/八年級數(shù)學《暑假作業(yè)?新課程無憂銜接》（蘇科版）考點14圓周角【知識點梳理】圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。圓內接四邊形：如果一個四邊形的各個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫做圓的內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.圓內接四邊形的對角互補.圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）.要點詮釋：圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補要點詮釋：圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補【新課程預習練·無憂銜接】一、單選題1．如圖，是⊙的直徑，點在⊙上，連接，，若，則（）A．60° B．56° C．52° D．48°2．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC為直徑的☉O交AB于點D，則CD的長為（）A． B． C． D．53．如圖，AB為的直徑，AC為的弦，D是弧BC的中點，E是AC的中點．若，，則DE=（）A． B．5 C． D．4．如圖，四邊形ABCD內接于，，點C為的中點，延長AB、DC交于點E，且，則的面積是（）A． B． C． D．5．如圖，為圓O的直徑，且AB=8，C為圓上任意一點，連接、，以為邊作等邊三角形，以為邊作正方形，連接．若為a，為b，為c，則下列關系式成立的是（）A． B． C． D．6．如圖，與是的兩條互相垂直的弦，交點為點，，點在圓上，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．如圖，點A，D，B，C是圓O上的四個點，連接，相交于點E，若，，則的度數(shù)為（）A．95° B．90° C．85° D．80°8．如圖，中所對的圓周，點P在劣弧上，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．如圖，內接于，CD是的直徑，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．10．如圖，內接于，其外角的平分線交于點D，點A為弧CD的中點．若，則的大小為（）

A．84° B．85° C．86° D．88°11．如圖，，是上直徑兩側的兩點．設，則（）A． B． C． D．12．如圖，是的直徑，點在上．．則的度數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，已知正方形的邊長為6，點F是正方形內一點，連接，且，點E是邊上一動點，連接，則長度的最小值為___________．14．如圖，劣弧與的度數(shù)之差為20°，弦AB與CD交于點E，∠CEB=60°，求∠CAB的度數(shù)________.15．如圖，點，，在上，，則的度數(shù)為______．16．如圖，在中，，則的度數(shù)是______°．三、解答題17．請閱讀下列材料，并完成相應的任務．克羅狄斯·托勒密（約90年－168年），古希臘天文學家、地理學家和光學家．在數(shù)學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內容如下：圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形內接于，則有______．任務：（1）材料中劃橫線部分應填寫的內容為_______．（2）已知，如圖2，四邊形內接于，平分，，求證：．18．如圖，等邊三角形內接于，是上一動點，連接，，，延長到點，使，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）填空：①若，，則的長為____________；②當?shù)亩葦?shù)為_________時，四邊形為菱形．19．小亮在學習中遇到如下一個問題：如圖1，點是半圓上一動點，線段AB=6，CD平分，過點作交于點，連接．當為等腰三角形時，求線段的長度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是他嘗試結合學習函數(shù)的經驗研究此問題．將線段的長度作為自變量，，和的長度都是的函數(shù)，分別記為，和．請將下面的探究過程補充完整：（1）根據(jù)點在半圓上的不同位置，畫出相應的圖形，測量線段，，的長度，得到下表的幾組對應值：01.02.03.04.04.55.05.5665.95.75.24.5a3.32.4065.04.23.744.55.36.38.5①上表中的值是______②操作中發(fā)現(xiàn)，“無需測量線段的長度即可得到關于的函數(shù)解析式”．請直接寫出關于的函數(shù)解析式．（2）小亮已在平面直角坐標系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖2所示．①請在同一個坐標系中畫出函數(shù)和的圖象；②結合圖象直接寫出當為等腰三角形時，線段長度的近似值（結果保留一位小數(shù)）．20．如圖，在中，．點為邊上一點，于點，點為上一點．連結并延長與相交于點，連結．已知．（1）若平分，求證：≌．（2）若，求的長．（3）若，求的讀數(shù)．

八年級數(shù)學《暑假作業(yè)?新課程無憂銜接》（蘇科版）考點14圓周角【知識點梳理】圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。圓內接四邊形：如果一個四邊形的各個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫做圓的內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.圓內接四邊形的對角互補.圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）.要點詮釋：圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補要點詮釋：圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補【新課程預習練·無憂銜接】一、單選題1．如圖，是⊙的直徑，點在⊙上，連接，，若，則（）A．60° B．56° C．52° D．48°【答案】C【分析】先說明OA=OC,進而得到∠BAC=∠OCA=26°，然后再根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵是⊙的直徑，點在⊙上∴OC=OA∴∠BAC=∠OCA=26°∴2∠BAC=52°．故選C．【點睛】考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質等知識點，掌握圓周角定理成為解答本題的關鍵．2．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC為直徑的☉O交AB于點D，則CD的長為（）A． B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，然后根據(jù)直徑所對圓周角為得到，然后根據(jù)三角形面積即可求解．【詳解】在Rt△ACB中，，∵為的直徑，∴，∴，∴，故選C．【點睛】考查了圓周角定理，勾股定理，關鍵是判斷．3．如圖，AB為的直徑，AC為的弦，D是弧BC的中點，E是AC的中點．若，，則DE=（）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】連接OC、BC、OE、BD，OE交于F，OD交BC于G，連接OE并延長交于點F，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到，，再計算出，設的半徑為r，則，利用勾股定理得到，然后利用勾股定理計算DE的長．【詳解】解：連接OC、BC、BD，OD交BC于G，連接OE并延長交于點F，∵D是弧BC的中點，∴，，，∵E是AC的中點，∴，，∴，∴，∵，，∴，，設的半徑為r，則，在中，，在中，，∴，解得：（舍去），，∴，∴，易得四邊形OGCE為矩形，∴，在中，．故選：A．【點睛】考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．4．如圖，四邊形ABCD內接于，，點C為的中點，延長AB、DC交于點E，且，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)圓內接四邊形的外角等于其內對角可得∠D＝∠CBE＝60°，根據(jù)等邊對等角以及三角形內角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，點C為的中點，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，進而得出∠ABD=90°，AD為直徑，可得出AD=2AB=4，再根據(jù)面積公式計算得出結論；【詳解】解：連接BD，∵ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A∵∴∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°∵∴△CBE為等邊三角形∴∠BCE＝∠A=60°，∵點C為的中點，∴∠CDB＝∠DBC=30°∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD為直徑∵AB=2∴AD=2AB=4∴的面積是=故答案選：D【點睛】考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，三角形內角和定理，掌握相關性質及公式是解題的關鍵．5．如圖，為圓O的直徑，且AB=8，C為圓上任意一點，連接、，以為邊作等邊三角形，以為邊作正方形，連接．若為a，為b，為c，則下列關系式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長DC，過E作DC延長線的垂線，垂足為M，在△ECM中，分別表示出EM和CM，得到DM，在△DEM中，利用勾股定理得到，結合直徑AB=8即可得到結果．【詳解】解：延長DC，過E作DC延長線的垂線，垂足為M，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵四邊形BCEF為正方形，∴∠BCE=90°，即A，C，E三點共線，∵△ACD為正三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ECM=60°，在△ECM中，EM=EC·sin60°=b，CM=EC·sin30°=b，∴DM=DC+CM=a+b，在△DEM中，，∴，整理可得：，∵AB=8，∴，∴，故選D．【點睛】考查了等邊三角形的性質，正方形的性質，三角函數(shù)的定義，勾股定理，圓周角定理，解題的關鍵是作出輔助線，得到a，b，c的關系式．6．如圖，與是的兩條互相垂直的弦，交點為點，，點在圓上，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直的定義和圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

故選：B．【點睛】考查了圓周角定理，解答此題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．7．如圖，點A，D，B，C是圓O上的四個點，連接，相交于點E，若，，則的度數(shù)為（）A．95° B．90° C．85° D．80°【答案】C【分析】首先連接BC，根據(jù)∠BOD和∠BCD是同弧所對的圓心角和圓周角，得出∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)∠AOC和∠ABC是同弧所對的圓心角和圓周角，得出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角，得出∠AEC=∠EBC+∠ECB,即可求出∠AEC的度數(shù)．【詳解】連接BC，∵和是所對的圓心角和圓周角，,又和是所對的圓心角和圓周角，,又∵∠AEC是△BEC的外角，∴,故選：C．【點睛】考查了同弧所對的圓周角是圓心角的一半，三角形的外角，解題關鍵是連接輔助線，構造同弧所對的圓周角和圓心角．8．如圖，中所對的圓周，點P在劣弧上，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)角的和差即可得出答案．【詳解】解：中所對的圓周，點P在劣弧上，，故選C．【點睛】考查了圓周角定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．9．如圖，內接于，CD是的直徑，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由CD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出∠CAD=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠ACD與∠D互余，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得∠ACD的度數(shù)．【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°，∴∠ACD+∠D=90°．∵∠ADC=∠ABC=20°，∴∠ACD=90°-∠ADC=70°．故選：D．【點睛】考查了三角形的外接圓與外角，圓周角定理，直角三角形的性質，難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．10．如圖，內接于，其外角的平分線交于點D，點A為弧CD的中點．若，則的大小為（）

A．84° B．85° C．86° D．88°【答案】A【分析】連接AO并延長與交于點F，連接FC，F(xiàn)D，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余與外角平分線得出度數(shù)，進一步計算可得的度數(shù)．【詳解】解：連接AO并延長與交于點F，連接FC，F(xiàn)D，∵AF是直徑，∴，∵點A為弧CD的中點，，∴，∴，∴，∵AD平分，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】考查圓周角定律，三角形內角和，作出合理輔助線是解題關鍵．11．如圖，，是上直徑兩側的兩點．設，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，從而求出∠BAC，再利用同弧所對的圓周角相等即可求出∠BDC．【詳解】解：∵C，D是⊙O上直徑AB兩側的兩點，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故選：D．【點睛】考查了圓周角定理的推論，即直徑所對的圓周角是90°和同弧或等弧所對的圓周角相等，解決本題的關鍵是牢記相關概念與推論，本題蘊含了屬性結合的思想方法．12．如圖，是的直徑，點在上．．則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用等腰三角形的性質得到∠A＝∠OCA＝40°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BOC的度數(shù)．【詳解】解：∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°．故選：A．【點睛】考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．二、填空題13．如圖，已知正方形的邊長為6，點F是正方形內一點，連接，且，點E是邊上一動點，連接，則長度的最小值為___________．【答案】-3【分析】根據(jù)正方形的性質得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，點F在以DC為直徑的半圓上移動，，如圖，設CD的中點為O，作正方形ABCD關于直線AD對稱的正方形APGD，則點B的對應點是P，連接PO交AD于E，交半圓O于F，則線段FP的長即為BE＋FE的長度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∵，∴∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠DFC＝90°，∴點F在以DC為直徑的半圓上移動，如圖，設CD的中點為O，作正方形ABCD關于直線AD對稱的正方形APGD，則點B的對應點是P，連接PO交AD于E，交半圓O于F，則線段FP的長即為BE＋FE的長度最小值，OF＝3，∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OP＝，∴FP＝-3，∴BE＋FE的長度最小值為-3，故答案為：-3．

【點睛】考查了軸對稱?最短路線問題，正方形的性質，勾股定理以及圓的基本性質．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．14．如圖，劣弧與的度數(shù)之差為20°，弦AB與CD交于點E，∠CEB=60°，求∠CAB的度數(shù)________.【答案】35°【分析】根據(jù)圓周角定理，可得：∠A-∠C=10°；根據(jù)三角形外角的性質，可得∠CEB=∠A+∠C=60°；聯(lián)立兩式可求得∠A的度數(shù)．【詳解】解：由題意，弧BC與弧AD的度數(shù)之差為20°，∴兩弧所對圓心角相差20°，∴2∠A-2∠C=20°，∴∠A-∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故答案為：35°．【點睛】考查圓周角定理，三角形外角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考常考題型．15．如圖，點，，在上，，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】根據(jù)點A、B、C在圓上，利用等腰三角形性質，可得∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角等于圓心角的一半解答即可．【詳解】解：連結OA，點在上，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，∵，∴，．故答案為：．【點睛】考查的圓的半徑相等，等腰三角形性質，圓周角定理，熟記定理內容是解題的關鍵．16．如圖，在中，，則的度數(shù)是______°．【答案】80【分析】首先連接OC，由OA＝OC＝OB，可得∠ACO＝∠CAO＝15°，∠BCO＝∠CBO＝55°，繼而求得∠ACB的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得∠AOB的度數(shù)．【詳解】解：連接OC，∵OA＝OC＝OB，∴∠ACO＝∠CAO＝15°，∠BCO＝∠CBO＝55°，∴∠ACB＝∠BCO?∠ACO＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．故答案是：80．

【點睛】考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．三、解答題17．請閱讀下列材料，并完成相應的任務．克羅狄斯·托勒密（約90年－168年），古希臘天文學家、地理學家和光學家．在數(shù)學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內容如下：圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形內接于，則有______．任務：（1）材料中劃橫線部分應填寫的內容為_______．（2）已知，如圖2，四邊形內接于，平分，，求證：．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；

（2）連接AC，通過證明△ACD是等邊三角形，可得AC=AD=CD，由AC?BD=AB?CD+BC?AD，可求解．【詳解】解：（1）由托勒密定理可得：故答案為：（2）如圖，連接∵，∴∵平分∴∴∴是等邊三角形∴，∵四邊形是圓內接四邊形∴∴．【點睛】考查了圓的內接四邊形的性質，圓的有關知識，閱讀理解題意是本題的關鍵．18．如圖，等邊三角形內接于，是上一動點，連接，，，延長到點，使，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）填空：①若，，則的長為____________；②當?shù)亩葦?shù)為_________時，四邊形為菱形．【答案】（1）證明見解析；（2）①3；②30°．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根據(jù)圓周角定理可得∠CBD=∠CAD，∠ABC=∠ADC，根據(jù)角的和差關系及外角性質可得∠ABD=∠ACE，利用SAS可證明△ABD≌△ACE，可得AD=AE，即可得△ADE是等邊三角形；（2）①根據(jù)線段的和差關系可得DE的長，由（1）可知△ADE是等邊三角形，可得AD=DE，即可得答案；②如圖，連接OB、OC，根據(jù)圓周角定理可知∠BOC=2∠BAC=120°，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠OCB=30°，根據(jù)菱形的性質可得∠BCD=30°，根據(jù)圓周角定理可得∠BAD=∠BCD=30°，可得答案．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠CBD與∠CAD是所對的圓周角，∴∠CBD=∠CAD，同理可得：∠ABC=∠ADC=60°，∵∠ACE=∠CAD+∠ADC，∴∠ACE=∠ABC+∠CBD=∠ABD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴△ADE是等邊三角形．（2）①∵BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，∴DE=3，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=3．故答案為：3②如圖，連接OB、OC，∵∠BAC和∠BOC分別是所對的圓周角和圓心角，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∵四邊形為菱形，∴∠BCD=∠OCB=30°，∵∠BAD和∠BCD都是所對的圓周角，∴∠BAD=∠BCD=30°，∴當?shù)亩葦?shù)為30°時，四邊形為菱形．故答案為：30°【點睛】考查全等三角形的判定與性質、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質及菱形的性質，熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵．19．小亮在學習中遇到如下一個問題：如圖1，點是半圓上一動點，線段AB=6，CD平分，過點作交于點，連接．當為等腰三角形時，求線段的長度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是他嘗試結合學習函數(shù)的經驗研究此問題．將線段的長度作為自變量，，和的長度都是的函數(shù)，分別記為，和．請將下面的探究過程補充完整：（1）根據(jù)點在半圓上的不同位置，畫出相應的圖形，測量線段，，的長度，得到下表的幾組對應值：01.02.03.04.04.55.05.5665.95.75.24.5a3.32.4065.04.23.744.55.36.38.5①上表中的值是______②操作中發(fā)現(xiàn)，“無需測量線段的長度即可得到關于的函數(shù)解析式”．請直接寫出關于的函數(shù)解析式．（2）小亮已在平面直角坐標系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖2所示．①請在同一個坐標系中畫出函數(shù)和的圖象；②結合圖象直接寫出當為等腰三角形時，線段長度的近似值（結果保留一位小數(shù)）．【答案】（1）①4.0；②；（2）①見解析；②2.7或4.2【分析】