重慶市涪陵中學2025屆數學高二第二學期期末學業質量監測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把邊長為的正沿邊上的高線折成的二面角,則點到的距離是()A． B． C． D．2．有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則（）A． B． C． D．3．設函數的定義域A，函數的值域為B，則（）A． B． C． D．4．設集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數為（）A．60 B．65 C．80 D．815．某電子元件生產廠家新引進一條產品質量檢測線，現對檢測線進行上線的檢測試驗：從裝有個正品和個次品的同批次電子元件的盒子中隨機抽取出個，再將電子元件放回.重復次這樣的試驗，那么“取出的個電子元件中有個正品，個次品”的結果恰好發生次的概率是（）A． B． C． D．6．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．47．已知集合，，則A． B． C． D．8．已知，直線過點，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．19．在等差數列中，，，則公差（）A．-1 B．0 C．1 D．210．在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的參數方程為（為參數），曲線的方程為，直線與曲線相交于兩點，當的面積最大時，()A． B． C． D．11．若函數恰有個零點，則的取值范圍為（）A． B．C． D．12．公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創立了“割圓術”．劉徽應用“割圓術”得到了圓周率精確到小數點后四位的近似值，這就是著名的“徽率”．如圖是應用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出的值為（）（參考數據：，）A．12 B．24 C．36 D．48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側面積是底面積的_________倍；14．已知變量滿足約束條件,則目標函數的最小值為__________．15．雙曲線的焦點是，若雙曲線上存在點，使是有一個內角為的等腰三角形，則的離心率是______；16．若,則在的展開式中,項的系數為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若對任意實數都有函數的圖象與直線相切，則稱函數為“恒切函數”，設函數，其中.（1）討論函數的單調性；（2）已知函數為“恒切函數”，①求實數的取值范圍；②當取最大值時，若函數也為“恒切函數”，求證：.18．（12分）某學校高二年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽，計分規則如下表：每分鐘跳繩個數得分1617181920年級組為了解學生的體質，隨機抽取了100名學生的跳繩個數作為一個樣本，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.（1）現從樣本的100名學生跳繩個數中，任意抽取2人的跳繩個數，求兩人得分之和小于35分的概率；（用最簡分數表示）（2）若該校高二年級共有2000名學生，所有學生的一分鐘跳繩個數近似服從正態分布，其中，為樣本平均數的估計值（同一組中數據以這組數據所在區間中點值作代表）.利用所得的正態分布模型，解決以下問題：（i）估計每分鐘跳繩164個以上的人數（結果四舍五入到整數）；（ii）若在全年級所有學生中隨機抽取3人，每分鐘跳繩在179個以上的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望與方差.附：若隨機變量服從正態分布，則，，.19．（12分）已知函數，.（1）當時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求實數的取值范圍.20．（12分）已知.（1）當時，求的展開式中含項的系數；（2）證明：的展開式中含項的系數為.21．（12分）在進行一項擲骰子放球游戲中，規定：若擲出1點，甲盒中放一球；若擲出2點或3點，乙盒中放一球；若擲出4點或5點或6點，丙盒中放一球，前后共擲3次，設分別表示甲，乙，丙3個盒中的球數．(Ⅰ)求的概率；(Ⅱ)記求隨機變量的概率分布列和數學期望．22．（10分）設事件A表示“關于的一元二次方程有實根”，其中，為實常數.（Ⅰ）若為區間[0，5]上的整數值隨機數，為區間[0，2]上的整數值隨機數，求事件A發生的概率；（Ⅱ）若為區間[0，5]上的均勻隨機數，為區間[0，2]上的均勻隨機數，求事件A發生的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

取中點，連接，根據垂直關系可知且平面，通過三線合一和線面垂直的性質可得，，從而根據線面垂直的判定定理知平面，根據線面垂直性質知，即為所求距離；在中利用勾股定理求得結果.【詳解】取中點，連接，如下圖所示：為邊上的高，即為二面角的平面角，即且平面為正三角形為正三角形又為中點平面，平面又平面即為點到的距離又，本題正確選項：本題考查立體幾何中點到直線距離的求解，關鍵是能夠通過垂直關系在立體圖形中找到所求距離，涉及到線面垂直的判定定理和性質定理的應用，屬于中檔題.2、D【解析】

首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據離散型隨機變量的概率即可算出．【詳解】因為是有放回地取產品，所以每次取產品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數，則,,選擇D答案．本題考查離散型隨機變量的概率,解題時要注意二項分布公式的靈活運用.屬于基礎題．3、B【解析】

根據二次根式的性質求出，再結合指數函數的性質求出，取交集即可．【詳解】，，解得：，而單調遞增，故值域：，，故選：．本題考查定義域值域的求法，考查交集等基本知識，是基礎題4、D【解析】由題意可得，成立，需要分五種情況討論：當時，只有一種情況，即；當時，即，有種；當時，即，有種；當時，即，有種當時，即，有種，綜合以上五種情況，則總共為：種，故選D.【點睛】本題主要考查了創新型問題，往往涉及方程，不等式，函數等，對涉及的不同內容，先要弄清題意，看是先分類還是先步，再處理每一類或每一步，本題抓住只能取相應的幾個整數值的特點進行分類，對于涉及多個變量的排列，組合問題，要注意分類列舉方法的運用，且要注意變量取值的檢驗，切勿漏掉特殊情況.5、B【解析】

取出的個電子元件中有個正品，個次品的概率，重復次這樣的試驗，利用次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率計算公式能求出“取出的個電子元件中有個正品，個次品”的結果恰好發生次的概率【詳解】從裝有個正品和個次品的同批次電子元件的盒子中隨機抽取出個，再將電子元件放回，取出的個電子元件中有個正品，個次品的概率，重復次這樣的試驗，那么“取出的個電子元件中有個正品，個次品”的結果恰好發生次的概率是：.故選：B本題考查了次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率計算公式，屬于基礎題.6、C【解析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【詳解】所以本題考查正余弦定理的簡單應用，屬于基礎題．7、C【解析】

利用一元二次不等式的解法化簡集合，再根據集合的基本運算進行求解即可．【詳解】因為，，所以，故選C．研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系.8、A【解析】

先得a+3b=1，再與相乘后，用基本不等式即可得出結果.【詳解】依題意得，，所以，當且僅當時取等號；故選A本題考查了基本不等式及其應用，熟記基本不等式即可，屬于基礎題．9、C【解析】

全部用表示，聯立方程組，解出【詳解】本題考查等差數列的基本量計算，屬于基礎題。10、D【解析】

先將直線直線與曲線轉化為普通方程，結合圖形分析可得，要使的面積最大，即要為直角，從而求解出。【詳解】解：因為曲線的方程為，兩邊同時乘以，可得，所以曲線的普通方程為，曲線是以為圓心，2為半徑的上半個圓.因為直線的參數方程為（為參數），所以直線的普通方程為，因為，所以當為直角時的面積最大，此時到直線的距離，因為直線與軸交于，所以，于是，所以，故選D。本題考查了曲線的參數方程、極坐標方程與普通方程之間的互化，同時考查了直線與圓的位置關系，數形結合是本題的核心思想。11、D【解析】

將問題轉化為與恰有個交點；利用導數和二次函數性質可得到的圖象，通過數形結合可確定或時滿足題意，進而求得結果.【詳解】令，則恰有個零點等價于與恰有個交點當時，，則當時，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增當時，在上單調遞減，在上單調遞增可得圖象如下圖所示：若與有兩個交點，則或又，即當時，恰有個零點本題正確選項：本題考查根據函數零點個數求解參數范圍的問題，關鍵是能夠將問題轉化為平行于軸的直線與曲線的交點個數的問題，利用數形結合的方式找到臨界狀態，從而得到滿足題意的范圍.12、B【解析】試題分析：模擬執行程序，可得，不滿足條件；不滿足條件；滿足條件，推出循環，輸出的值為，故選B.考點：程序框圖.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1；【解析】

分別計算側面積和底面積后再比較．【詳解】由題意，，，∴．故答案為1．本題考查圓錐的側面積，掌握側面積計算公式是解題關鍵．屬于基礎題．14、4【解析】分析：作出不等式組對應的平面區域，利用的幾何意義和數形結合即可得到答案詳解：作出不等式組對應的平面區域如圖：由可得：平移直線，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，此時最小，解得，即此時故目標函數的最小值為點睛：本題主要考查的知識點是線性規劃的應用，畫出可行域，轉化目標函數，將其轉化為幾何意義，在軸的截距問題即可解答。15、【解析】

根據雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應該為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據等腰三角形的內角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【詳解】解：根據雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，且點在第一象限，故，等腰有一內角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.本題考查了雙曲線的定義、性質等知識，解題的關鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.16、【解析】分析：由定積分求得，寫出二項展開式的通項為，進而可求解的系數.詳解：由，所以二項式為，則二項式的展開式的通項為，當時，，即的系數為.點睛：本題主要考查了定積分的計算和二項式定理的應用，其中熟記微積分基本定理和二項展開式的通項的合理運用是解答的關鍵，著重考查了推理和運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）①設切點為，求出，設，根據函數的單調性求出故實數的取值范圍為；②當取最大值時，，，，，，因為函數也為“恒切函數”，故存在，使得，，由得，，設，，根據函數的單調性證明即可.詳解：（1）.當時，恒成立，函數在上單調遞減；當時，得，由得，由得，得函數在上單調遞減，在上遞增.（2）①若函數為“恒切函數”，則函數的圖象與直線相切，設切點為，則且，即，.因為函數為“恒切函數”，所以存在，使得，，即，得，，設.則，，得，得，故在上單調遞增，在上單調遞減，從而故實數的取值范圍為.②當取最大值時，，，，，，因為函數也為“恒切函數”，故存在，使得，，由得，，設，則，得，得，故在上單調遞減，在上單調遞增，1.在單調遞增區間上，，故，由，得；2.在單調遞增區間上，，，又的圖象在上不間斷，故在區間上存在唯一的，使得，故.此時由，得，函數在上遞增，，，故.綜上所述，.點睛：本題是以導數的運用為背景的函數綜合題，主要考查了函數思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數的幾何意義；第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的單調區間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式甚至數列及函數單調性有機結合，設計綜合題.18、（1）；（2）（i）1683；（ii）.【解析】

（1）根據頻率分布直方圖得到16分，17分，18分的人數，再根據古典概率的計算公式求解．（2）根據離散型隨機變量的分布列和數學期望與方差的公式進行求解．【詳解】（1）設“兩人得分之和小于35分”為事件，則事件包括以下四種情況：①兩人得分均為16分；②兩人中一人16分，一人17分；③兩人中一人16分，一人18分；④兩人均17分.由頻率分布直方圖可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，則由古典概型的概率計算公式可得.所以兩人得分之和小于35的概率為.（2）由頻率分布直方圖可得樣本數據的平均數的估計值為：（個）.又由，得標準差，所以高二年級全體學生的跳繩個數近似服從正態分布.（i）因為，所以，故高二年級一分鐘跳繩個數超過164個的人數估計為（人）.（ii）由正態分布可得，全年級任取一人，其每分鐘跳繩個數在179以上的概率為，所以，的所有可能的取值為0，1，2，3.所以，，，，故的分布列為：0123所以，.本題考查了頻率分布直方圖的應用問題、正態分布的應用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與期望的計算問題．19、(1).(2).【解析】

(1)利用分類討論法解絕對值不等式；（2）等價轉化為對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立，再解不等式得解.【詳解】（1）當時，.①當時，原不等式可化為，化簡得，解得，∴；②當時，原不等式可化為，化簡得，解得，∴；③當時，原不等式可化為，化簡得，解得，∴；綜上所述，不等式的解集是；（2）由題意知，對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立，∵當時，，∴對任意的，恒成立，∵，，∴，∴，即實數的取值范圍為.本題主要考查分類討論法解絕對值不等式，考查絕對值三角不等式的應用和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）84；（2）證明見解析【解析】

（1）當時，根據二項展開式分別求出每個二項式中的項的系數相加即可；（2）根據二項展開式，含項的系數為，又，再結合即可得到結論．【詳解】（1）當時，，的展開式中含項的系數為．（2），，故的展開式中含項的系數為因為，所以項的系數為：.本題考查二項式定理、二項展開式中項的系數的求法、組合數的計算，考查函數與方程思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．21、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

求得球放入甲,乙,丙盒的概率.（I）根據相互獨立事件概率計算公式，計算出所求的概率.（II）先求得可能的取值是0，1，2，1，然后根據相互獨立事件概率計算公式，計算出分