$，解得$a_1=1$。5.\(\dfrac{1}{16}\)解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=2$，$q=\dfrac{1}{2}$，$n=5$，解得$a_5=\dfrac{1}{16}$。6.-\(\dfrac{3}{4}\)解析：兩條直線的斜率分別為$m_1=-\dfrac{A}{B}$和$m_2=-\dfrac{C}{D}$，代入直線方程，得$m_1=-\dfrac{1}{2}$，$m_2=\dfrac{3}{4}$，斜率之積為$-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=-\dfrac{3}{4}$。三、解答題7.解答過程略。8.解答過程略。9.解答過程略。四、解答題10.解答過程略。五、解答題11.解答過程略。六、解答題12.解答過程略。（以下為解答過程的詳細說明）一、選擇題1.解析：通過將$f(x)$寫成$\sqrt{2}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$的形式，可以直接得到函數的值域為$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。2.解析：復數的三角形式是復數在復平面上的一種表示方法，其中$r$是復數的模長，$\theta$是復數的輻角。選項D符合這一形式。3.解析：根據向量點積的定義，直接計算兩個向量的點積即可得到結果。二、填空題4.解析：使用等差數列的前$n$項和公式，結合已知條件求解首項$a_1$。5.解析：使用等比數列的通項公式，結合已知條件求解第$5$項$a_5$。6.解析：根據直線的斜