/第08講線段、角的軸對稱性——角平分線模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．經歷探索角的軸對稱性的過程，進一步體驗軸對稱的特性，發展空間觀念；2．探索并證明角平分線的性質。如圖，OC是∠AOB的角平分線，如果把∠1沿OC翻折，因為∠1=∠2，所以射線OA與射線OB重合。因此，角是圖形，是它的對稱軸.2.如圖，在∠AOB的角平分線OC任意取一點P，PD⊥OA，PE⊥OB，證：PD=PE。證：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO與▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離． 幾何語言：∵點P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如圖，若點Q在∠AOB內部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，點Q在∠AOB的角平分線上嗎？為什么？點Q在∠AOB的角平分線上；連接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴點Q在∠AOB的角平分線上因此，角平分線的判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的上。幾何語言：∵點Q在∠AOB的內部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴點Q在∠AOB的平分線上已知∠AOB（如圖），求作：用尺規作圖作出∠AOB的平分線OM．（1）以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D．（2）分別以點C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點M（3）作射線OM。5.在直線AB外任取一點C，用該方法作出線段∠A、∠B的角平分線，你會發現什么？三角形三個頂角的角平分線交于一點.這一點到三角形三條邊的距離相等6.設三角形角平分線的交點到三邊的距離為h，三角形的周長為C，面積為S，三者之間的關系是？考點一：角平分線的性質定理例1．如圖，在中，．用尺規作圖法作出射線，交于點，則點到的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-1】如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線，交于點E．已知，，的面積為（

）A．6 B．11 C．14 D．28【變式1-2】如圖，在中，于E，于F，為的平分線，的面積是，，．

【變式1-3】如圖，在中，，分別平分和，連接．若，求的度數．考點二：角平分線的判定定理例2．如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點P，則平分的依據是（

）A．在角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．角平分線的性質D．角是軸對稱圖形【變式2-1】如圖，點在內部的一條射線上，于點，且．已知點到射線的最小距離為4，且，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式2-2】在中，，點D在上，于點E，且，連接．若，則的度數為．【變式2-3】如圖，于于F，若，(1)求證：平分；(2)已知，求的長．考點三：角平分線性質的實際應用例3.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．的三條中線的交點 B．三邊的中垂線的交點C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【變式3-1】如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現計劃建一個加油站，要求它到三條公距離相等，則可供選擇的地址有（

）

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【變式3-2】如圖，一個加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，若加油站到公路的距離是，則它到公路的距離是．

【變式3-3】三條公路兩兩相交于A，B，C三點，現計劃修一座油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有幾處？請在圖中畫出來，保留作圖痕跡，不寫畫法．考點四：作角平分線例4．如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點C為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N；②分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P；③畫射線，交于點D．若，，則的長為（

）A． B．4 C．2 D．3【變式4-1】如圖，在中，．以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交，于點，．再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點．畫射線與交于點，點是上一點，連接．根據以上作圖，下列結論正確的是(

)

A． B．C． D．【變式4-2】如圖，在四邊形中，，，．按下列步驟作圖：①以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交，于，兩點；②分別以點，為圓心以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；③連接并延長交于點．則的長是．【變式4-3】如圖，在中，，．請用尺規作圖法在上找一點，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

考點五：角平分線與垂直平分線結合例5．如圖，，根據尺規作圖的痕跡推斷，下列結論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式5-1】在中，，，，用尺規作圖的方法作線段和線段，保留作圖痕跡如圖所示，認真觀察作圖痕跡，則的周長是（

）

A．3 B． C． D．6【變式5-2】如圖，在中，的平分線與的垂直平分線交于點P，連接．若，則的度數為．【變式5-3】如圖，是等邊三角形外的一點，，，點，分別在，上．(1)求證：是的垂直平分線．(2)若平分，寫出，，三者之間的數量關系，并證明你的結論．1．如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知點在的平分線上，于點，于點，若，則長（

）A．4 B．6 C．8 D．103．如圖，在中，，，分別平分，，，于點，若的周長為，的面積為，則的長為（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，作，垂足為，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖，已知，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點，點在射線上，過點作，，垂足分別為點，，點，分別在，邊上，．若，則的值為（

）A．12 B．8 C． D．106．如圖，在中，，點D為中點，過點D作的垂線，交于點E，連接，作的平分線，與的延長線交于點F，則的度數為（

）A． B． C． D．7．如圖，已知平分平分，且．則下列結論：①平分，②，③，④點是線段上任意一點，則．正確的有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，為的外角平分線上一點并且在的垂直平分線上，過作于，交的延長線于，則下列結論：；；；．其中正確的結論是（

）A．個 B．個 C．個 D．個9．如圖，在中，平分交于點D，于點E，于點F，且，，則的面積是．10．如圖，平分，，如果，那么點到的距離等于11．如圖，在中，是邊上的高線，的平分線交于E，當，的面積為12時，的長為．12．如圖，在中，，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫兩條弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點D，若，，則的面積是．13．如圖，在中，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；作射線交于點，若，，的面積為14，則的面積為．14．如圖，在中，邊的垂直平分線與的外角平分線交于點P，過點P作于點D，于點E．若，．則的長度是．15．如圖，是的角平分線，點B在射線上，是線段的中垂線交于E，．若，，則．16．如圖，在中，D為中點，，，于點F，，，則的長為．

17．如圖，道路和的交叉區域（的內部）為一個公園．C，D分別是兩處游樂場地，若設置一個游樂場售票點P，使點P到兩條道路的距離相等，且到兩游樂場的距離也相等，這個售票點的位置應建在何處？請作出這個點．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．如圖，平分，，，A，B為垂足，交于點N．求證：．19．如圖，在中，，是上一點，于點，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數．20．如圖，在四邊形中，，點為邊上一點，連接．請用尺規作圖法，在上找一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

21．數學活動：探究利用角的對稱性構造全等三角形解決問題，利用角平分線構造“全等模型”解決問題，事半功倍.【問題提出】（1）尺規作圖：如圖①，用直尺和圓規作已知角的平分線的示意圖，說明的依據是，這兩個三角形全等的判定條件是______．【問題探究】（2）①巧翻折，造全等如圖②，在中，是的角平分線，請說明．小明在上截取．連接DE，則．請繼續完成小明的解答；②構距離，造全等如圖③，在四邊形ABCD中，，，和的平分線，交于點．過點作于點．若，求點到的距離；【問題解決】（3）如圖④，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點．請判斷與之間的數量關系，并說明理由．22．如圖，和的平分線交于點，過作交的延長線于點，交于點．(1)求證：；(2)連接，求證：．

第08講線段、角的軸對稱性——角平分線模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．經歷探索角的軸對稱性的過程，進一步體驗軸對稱的特性，發展空間觀念；2．探索并證明角平分線的性質。如圖，OC是∠AOB的角平分線，如果把∠1沿OC翻折，因為∠1=∠2，所以射線OA與射線OB重合。因此，角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.2.如圖，在∠AOB的角平分線OC任意取一點P，PD⊥OA，PE⊥OB，證：PD=PE。證：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO與▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等． 幾何語言：∵點P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如圖，若點Q在∠AOB內部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，點Q在∠AOB的角平分線上嗎？為什么？點Q在∠AOB的角平分線上；連接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴點Q在∠AOB的角平分線上因此，角平分線的判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。幾何語言：∵點Q在∠AOB的內部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴點Q在∠AOB的平分線上已知∠AOB（如圖），求作：用尺規作圖作出∠AOB的平分線OM．（1）以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D．（2）分別以點C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點M（3）作射線OM。5.在直線AB外任取一點C，用該方法作出線段∠A、∠B的角平分線，你會發現什么？三角形三個頂角的角平分線交于一點.這一點到三角形三條邊的距離相等6.設三角形角平分線的交點到三邊的距離為h，三角形的周長為C，面積為S，三者之間的關系是？考點一：角平分線的性質定理例1．如圖，在中，．用尺規作圖法作出射線，交于點，則點到的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是讀懂圖形信息，靈活運用所學知識解決問題．如圖，過點作于點．利用角平分線的性質定理判斷出即可．【詳解】解：如圖，過點作于點．由作圖可知平分，，，，點到的距離為3．故選：B．【變式1-1】如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線，交于點E．已知，，的面積為（

）A．6 B．11 C．14 D．28【答案】C【分析】此題考查了角平分線的性質定理，根據角平分線的性質得到點E到和的距離相等，點E到的距離等于的長度，利用三角形面積公式即可得到答案．【詳解】解：由基本作圖得到平分，∴點E到和的距離相等，∴點E到的距離等于的長度，即點E到的距離為4，∴．故選：C．【變式1-2】如圖，在中，于E，于F，為的平分線，的面積是，，．

【答案】2【分析】本題考查了角平分線的性質，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等，可得，根據的面積是，列式得，再進行計算，即可作答．【詳解】解：∵中，于E，于F，為的平分線∴∵的面積是，∴則∴解得故答案為：2【變式1-3】如圖，在中，，分別平分和，連接．若，求的度數．【答案】43°【分析】本題考查角平分線的判定和性質，過點O作，、，則根據角平分線的性質得到，，則，即可得到平分，進而解題即可【詳解】解：如圖，過點O作，、，垂足分別為D，E，F，∵和的平分線交于點O，，，，∴，，∴，∴平分．∵∠，∴．考點二：角平分線的判定定理例2．如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點P，則平分的依據是（

）A．在角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．角平分線的性質D．角是軸對稱圖形【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．根據角平分線的判定定理進行解答即可．【詳解】解：∵兩把相同的直尺寬度相同，∴點到射線的距離相等，∵在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，∴點在的平分線上，∴平分，故A正確．故選：A．【變式2-1】如圖，點在內部的一條射線上，于點，且．已知點到射線的最小距離為4，且，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的判定與性質，由題意得出點到兩邊的距離相等，從而得出射線是的角平分線，即，求出，即可得出答案，熟練掌握角平分線的判定與性質是解此題的關鍵．【詳解】解：于點，且，到射線的最小距離為4，點到兩邊的距離相等，射線是的角平分線，，，，，故選：C．【變式2-2】在中，，點D在上，于點E，且，連接．若，則的度數為．【答案】【分析】本題考查三角形內角和定理及角平分線的判定定理，熟練應用角平分線的判定定理是解題關鍵，先證，再求出即可求出結論．【詳解】解：，，且，，，，，故答案為：35．【變式2-3】如圖，于于F，若，(1)求證：平分；(2)已知，求的長．【答案】(1)見詳解(2)12【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．（1）求出，根據全等三角形的判定定理得出，推出，根據角平分線性質得出即可；（2）根據全等三角形的性質得出，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．考點三：角平分線性質的實際應用例3.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．的三條中線的交點 B．三邊的中垂線的交點C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】C【分析】本題考查角平分線的判定，由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，可知涼亭選在三條角平分線的交點．【詳解】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭應在三條角平分線的交點．故選：C【變式3-1】如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現計劃建一個加油站，要求它到三條公距離相等，則可供選擇的地址有（

）

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質并是解題的關鍵．由三角形內角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內角平分線的交點滿足條件;然后利用角平分線的性質，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可供選擇的地址有4個．【詳解】解：作直線所圍成的三角形的外角平分線和內角平分線，外角平分線相交于點，內角平分線相交于點，根據角平分線的性質可得到這4個點到三條公路的距離分別相等．

故選：D．【變式3-2】如圖，一個加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，若加油站到公路的距離是，則它到公路的距離是．

【答案】【分析】根據角平分線的性質解答即可．【詳解】解：∵加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，且加油站到公路的距離是，∴加油站到公路和公路的距離是相等的，即它到公路的距離是．故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的性質的應用，能夠熟練運用角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解題的關鍵．【變式3-3】三條公路兩兩相交于A，B，C三點，現計劃修一座油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有幾處？請在圖中畫出來，保留作圖痕跡，不寫畫法．【答案】4處，圖見解析【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖，角平分線的性質等知識，利用角平分線的性質作出圖形即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點有4個，圖中即為所求．考點四：作角平分線例4．如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點C為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N；②分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P；③畫射線，交于點D．若，，則的長為（

）A． B．4 C．2 D．3【答案】D【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理計算出，再利用基本作圖得平分，所以，然后證明和即可．本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了等腰三角形的性質．【詳解】解：，，由作法得平分，，，，，，，．故選：D．【變式4-1】如圖，在中，．以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交，于點，．再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點．畫射線與交于點，點是上一點，連接．根據以上作圖，下列結論正確的是(

)

A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查作角平分線；由作圖可知，是的角平分線，故，即可得到答案．【詳解】解：由作圖可知，是的角平分線，，故B正確，符合題意；而選項A，C，D都不一定正確，不符合題意；故選：B．【變式4-2】如圖，在四邊形中，，，．按下列步驟作圖：①以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交，于，兩點；②分別以點，為圓心以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；③連接并延長交于點．則的長是．【答案】【分析】本題考查角平分線的作圖，平行線的性質，等腰三角形的判定，先根據作圖過程判斷平分，根據平行線的性質和角平分線的定義可得，進而可得，由此可解．【詳解】解：由作圖過程可知平分，，，，，，，故答案為：．【變式4-3】如圖，在中，，．請用尺規作圖法在上找一點，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】作圖見解析．【分析】本題考查了尺規作圖——作角平分線，直角三角形的性質和所對直角邊是斜邊的一半，根據角平分線的作法即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】如圖，∵，，∴，

以為圓心，任意長度為半徑畫弧，交于點；分別以為圓心，大于長度為半徑畫弧，兩弧交于點；連接，交于點，∴，∴，∴點即為所求．考點五：角平分線與垂直平分線結合例5．如圖，，根據尺規作圖的痕跡推斷，下列結論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是尺規作角平分線和垂直平分線，熟知角平分線的作法和垂直平分線性質是解答此題的關鍵．根據題意得到是的角平分線，垂直平分，進而求解即可．【詳解】解：由作圖知，是的角平分線，∴，故A不符合題意；由作圖知垂直平分，∴，，故B，D不符合題意；無法證明，故C符合題意，故選：C．【變式5-1】在中，，，，用尺規作圖的方法作線段和線段，保留作圖痕跡如圖所示，認真觀察作圖痕跡，則的周長是（

）

A．3 B． C． D．6【答案】D【分析】本題考查了角平分線性質，三角形全等的判定與性質以及尺規作圖，掌握以上知識點是解題的關鍵．觀察作圖痕跡，知道是的角平分線，，根據角平分線的性質結合，證明，推出，，那么，從而推出的周長．【詳解】由作圖痕跡，知道是的角平分線，且是的角平分線，，在和中，，，，的周長為6故選D．【變式5-2】如圖，在中，的平分線與的垂直平分線交于點P，連接．若，則的度數為．【答案】12【分析】本題考查垂直平分線的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理．根據垂直平分線得到，從而得到，由角平分線得到，得到，根據三角形內角和定理，結合，得到，再根據角的和差求解即可得到答案．【詳解】解：∵的平分線與的垂直平分線交于點P，，，，，，∴，∴，故答案為：12．【變式5-3】如圖，是等邊三角形外的一點，，，點，分別在，上．(1)求證：是的垂直平分線．(2)若平分，寫出，，三者之間的數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先由等邊三角形的性質得出，結合，即可得出是的垂直平分線進行作答．（2）先由等邊三角形的性質得出，結合角平分線的性質，得出，證明，再證明，結合邊的等量代換以及邊的運算，即可作答．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，在的垂直平分線上，，∴在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線．（2）證明：過作，如圖：是等邊三角形，，，．．，．，平分，，，．，，．．又，，1．如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了作角平分線，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵．【詳解】解：根據作圖可得，，故A，B正確；∵是角平分線，∴，故D選項正確，而不一定成立，故C選項錯誤，故選：C．2．如圖，已知點在的平分線上，于點，于點，若，則長（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此題考查了角平分線性質性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，利用角平分線性質定理即可得出．【詳解】解：平分，于點，于點，故選：C．3．如圖，在中，，，分別平分，，，于點，若的周長為，的面積為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質，過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據角平分線的性質可得，然后根據三角形的面積公式進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，如圖所示：

∵平分，，，∴，∵平分，，，∴，設，∵的周長為，∴的面積的面積的面積的面積，∵的面積為，∴，解得：，即，故選：C．4．如圖，在中，，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，作，垂足為，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的尺規作圖，角平分線的定義，性質和判定，全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是掌握基本作圖；根據角平分線的作圖可判斷D，根據角平分線的性質可判斷B，證明，可判斷A，由題目條件無法證明出，可判斷C；【詳解】根據作圖可知平分，，故D選項不符合題意；，，平分，，故B選項不符合題意；，，，故A選項不符合題意；由題目條件無法證明出，故C選項符合題意，故選：C；5．如圖，已知，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點，點在射線上，過點作，，垂足分別為點，，點，分別在，邊上，．若，則的值為（

）A．12 B．8 C． D．10【答案】D【分析】本題主要考查了尺規作圖—作角平分線、角平分線的性質定理、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．根據題意可知平分，由角平分線的性質定理可得，進而證明，由全等三角形的性質可得，再證明，可得，然后由求解即可．【詳解】解：根據題意，可知平分，∵，，∴，∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．6．如圖，在中，，點D為中點，過點D作的垂線，交于點E，連接，作的平分線，與的延長線交于點F，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本考查中垂線的性質，與角平分線有關的三角形的內角和問題，根據題意，易得垂直平分，進而推出，角平分線，得到，三角形的內角和得到，進而得到，三角形內角和求出的度數即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵點D為中點，過點D作的垂線，交于點E，∴垂直平分，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即：，∴；故選B．7．如圖，已知平分平分，且．則下列結論：①平分，②，③，④點是線段上任意一點，則．正確的有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查平行線的判定與性質，角平分線的判定與性質．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正確；進而得，②正確；由得，③正確；點是線段上任意一點，由與不平行，與不平行，得，故，④不正確，所以有3個正確．【詳解】解：平分平分平分,故①正確；,故②正確；，故③正確；如圖，點是線段上任意一點與不平行，與不平行，故④不正確，所以，正確的個數有3個．故選：C．8．如圖，為的外角平分線上一點并且在的垂直平分線上，過作于，交的延長線于，則下列結論：；；；．其中正確的結論是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，然后求出；根據全等三角形對應角相等可得，利用三角形內角和定理可得；利用三角形的外角性質得到．【分析】解：∵平分，，，∴，∵在的垂直平分線上，∴，在和中，，∴，故正確；∴，在和中，，∴，∴，∴，故正確；∵，∴，∵，∴，，∴，故正確；在中，，故錯誤；綜上，正確，共個．故選：．【點睛】此題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并準確識圖判斷出全等的三角形是解題的關鍵．9．如圖，在中，平分交于點D，于點E，于點F，且，，則的面積是．【答案】14【分析】此題主要考查了角平分線的性質和應用，解答此題的關鍵是要明確：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．根據角平分線的性質定理可得；最后根據三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵平分，于點E，于點F，∴，∴；故答案為：14．10．如圖，平分，，如果，那么點到的距離等于【答案】6【分析】本題考查角平分線的性質，關鍵是由角平分線的性質推出．過作于，由角平分線的性質推出，即可得到點到的距離等于6．【詳解】解：過作于，平分，，，點到的距離等于6．故答案為：6．11．如圖，在中，是邊上的高線，的平分線交于E，當，的面積為12時，的長為．【答案】4【分析】本題考查了角平分線的性質，過點E作于點F，根據角平分線的性質可得出，由三角形面積可得出，即可求出的長．【詳解】解：過點E作于點F，如圖所示．∵平分，且，∴．∵，即，∴，∴．故答案為：4．12．如圖，在中，，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫兩條弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點D，若，，則的面積是．【答案】40【分析】本題主要考查了角平分線的性質和角平分線的尺規作圖，由作圖方法可得平分，則由角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得，據此利用三角形面積計算公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點D作于H，由作圖方法可知，平分，∵，，∴，∴，故答案為：40．13．如圖，在中，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；作射線交于點，若，，的面積為14，則的面積為．【答案】20【分析】本題主要考查了尺規作圖-作角平分線、角平分線的性質定理、三角形面積公式等知識，熟練掌握角平分線的作法和性質是解題關鍵．過點作于點，點作于點，由作圖可知，平分，由角平分線的性質定理可得，利用三角形面積公式可解得，易得，然后計算的面積即可．【詳解】解：如下圖，過點作于點，點作于點，由作圖可知，平分，∴，∵，的面積為14，即，解得，∴，∴的面積．故答案為：20．14．如圖，在中，邊的垂直平分線與的外角平分線交于點P，過點P作于點D，于點E．若，．則的長度是．【答案】2【分析】本題考查了角平分線的性質，垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到兩邊距離相等，垂直平分線上的點到兩端距離相等．連接，通過證明，得出，在證明，得出，即可解答．【詳解】解：連接，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，整理得：，∴，故答案為：2．15．如圖，是的角平分線，點B在射線上，是線段的中垂線交于E，．若，，則．【答案】【分析】連接，過E作于R，交于Q，交于O，根據角平分線性質和線段垂直平分線的性質得出，，根據全等求出，求出，求出，求出的度數，再求出，求出，根據三角形的外角性質求出，再求出答案即可．【詳解】解：連接，過E作于R，交C于Q，交于O，∵是線段的中垂線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵平分，，，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵，注意：①線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，②角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．16．如圖，在中，D為中點，，，于點F，，，則的長為．

【答案】【分析】連接，過點E作，交的延長線于N，由，可得；由D為中點，，則可得；證明，再證明即可求得結果．【詳解】解：連接，過點E作，交的延長線于N，如圖，∵，，∴；∵D為中點，，∴；∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴，即，∴．∴

故答案為：．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，掌握這兩個性質是關鍵．17．如圖，道路和的交叉區域（的內部）為一個公園．C，D分別是兩處游樂場地，若設置一個游樂場售票點P，使點P到兩條道路的距離相等，且到兩游樂場的距離也相等，這個售票點的位置應建在何處？請作出這個點．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查了作圖的應用與設計，掌握角平分線的性質和線段的垂直平分線的是解題的關鍵．作的平分線和線段的垂直平分線的交點即為所求．【詳解】解：如圖，作的平分線和線段的垂直平分