2025年初中學業水平考試

數學試題

本試卷共8頁．滿分120分．考試時長120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置．

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，用0.5毫米黑色簽字筆將

答案寫在答題卡上．答案寫在本試卷上無效．

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個選項符合題目要求．

1.如圖，數軸上表示2的點是（）

A.MB.NC.PD.Q

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了數軸，弄清數軸上表示數的位置是解題的關鍵．

觀察數軸得到表示2的點即可．

【詳解】解：如圖，在數軸上的點M、N、P、Q中，表示2的點是M．

故選：A．

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉180，如果旋轉后的圖形能

夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．

根據中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐項判斷即可．

【詳解】解：A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；

B．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；

C．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；

D．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意．

故選：B．

3.我國“深藍2號”大型智能深海養殖網箱的主體是一個正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，掌握主視圖是從正面看到的圖形成為解題的關鍵．

根據主視圖是從正面看到的圖形即可解答．

【詳解】解：根據三視圖的概念，可知該正六棱柱的主視圖為

．

故選：C．

4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據統計，山東省

2024年全年接待游客超9億人次．數據“9億”用科學記數法表示為（）

A.9107B.0.9108C.9108D.0.9109

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數，正

確確定a、n的值是解題的關鍵．

將“9億”寫成a10n其中1|a|10，n為整數的形式即可．

【詳解】解：“9億”9000000009108．

故選C．

5.已知a0，則下列運算正確的是（）

2

A.2a3a5aB.2a34a6

C.a2aaD.a6a2a3

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了合并同類項、冪的乘方、同底數冪除法等知識點，掌握相關運算法則成為解題的

關鍵．

根據合并同類項、冪的乘方、同底數冪除法法則逐項判斷即可解答．

【詳解】解：A．2a3aa，故該選項錯誤，不符合題意；

2

B．2a34a6，故該選項正確，符合題意；

C．a2與a不是同類項，無法合并為a，故該選項錯誤，不符合題意；

D．a6a2a4，故該選項錯誤，不符合題意．

故選：B．

6.某班學生到山東省博物館參加研學活動．博物館為同學們準備了以鎮館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶

杯”“頌簋”為主題的三款文創產品，每位同學可從中隨機抽取一個作為紀念品．若抽到每一款的可能性

相等，則甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的概率是（）

1112

A.B.C.D.

9633

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了運用列表法求概率，根據題意正確列表確定所有等可能結果數和符合題意的結果

數是解題的關鍵．

先用列表法確定所有等可能結果數和符合題意的結果數，然后用概率公式計算即可．

【詳解】解：設三款鎮館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”分別用A、B、C表示：

根據題意列表如下：

ABC

AA，AA，BA，C

BB，AB，BB，C

CC，AC，BC，C

則共有9種等可能結果，其中甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的結果數為1，則甲、乙兩位同學同時抽

1

到“亞醜鉞”的概率是．

9

故選A．

7.明代數學家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒

若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰，共有36個頭，108只手．問哪吒、夜叉各有多少？設哪吒

有x個，夜叉有y個，則根據條件所列方程組為（）

x3y36x3y36

A.B.

8x6y1086x8y108

3xy363xy36

C.D.

8x6y1086x8y108

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程組的應用，審清題意、找準等量關系、列出方程是解題的關鍵．

設哪吒有x個，夜叉有y個，然后根據等量關系“共有36個頭”和“108只手”列出二元一次方程組即可

解答．

【詳解】解：設哪吒有x個，夜叉有y個，

3xy36

然后根據題意可得：．

6x8y108

故選D．

8.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經常被視為君子修身齊家的象征．下圖是某玉璧的

平面示意圖，由一個正方形的內切圓和外接圓組成．已知內切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）

A.πB.2πC.3πD.4π

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的內切圓、外切圓、勾股定理等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關

鍵．

如圖：連接AB、DC相交于O，由正方形的內切圓的半徑是2，ACBC4，OAOB，再運用勾股

1

定理可得AB22，則OAOBAB2，最后根據圓的面積公式求解即可．

2

【詳解】解：如圖：連接AB、DC相交于O，

∵正方形的內切圓的半徑是2，

∴ACBC4，OAOB，

1

∴ABAC2BC2424222，OAOBAB2，

2

2

∴圖中陰影部分的面積是22224．

故選D．

9.如圖，在平面直角坐標系中，A，C兩點在坐標軸上，四邊形OABC是面積為4的正方形．若函數

k

yx0的圖象經過點B，則滿足y2的x的取值范圍為（）

x

A.0x2B.x2C.0x4D.x4

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的性質、坐標與圖形、反比例函數與不等式等知識點，掌握數形結合思想

是解題的關鍵．

由題意可設點B的坐標為b,b，易得b2，即點B的坐標為2,2，再結合反比例函數圖象即可解答．

【詳解】解：∵四邊形OABC是面積為4的正方形，設點B的坐標為b,b，

∴b24，解得：b2（已舍棄負值）．

∴點B的坐標為2,2，

k

∵函數yx0的圖象經過點B，

x

∴滿足y2的x的取值范圍為0x2．

故選A．

10.在水分、養料等條件一定的情況下，某植物的生長速度y（厘米/天）和光照強度x（勒克斯）之間存在

一定關系．在低光照強度范圍（200x1000）內，y與x近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍

x1000內，y與x近似成二次函數關系．其部分圖象如圖所示．根據圖象，下列結論正確的是（）

A.當x1000時，y隨x的增大而減小B.當x2000時，y有最大值

C.當y0.6時，x1000D.當y0.4時，x600

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質、二次函數與不等式等知識點，掌握數形結合思想是解題的

關鍵．

根據拋物線可直接判斷A選項；根據拋物線以及相關數據可得拋物線的對稱軸為x2000，進而判定B選

項；根據函數圖象可判定C選項；根據二次函數的對稱性可判定D選項．

【詳解】解：A．當x1000時，y隨x的增大先增大、后減小，即A選項錯誤，不符合題意；

10003000

B．由函數圖象可知：拋物線的對稱軸為x2000，即當x2000時，y有最大值，則B

2

選項正確，符合題意；

C．由函數圖象可知：當y0.6時，x3000，即C選項錯誤，不符合題意；

D．當y0.4時，由圖象知，x對應的值有兩個，即D選項錯誤，不符合題意．

故選B．

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．

1

11.寫出使分式有意義的x的一個值______．

2x3

【答案】1（不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關鍵．

先根據分式有意義的確定x的取值范圍，然后確定x的可能取的值即可．

1

【詳解】解：∵分式有意義，

2x3

3

∴2x30，解得：x．

2

∴x的取值可以為x1．

故答案為：1（不唯一）．

12.在平面直角坐標系中，將點P3,4向下平移2個單位長度，得到的對應點P的坐標是______．

【答案】3,2

【解析】

【分析】本題主要考查了點的平移，掌握平移規律“左減右加，上加下減”是解題的關鍵．

直接運用平移規律“上加下減”即可解答．

【詳解】解：將點P3,4向下平移2個單位長度，得到的對應點P的坐標是3,42，即3,2，

故答案為：3,2．

13.若關于x的一元二次方程x24xm0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是______．

【答案】m4

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，注意記憶判別式大于0時有兩個不相等的實數根，判別

式等于0時有兩個相等的實數根，判別式小于0時方程無實數根．根據有兩個不相等的實數根，直接得到

判別式0，即可求解本題．

【詳解】解：∵方程x24xm0有兩個不相等的實數根，

∴4241m0，

解得：m4；

故答案為：m4．

1

14.取直線yx上一點Ax,y，①過點A作x軸的垂線，交y于點Ax,y；②過點A2作y軸

111x222

的垂線，交yx于點A3x3,y3；如此循環進行下去．按照上面的操作，若點A1的坐標為1,1，則點

A2025的坐標是______．

【答案】1,1

【解析】

【分析】本題考查了一次函數和反比例函數規律探究；根據題意可以寫出點A2、A3、A4、A5的坐標，從

而可以發現各點的變化規律，從而可以寫出點A2025的坐標．

【詳解】解：∵點A1的坐標為1,1，

∴點A2的橫坐標為1，

∴點A2的坐標為1,1，

∴點A3的縱坐標為1，

∴點A3的坐標為1,1，

同理點A4的橫坐標為1，

∴點A4的坐標為1,1，

點A5的坐標為1,1，

∴四個點一個循環，

∵20254506余1，

∴點A2025的坐標與點A1相同，是1,1，

故答案為：1,1．

【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、規律型，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用

一次函數的性質和數形結合的思想解答．

15.如圖，在Rt△ABC中，ABC90，AB6，BC8．點P為邊AC上異于A的一點，以PA，PB

為鄰邊作PAQB，則線段PQ的最小值是______．

24

【答案】

5

【解析】

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、垂線段最短等知識點，掌握平行四邊形對角線相互平分是解

題的關鍵．

由勾股定理可得AC10，設AB與PQ交于點O，過O作OP1AC于點P1，由四邊形作PAQB是平行

11

四邊形得OAOBAB3、OPOQPQ，根據垂線段最短可得當OPAC時，即P與P重

2211

合時，OP1最??；再運用三角函數求得OP1，進而求得PQ即可解答．

【詳解】解：∵在Rt△ABC中，ABC90，AB6，BC8，

∴ACAB2BC2628210，

如圖，設AB與PQ交于點O，過O作OP1AC于點P1，

∴AP1O90，

∵四邊形PAQB是平行四邊形，

11

∴OAOBAB3、OPOQPQ

22

∴當線段PQ長最小，則線段OP的長最小，

由垂線段最短可得：OP1AC時，即P與P1重合時，OP1最小；

OPBC

∵sinBAP1，

AOAC

OP812

∴1，解得：OP．

31015

24

∴線段PQ長最小為2OP．

15

24

故答案為：．

5

三、解答題：本題共8小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

10

16.（1）計算：9π；

3

21

（2）先化簡，再求值：x11，其中x2．

x1

【答案】（1）2；（2）x2x2，4

【解析】

【分析】本題考查了實數的混合運算，分式化簡求值．

（1）根據零指數，算術平方根的性質，進行計算即可求解；

（2）先根據分式的加減計算括號內的，然后進行乘法進行化簡，最后將字母的值代入求解．

10

【詳解】解：（1）9π

3

1

31

3

11

2；

21

（2）x11

x1

1x1

x1x1

x1x1

x2

x1x1

x1

x2x1

x2x2；

當x2時，原式22224．

17.在Rt△ABC中，ABC90，ACB30，BAC的平分線AD交BC于點D．如圖1．

（1）求ADC的度數；

1

（2）已知AB3，分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線

2

MN交BC于點E，交AD的延長線于點F．如圖2，求DF的長．

【答案】（1）ADC120；

（2）DF23．

【解析】

【分析】本題考查了三角形的外角性質，垂直平分線的作法和性質，解直角三角形，全等三角形的判定和

性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．

1

（1）由角平分線的定義求得DABBAC30，再利用三角形的外角性質求解即可；

2

1AB

（2）由作圖知MN是線段CD的垂直平分線，求得DECECD，求得AD23，

2cos30

11

BDADCDDE，再證明△ADB≌△FDE，據此求解即可．

22

【小問1詳解】

解：∵ABC90，ACB30，

∴BAC60，

∵AD是BAC的平分線，

1

∴DACDABBAC30，

2

∴ADCDABABC120；

【小問2詳解】

解：由作圖知MN是線段CD的垂直平分線，

1

∴DECECD，

2

∵DACC30，

∴ADCD，

∵ABC90，DAB30，

AB11

∴AD23，BDADCDDE，

cos3022

∵ADBFDE，ABDFED90，

∴△ADB≌△FDE，

∴DFAD23．

18.山東省在能源綠色低碳轉型過程中，探索出一條“以儲調綠”的能源轉型路徑．某地結合實際情況，建

立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發電實現低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉型．

已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時水位高度每小時上升6米．

（1）請寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度y（米）與注水時間x（小時）之間的關系式；

（2）已知蓄水池的底面積為0.4萬平方米，每立方米的水可供發電0.3千瓦時，求注水多長時間可供發電4.2

萬千瓦時？

【答案】（1）y6x5

（2）注水5小時可供發電4.2萬千瓦時．

【解析】

【分析】本題考查一次函數的應用、一元一次方程的應用等知識點，正確列出函數解析式和方程是解題的

關鍵．

（1）根據蓄水池的水位高度等于注水時水位每小時升高的高度乘以注水時間與本次注水前蓄水池的水位高

度的和，據此列出函數關系式即可；

（2）根據y與x的函數關系式以及已知條件列關于x的一元一次方程并求解即可．

【小問1詳解】

解：由題意可得：蓄水池的水位高度y（米）與注水時間x（小時）之間的關系式y6x5．

【小問2詳解】

解：根據題意，得0.46x50.34.2，

解得x5．

答：注水5小時可供發電4.2萬千瓦時．

19.在2025年全國科技活動周期間，某?？萍夹〗M對甲、乙兩個水產養殖基地水體的pH值進行了檢測，

并對一天（24小時）內每小時的pH值進行了整理、描述及分析．

【收集數據】

甲基地水體的pH值數據：

7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，

8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．

乙基地水體的pH值數據：

7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，

8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．

【整理數據】

7.00x7.307.30x7.607.60x7.907.90x8.208.20x8.50

甲25773

乙429a2

【描述數據】

【分析數據】

平均數眾數中位數方差

甲7.79b7.810.10

乙7.787.77c0.13

根據以上信息解決下列問題：

（1）補全頻數分布直方圖；

（2）填空：b______，c______；

（3）請判斷甲、乙哪個基地水體的pH值更穩定，并說明理由；

（4）已知兩基地對水體pH值的日變化量（pH值最大值與最小值的差）要求為0.5~1，分別判斷并說明該

日兩基地的pH值是否符合要求．

【答案】（1）見解析（2）7.67；7.79

（3）甲基地水體的pH值更穩定，理由見詳解；

（4）甲符合要求，乙不符合要求．

【解析】

【分析】本題考查了直方圖與統計表，中位數及眾數，方差等知識點．

（1）先求得a的值，即可補全頻數分布直方圖；

（2）根據中位數及眾數的定義求解即可；

（3）根據方差的意義求解即可；

（4）計算pH值最大值與最小值的差即可求解．

【小問1詳解】

解：根據題意得a2442927，

補全頻數分布直方圖如圖；

；

【小問2詳解】

解：甲基地水體的pH值數據中，7.67出現了4次，出現次數最多，

則b7.67；

乙基地水體的pH值數據中，由小到大排列中間兩個數為7.77和7.81：

7.777.81

則c7.79；

2

故答案為：7.67；7.79；

【小問3詳解】

解：∵甲的方差為0.10，乙的方差為0.13，0.100.13，

∴甲基地水體的pH值更穩定；

【小問4詳解】

解：甲基地對水體pH值的日變化量：8.267.270.99，

乙基地對水體pH值的日變化量：8.217.111.1，

∴該日兩基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求．

20.如圖，在△OAB中，點A在O上，邊OB交O于點C，ADOB于點D．AC是BAD的平

分線．

（1）求證：AB為O的切線；

（2）若O的半徑為2，AOB45，求CB的長．

【答案】（1）見解析（2）CB222．

【解析】

【分析】本題考查了切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等．

（1）利用等邊對等角求得OACOCA，由角平分線的定義求得DACBAC，可證明ABOA，

即可證明AB為O的切線；

（2）先證明△OAB等腰三角形，求得OB2OA22，據此求解即可．

【小問1詳解】

證明：∵ADOB，

∴DACACD90，

∵OAOC，

∴OACOCA，

∵AC是BAD的平分線，

∴DACBAC，

∴BACOACDACOCA90，

即ABOA且OA為半徑，

∴AB為O的切線；

【小問2詳解】

解：∵AOB45，又ABOA，

∴△OAB等腰直角三角形，

∵O的半徑為2，

∴OA2OC，

∴OB2OA22，

∴CBOBOC222．

21.【問題情境】

2025年5月29日“天問二號”成功發射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓

舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用3D打印完成，如圖1．

【問題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設計一個可以得到l的長度的方案，以檢測該部

件中l的長度是否符合要求．

【方案設計】

興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法．

測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．

操作步驟：如圖3，將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，O分

別與AC，AD相切于點B，D．用游標卡尺測量出CC的長度y．

【問題解決】

已知CADCAD60，l的長度要求是1.9cm2.1cm．

（1）求BAO的度數；

（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現測得y7.52cm．根據以上信息，通過計算說明該部件l的長度是

否符合要求．（參考數據：31.73）

【結果反思】

（3）本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，

寫出一個；如果不能，說明理由．

【答案】（1）OAB30；（2）該部件l的長度符合要求；（3）見解析

【解析】

【分析】本題考查了切線長定理，解直角三角形的應用．

（1）根據切線長定理求解即可；

OB

（2）解直角三角形求得AB3，推出ACBCAB13，據此求解即可；

tan30

（3）能，將圓柱換成正方體．

【詳解】解：（1）∵O分別與AC，AD相切于點B，D，

1

∴ABAD，OABOADCAD30；

2

（2）∵鋼柱的底面圓半徑為1cm，

∴BCOB1，

∵OAB30，OBA90，

OB

∴AB3，

tan30

∴ACBCAB13，

同理AC13，

∴l7.522132.06，

∵1.92.062.1，

∴該部件l的長度符合要求；

（3）能，將圓柱換成正方體．如圖，

設正方體的棱長為a，用游標卡尺測量出CF的長度y．

∴BCBDa，

∵CAD60，

BD3a

∴AB，

tan603

3a

∴ACa，

3

233a

∴3a．

ly2ay

33

22.已知二次函數yxxaxaxbxxb，其中a，b為兩個不相等的實數．

（1）當a0、b3時，求此函數圖象的對稱軸；

（2）當b2a時，若該函數在0x1時，y隨x的增大而減??；在3x4時，y隨x的增大而增大，

求a的取值范圍；

ab

（3）若點Aa,y1，B,y2，Cb,y3均在該函數的圖象上，是否存在常數m，使得

2

y1my2y30？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由

【答案】（1）x1

（2）1a3

（3）m4

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數的性質、因式分解的應用等知識點，靈活運用二次函數的性質成為解題

的關鍵．

（1）將a0、b3代入yxxaxaxbxxb化簡，然后根據二次函數的性質即可解

答；

（2）b2a代入yxxaxaxbxxb化簡可得y3x26ax2a2，然后根據二次函

數的性質即可解答；

（3）先求出y1,y2,y3，然后代入y1my2y30進行求解即可．

【小問1詳解】

解：當a0、b3時，二次函數yxxaxaxbxxb可化為：

yxx0x0x3xx33x26x，

b6

∴此函數圖象的對稱軸為x1．

2a23

【小問2詳解】

解：當b2a時，二次函數yxxaxaxbxxb可化為：

yxxaxax2axx2a3x26ax2a2，

b6a

∴拋物線對稱軸為xa，

2a23

∵30，

∴拋物線開口方向向上，

∵在0x1時，y隨x的增大而減小；

∴a1，

∵在3x4時，y隨x的增大而增大；

∴a3，

∴1a3．

【小問3詳解】

ab

解：∵若點Aa,y1，B,y2，Cb,y3均在該函數的圖象上，

2

2

∴y1aaaaaabaabaab，

yxxaxaxbxxb3x22abxab，

2

∴abab

y232abab

22

2

ab2

3abab

4

2

ab

ab

4

1ab1

a2b2ab

424

1ab1

a2b2

424

1

a22abb2

4

12

ab；

4

2

y3bbababbbbbbab；

∵y1my2y30，

1221

∴a2abmabb2ab0，整理得：ab1m0

44

∵a，b為兩個不相等的實數，

∴ab0，

1

∴1m0，解得：m4．

4

23.【圖形感知】

如圖1，在四邊形ABCD中，已知BADABCBDC90，AD2，AB4．

（1）求CD的長；

【探究發現】

老師指導同學們對圖1所示的紙片進行了折疊探究．

在線段CD上取一點E，連接BE．將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形ABED，其中A，D￠分別是

A，D的對應點．

（2）其中甲、乙兩位同學的折疊情況如下：

①甲：點D￠恰好落在邊BC上，延長AD交CD于點F，如圖2．判斷四邊形DBAF的形狀，并說明理

由；

②乙：點A恰好落在邊BC上，如圖3．求DE的長；

（3）如圖4，連接DD交BE于點