課時分層作業(三十一)(本試卷共82分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區域的雷雨云層，從A點起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成12°角的方向飛行，飛行到中途C點．再沿與原來的飛行方向AB成18°角的方向繼續飛行到終點B點，這樣飛機的飛行路程比原來的路程500km大約多飛了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A．10km B．20kmC．30km D．40kmB[在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，由正弦定理得eq\f(500,sin150°)＝eq\f(BC,sin12°)＝eq\f(AC,sin18°)，所以eq\f(500,\f(1,2))≈eq\f(BC,0.21)≈eq\f(AC,0.31)，所以AC＝310km，BC＝210km，所以AC＋BC－AB＝20(km)．]2．如圖，航空測量的飛機航線和山頂在同一鉛垂平面內，已知飛機飛行的海拔為10000m，速度為50m/s.某一時刻飛機看山頂的俯角為15°，經過420s后看山頂的俯角為45°，則山頂的海拔大約為(eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650mB[如圖，設飛機的初始位置為點A，經過420s后的位置為點B，山頂為點C，作CD⊥AB于點D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，則BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))，因為CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)≈7350，所以山頂的海拔大約為10000－7350＝2650(m)．故選B.]3．(2025·德州模擬)火箭造橋技術是我國首創在陡峭山區建橋的一種方法．由兩枚火箭牽引兩條足夠長的繩索精準的射入對岸的指定位置，是建造高空懸索橋的關鍵．位于湖北省的四渡河大橋就是首次用這種技術建造的懸索橋．工程師們需要測算火箭攜帶的引導索的長度(引導索比較重，過長會影響火箭發射)，如圖，已知工程師們在建橋處C看對岸目標點D的正下方地面上一高為h的標志物AB，從點C處看點A和點B的俯角分別為α，β，則一枚火箭應至少攜帶引導索CD的長度為()A．eq\f(hsinαcosβ,sinα－β) B．eq\f(hcosαcosβ,sinβ)C．eq\f(hcosαcosβ,sinα－β) D．eq\f(hcosαsinβ,cosβ)C[在Rt△BCD中，BC＝eq\f(CD,cos∠BCD)＝eq\f(CD,cosβ)，在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，A＝eq\f(π,2)－α，由正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(h,sinα－β)＝eq\f(\f(CD,cosβ),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(CD,cosαcosβ)，所以CD＝eq\f(hcosαcosβ,sinα－β).故選C．]4．奏唱一遍中華人民共和國國歌需要46s．某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(2)m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在同一個水平面上．要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部，則升旗手升旗的速度應為()A．eq\f(3\r(3),23)m/s B．eq\f(5\r(3),23)m/sC．eq\f(7\r(3),23)m/s D．eq\f(8\r(3),23)m/sB[如圖所示，依題意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.在△AEC中，由正弦定理知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，所以AC＝eq\f(10\r(2),sin30°)×sin45°＝20(m)，所以在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(m)．因為國歌時長為46s，所以升旗手升旗的速度應為eq\f(10\r(3),46)＝eq\f(5\r(3),23)(m/s)．故選B.]二、多項選擇題5．如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內的點C與點D(點B，C，D不在同一直線上)，測得CD＝s.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據下列各組中的測量數據可計算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADCACD[解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.對于A,在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解這個三角形得到BC，再利用∠ACB，BC解Rt△ABC得到AB的值；對于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，無法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，無法解出此三角形，也無法通過其他三角形求出它的其他幾何元素，所以它不能計算出塔AB的高度；對于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值；對于D，如圖，過點B作BE⊥CD，連接AE，由于cos∠ACB＝eq\f(CB,AC)，cos∠BCD＝eq\f(CE,BC)，cos∠ACE＝eq\f(CE,AC)，所以cos∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值．故選ACD.]6．如圖，甲船從A1出發以25nmile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船出發時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時兩船相距5eq\r(2)nmile.當甲船航行12min到達A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時兩船相距5nmile，下面說法正確的是()A．乙船的行駛速度與甲船相同B．乙船的行駛速度是15eq\r(2)nmile/hC．甲、乙兩船相遇時，甲行駛了eq\f(1＋\r(2),3)hD．甲、乙兩船不可能相遇AD[如圖，連接A1B2，依題意，A1A2＝25×eq\f(12,60)＝5(nmile)，而B2A2＝5nmile，∠A1A2B2＝60°，則△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5nmile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝5eq\r(2)nmile，由余弦定理得B1B2＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1B\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2cos45°)＝eq\r(5\r(2)2＋52－2×5\r(2)×5×\f(\r(2),2))＝5(nmile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行駛速度是eq\f(5,\f(12,60))＝25(nmile/h)，A正確，B不正確；延長B1B2與A1A2延長線交于O，顯然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10(nmile)，OB2＝5eq\r(3)(nmile)，OB1＝5(eq\r(3)＋1)(nmile)，所以甲船從出發到點O用時t1＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5)(h)，乙船從出發到點O用時t2＝eq\f(5\r(3)＋1,25)＝eq\f(\r(3)＋1,5)(h)，t1＜t2，即甲船先到達點O，所以甲、乙兩船不可能相遇，C不正確，D正確．故選AD.]三、填空題7.(2025·菏澤模擬)某校學生參加課外實踐活動“測量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測得∠PAC＝15°，沿土坡向坡頂前進25m后到達D處，測得∠PDC＝45°.已知旗桿CP＝10m，PB⊥AB，土坡對于地平面的坡角為θ，則cosθ＝________.eq\f(5\r(3)－5,4)[在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，由正弦定理得PD＝eq\f(AD,sin∠APD)·sin15°＝eq\f(25,2cos15°)＝eq\f(50,\r(6)＋\r(2))，在△PDC中，PC＝10，故sin∠PCD＝eq\f(sin45°,PC)·PD＝eq\f(5\r(3)－5,4).因為cosθ＝sin∠PCD，所以cosθ＝eq\f(5\r(3)－5,4).]8．山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標(如圖1)，其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數學符號“∞”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發展、無限可能和無限的科技創新．如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600m到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°(A，B，C，D在同一鉛垂面內)，則A，B兩點之間的距離為________m.100eq\r(15)[由題意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝eq\f(1,2)CD＝300，BC＝eq\f(\r(3),2)CD＝300eq\r(3)，又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(CD,sin60°)，所以AC＝eq\f(600,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝200eq\r(6)，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(200eq\r(6))2＋(300eq\r(3))2－2×200eq\r(6)×300eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＝150000，所以AB＝100eq\r(15).]9．故宮是世界上現存規模最大、保存最為完整的木質結構古建筑群之一．故宮宮殿房檐設計恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰．已知北京地區夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°.圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度(單位：米)約為________.(6eq\r(3)－6)米[如圖，根據題意得∠ACB＝15°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，CD＝24米，所以∠CAD＝45°，所以在△ACD中，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠CAD)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，即eq\f(24,sin45°)＝eq\f(AC,sin30°)，解得AC＝12eq\r(2).所以在Rt△ACB中，sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)，即sin15°＝eq\f(AB,12\r(2))，解得AB＝12eq\r(2)sin15°＝12eq\r(2)sin(60°－45°)＝12eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\f(\r(2),2)－\f(1,2)×\f(\r(2),2)))＝12eq\r(2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝6eq\r(3)－6.]10．如圖，某湖有一半徑為1km的半圓形岸邊，現決定在圓心O處設立一個水文監測中心(大小忽略不計)，在其正東方向相距2km的點A處安裝一套監測設備．為了使監測數據更加準確，在半圓弧上的點B以及湖中的點C處，再分別安裝一套監測設備，且∠BAC＝90°，AB＝AC．定義：四邊形OACB及其內部區域為“直接監測覆蓋區域”，設∠AOB＝θ，則“直接監測覆蓋區域”面積的最大值為________km2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)＋\f(5,2)))[在△OAB中，因為∠AOB＝θ，OB＝1，OA＝2，所以AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cosθ，AB＝eq\r(5－4cosθ)，所以S四邊形OACB＝S△OAB＋S△ABC＝eq\f(1,2)·OA·OB·sinθ＋eq\f(1,2)·AB2，所以S四邊形OACB＝sinθ－2cosθ＋eq\f(5,2)，則S四邊形OACB＝eq\r(5)sin(θ－φ)＋eq\f(5,2)(其中tanφ＝2)，當sin(θ－φ)＝1時，S四邊形OACB取最大值eq\r(5)＋eq\f(5,2)，所以“直接監測覆蓋區域”面積的最大值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)＋\f(5,2)))km2.]四、解答題11．(15分)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北45°的方向上，仰角為30°，行駛4km后到達B處，測得此山頂在西偏北60°的方向上．(1)求此山的高度；(2)設汽車行駛過程中仰望山頂D的最大仰角為θ，求tanθ.解：(1)設此山高hkm，則AC＝eq\f(h,tan30°)，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4.根據正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(h,sin120°·tan30°)＝eq\f(4,sin15°)，解得h＝2(eq\r(6)＋eq\r(2))km.(2)由題意可知，當點C到公路的距離最小時，仰望山頂D的仰角達到最大，如圖，過點C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE.則∠DEC＝θ，CE＝AC·sin45°，DC＝AC·tan30°，所以tanθ＝eq\f(DC,CE)＝eq\f(\r(6),3).12．(15分)(2025·泰安模擬)如圖，五邊形ABCDE是規劃修建的公路自行車比賽賽道平面示意圖，運動員在公路自行車比賽中如出現故障，可以從本隊的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車輪或賽車等，也可在固定修車點上進行，還需要運送一些補給物品，例如食物、飲料、工具和配件，所以項目設計需要預留出BD，BE為賽道內的兩條服務通道(不考慮寬度)，ED，DC，CB，BA，AE為賽道，∠BCD＝∠BAE＝eq\f(2π,3)，∠CBD＝eq\f(π,4)，CD＝2eq\r(6)km，DE＝8km.(1)從以下兩個條件中任選一個條件，求服務通道BE的長度：①∠CDE＝eq\f(7π,12)；②cos∠DBE＝eq\f