/3.2勾股定理的逆定理教材知識總結教材知識總結勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.【點撥】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點，且CE＝1，，BE＝4，點F為AB邊上的動點，連接EF．(1)求AB的長；(2)當△BEF為等腰三角形時，求AF的長．【例題2】（1）在中，，，，求的長．（2）在中，，，，判斷是否是直角三角形．【例題3】如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經測得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．(1)求A、C兩點之間的距離．(2)求這張紙片的面積．【例題4】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．(1)求證：∠ADC＝90°；(2)求△ABD的面積．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．下列各組數中能作為直角三角形的三邊長是（

）A． B． C．7，24，25 D．13，14，152．三角形三邊長為a，b，c滿足，則這個三角形是（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形3．如圖，小正方形的邊長均為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ACB的度數是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．已知中，所對的邊分別為a，b，c，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．5．由下列條件不能判定ABC為直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，6．甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是，甲客輪沿著北偏東的方向航行，后到達小島，乙客輪到達小島．若，兩島的直線距離為，則乙客輪離開港口時航行的方向是（

）A．北偏西 B．南偏西C．南偏東或北偏西 D．南偏東或北偏西二、填空題7．一個三角形的三邊的比為5：12：13，它的周長為60，則它的面積是___．8．如圖，已知在△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，那么AC邊上的中線BD的長為______．9．若的三邊長a，b，c滿足，則是____________．10．如圖，已知在中，，，，為邊上一個動點，連接，，分別交、于點、，垂足為，點為的中點，若四邊形的面積為18，則的最大值為_____．三、解答題11．如圖，每個小正方形的邊長都為1．(1)求四邊形ABCD的周長及面積；(2)連接BD，判斷△BCD的形狀．12．如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網格中有以格點A、B、C為頂點的△ABC，請你根據所學的知識回答下列問題：(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)求BC邊上的高．13．如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線DE與AB、AC分別交于點E和D，且CB2＝AD2－CD2(1)求證：∠C＝90°；(2)若AC＝4，BC＝3，求CD的長．14．如圖，中，，長為10，點是上的一點，．(1)求證：；(2)求線段的長．15．我國農村實行“村村通”惠民工程以后，A、B、C三個村莊都已互通了公路．若連接三個村莊的公路剛好圍成一個直角三角形（如圖），現在要修一個汽車站P，使其到三條公路的距離相等．已知連接三個村莊的公路長分別為5，12，13．（單位km）(1)請用尺規作圖設計出汽車站P的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)汽車站位置設計方案的數學依據是；(3)汽車站P到公路BC的距離為km．16．如圖，△ABC中，BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點D、E，且BD2－DA2＝AC2．(1)求證：∠A＝90°；(2)若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的長．17．已知：如圖，△ABC中，∠ACB的平分線與AB的垂直平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC交CB的延長線于點F．（1）求證：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判斷△ABC的形狀，并證明．18．已知中，，，，為邊上的高．(1)判斷的形狀，并說明理由．(2)求的長；(3)若動點P從點A出發，沿著運動，最后回到A點，速度為，設運動時間為s．t為何值時，為等腰三角形（直接寫出t的值）．/

3.2勾股定理的逆定理教材知識總結教材知識總結勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.【點撥】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點，且CE＝1，，BE＝4，點F為AB邊上的動點，連接EF．(1)求AB的長；(2)當△BEF為等腰三角形時，求AF的長．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）根據AC2+CE2＝AE2得出∠ACE＝90°，再利用勾股定理即可得到AB的值；（2）根據等腰三角形的性質，分析符合題意的情況并求解即可．【解析】(1)解：（1）∵AC＝5，CE＝1，，∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴；(2)（2）①當BF＝BE＝4時，AF＝AB﹣BF＝；②如圖，當BF＝EF時，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，設BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴（負值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝；③如圖，當BE＝EF時，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴，∴AF＝AB﹣BF＝，綜上所述，AF的長為或或．【例題2】（1）在中，，，，求的長．（2）在中，，，，判斷是否是直角三角形．【答案】（1）；（2）是否是直角三角形【分析】（1）在中，已知與的長，利用勾股定理求出的長即可；（2）利用勾股定理的逆定理即可作出判斷．【解析】解：（1）在中，，，，由勾股定理得：，∴的長為．（2）在中，，，，∵，，∴，∴是直角三角形．【例題3】如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經測得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．(1)求A、C兩點之間的距離．(2)求這張紙片的面積．【答案】(1)A、C兩點之間的距離為15cm；(2)114（cm2）【分析】（1）由勾股定理可直接求得結論；（2）根據勾股定理逆定理證得∠ACD=90°，由于四邊形紙片ABCD的面積=S△ABC+S△ACD，根據三角形的面積公式即可求得結論．【解析】(1)解：連接AC，如圖．在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，∴AC．即A、C兩點之間的距離為15cm；(2)解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四邊形紙片ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD=AB?BCAC?CD=9×1215×8＝54+60＝114（cm2）．【例題4】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．(1)求證：∠ADC＝90°；(2)求△ABD的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)△ABD的面積為2【分析】（1）連接AC，根據勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解；（2）過D點作DE⊥BC于E，根據勾股定理和三角形面積公式即可求得△ABD的面積．【解析】(1)證明：連接AC，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝BC＝5，∴AC2＝AB2+BC2＝52+52＝25+25＝50，∵CD＝7，AD＝1，∴CD2+AD2＝72+12＝49+1＝50，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，即∠ADC＝90°；(2)解：過D點作DE⊥BC于E，設BE＝x，則CE＝5﹣x，DE=，則AB?BCAD?CDAB?BEBC?DE，即5×51×75x5，解得，（不合題意舍去），則△ABD的面積為課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．下列各組數中能作為直角三角形的三邊長是（

）A． B． C．7，24，25 D．13，14，15【答案】C【分析】根據勾股定理的逆定理即可判斷．【解析】解：，，，則，故不能構成直角三角形，故A選項錯誤；，，，則，故不能構成直角三角形，故B選項錯誤；，，，則，故能構成直角三角形，故C選項正確；，，，則，故不能構成直角三角形，故D選項錯誤，故選：C．2．三角形三邊長為a，b，c滿足，則這個三角形是（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】由可求得a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可判斷．【解析】解：由題意得，，解得，，解得，，解得，則，，這個三角形是直角三角形，故選D．3．如圖，小正方形的邊長均為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ACB的度數是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】利用勾股定理分別求出△ABC三邊的長，然后利用勾股定理的逆定理證明△ABC是等腰直角三角形即可得到答案．【解析】解：由題意得，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形且∠ABC=90°，∴∠ACB=∠BAC=45°，故選B．4．已知中，所對的邊分別為a，b，c，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由三角形內角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是否是90°即可．【解析】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；B、∵，∴，∴能構成直角三角形，故此選項不符合題意．C、設∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，3x+4x+5x=180，解得：x=15，則5x°=75°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；D、∵∴，∴能構成直角三角形，故此選項不合題意；5．由下列條件不能判定ABC為直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【答案】D【分析】根據勾股定理的逆定理和三角形內角和解答即可．【解析】A、因為∠A+∠B=∠C，所以∠C=90°，△ABC為直角三角形，不符合題意；B、因為∠A：∠B：∠C=1：3：2，所以∠A+∠C=∠B，所以∠B=90°，△ABC為直角三角形，不符合題意；C、因為（b+c）（b-c）=a2，所以a2+c2=b2，△ABC為直角三角形，不符合題意；D、因為，，，但是，所以△ABC不為直角三角形，符合題意；故選：D．6．甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是，甲客輪沿著北偏東的方向航行，后到達小島，乙客輪到達小島．若，兩島的直線距離為，則乙客輪離開港口時航行的方向是（

）A．北偏西 B．南偏西C．南偏東或北偏西 D．南偏東或北偏西【答案】C【分析】根據題意可得OA=30海里，OB=40海里，再利用勾股定理的逆定理證明△AOB是直角三角形，從而求出∠AOB=90°，然后分兩種情況，畫出圖形，進行計算即可解答．【解析】解：由題意得，海里，海里，OA2+OB2=302+402=2500，AB2=502=2500，OA2+OB2=AB2，∠AOB=90°，分兩種情況：如圖1，=180°-30°-90°=60°，乙客輪離開港口時航行的方向是：南偏東60°，如圖2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30°=60°，乙客輪離開港口時航行的方向是：北偏西60°，綜上所述：乙客輪離開港口時航行的方向是：南偏東60或北偏西60°，故選：C．二、填空題7．一個三角形的三邊的比為5：12：13，它的周長為60，則它的面積是___．【答案】120【分析】設三角形的三邊分別為5x，12x，13x，則，解得，即可得三角形的三邊分別為10，24，26，因為，所以三角形為直角三角形，即可得．【解析】解：設三角形的三邊分別為5x，12x，13x，則，，∴三角形的三邊分別為10，24，26，∵，∴三角形為直角三角形，∴三角形的面積為：，故答案為：120．8．如圖，已知在△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，那么AC邊上的中線BD的長為______．【答案】【分析】先根據勾股定理的逆定理判斷形狀，即可得到結果．【解析】解：∵，∴△ABC是直角三角形，∴AC邊上的中線BD的長為cm，故答案為：．9．若的三邊長a，b，c滿足，則是____________．【答案】等腰直角三角形【分析】根據平方的結果是非負數、絕對值的結果為非負數，再根據勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定進行判定即可．【解析】解：∵又∵、∴、∴、∴是等腰直角三角形故答案為：等腰直角三角形．10．如圖，已知在中，，，，為邊上一個動點，連接，，分別交、于點、，垂足為，點為的中點，若四邊形的面積為18，則的最大值為_____．【答案】【分析】先求出=36，再根據直線外一點到直線上任意一點的距離，垂線段最短，利用三角形面積公式即可求得AP最短時的長，然后即可求出AN最長時的長．【解析】解：∵四邊形的面積為18，，∴，即=36，在中，，，，∴∠BAC=90°，∵點為的中點，∴AN=DE，∴DE最大時，AN最大，∵，∴AP最小時，DE最大，即AP⊥BC時，AP最小，∵AP=，∴DE=，∴，故答案為：．三、解答題11．如圖，每個小正方形的邊長都為1．(1)求四邊形ABCD的周長及面積；(2)連接BD，判斷△BCD的形狀．【答案】(1)周長為；面積為；(2)見解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的長，即可求出四邊形ABCD的周長；利用分割法即可求出四邊形的面積．（2）連接BD，求出BD的長，利用勾股定理的逆定理即可證明出結論．【解析】(1)解：根據勾股定理得，，，，故四邊形ABCD的周長為，面積為．(2)連接BD，如圖所示：∵，，BD＝5，∴BC2＋CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴△BCD是直角三角形．12．如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網格中有以格點A、B、C為頂點的△ABC，請你根據所學的知識回答下列問題：(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)求BC邊上的高．【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由見解析(2)BC邊上的高為2【分析】(1)根據正方形小方格邊長為1，得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形．(2)設BC邊上的高為h，根據面積公式，用正方形的面積減去三個三角形面積可以求出△ABC的面積．【解析】(1)△ABC是直角三角形，理由：∵正方形小方格邊長為1，∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．(2)設BC邊上的高為h，△ABC的面積＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，×h×5＝5；∴h＝2．13．如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線DE與AB、AC分別交于點E和D，且CB2＝AD2－CD2(1)求證：∠C＝90°；(2)若AC＝4，BC＝3，求CD的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據垂直平分線的性質可得AD＝BD，代入已知條件可得CB2+CD2＝BD2

，根據勾股定理逆定理，即可判斷是，即可得證；（2）設CD＝x，則AD＝BD＝4－x，在Rt△BCD中，根據勾股定理建立方程，解方程即可求解．【解析】(1)證明：連接BC∵AB邊上的垂直平分線為DE∴AD＝BD

∵CB2＝AD2－CD2∴CB2＝BD2－CD2

∴CB2+CD2＝BD2

∴∠C＝90°(2)解：設CD＝x，則AD＝BD＝4－x在Rt△BCD中，BD2－CD2＝BC2∴（4－x）2－x2＝32，解得：x=

∴CD的長為14．如圖，中，，長為10，點是上的一點，．(1)求證：；(2)求線段的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據勾股定理的逆定理證得△BCD為直角三角形即可；（2）設，則，在Rt△ABD中，根據勾股定理建立方程，解出方程即可．【解析】(1)證明：∵，，，∴，∴△BCD為直角三角形，且∠BDC=90°，∴；(2)設，則，∵，∴，∵，∴，解得：，∴．15．我國農村實行“村村通”惠民工程以后，A、B、C三個村莊都已互通了公路．若連接三個村莊的公路剛好圍成一個直角三角形（如圖），現在要修一個汽車站P，使其到三條公路的距離相等．已知連接三個村莊的公路長分別為5，12，13．（單位km）(1)請用尺規作圖設計出汽車站P的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)汽車站位置設計方案的數學依據是；(3)汽車站P到公路BC的距離為km．【答案】(1)見解析(2)角平分線上的點到角的兩邊距離相等(3)2【分析】（1）分別作的角平分線，交于點，點即為所求；（2）根據角平分線的性質即可求解；（3）過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥CB于點F，PG⊥AB于點G．連接PB．先證明是直角三角形，進而根據等面積法即可求解．【解析】(1)如圖，點P即為所求；(2)汽車站位置設計方案的數學依據是：角平分線上的點到角的兩邊距離相等．故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等．(3)過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥CB于點F，PG⊥AB于點G．連接PB．∵AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵S△ABC=?AC?BC=?AB?PE+?AB?PG+?BC?PF，PE=PF=PG，∴PE==2，故答案為：2．16．如圖，△ABC中，BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點D、E，且BD2－DA2＝AC2．(1)求證：∠A＝90°；(2)若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明CD＝BD，結合已知條件可得CD2－DA2＝AC2，從而可得結論；（2）由AD∶BD＝3∶4，設AD＝3x，BD＝4x，則再利用勾股定理列方程即可.【解析】(1)解：連接CD．∵DE垂直平分BC

∴CD＝BD．∵BD2－DA2＝AC2，

∴CD2－DA2＝AC2．∴∠A＝90°．(2)解：∵AD∶BD＝3∶4，∴設AD＝3x，BD＝4x．BD2－DA2＝AC2，

∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2．∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，∴x＝1．（負根舍去）∴AC＝．17．已知：如圖，△ABC中，∠ACB的平分線與AB的垂直平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC交CB的延長線于點F．（1）求證：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判斷△ABC的形狀，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）△ABC是直角三角形，證明見解析【分析】（1）連接AD，根據垂直平分線性質可得BD＝DA，可證Rt△ADE≌Rt△BDF，可得AE＝BF；（2）根據Rt△CDE≌Rt△CDF得出C