PAGEPAGE1第42講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課時(shí)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．若α，β表示兩個(gè)不同的平面，直線m?α，則“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B解析由面面垂直判定定理得m⊥β，m?α?α⊥β，而α⊥β時(shí)，α內(nèi)隨意直線不行能都垂直于β，因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．故選B.2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不肯定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥βD解析如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有D項(xiàng)不肯定成立．故選D.3．(2024·忻州二中月考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面．下列命題中正確的有()①若m?β，α⊥β，則m⊥α；②若α∥β，m?α，則m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β.A．①③ B．①②C．③④ D．②③D解析由面面垂直的性質(zhì)定理知若m?β，α⊥β，且m垂直于α，β的交線時(shí)，m⊥α，故①錯(cuò)誤；若α∥β，則α，β無(wú)交點(diǎn)，又m?α，所以m∥β，故②正確；若n⊥α，n⊥β，則α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故③正確；若α⊥γ，β⊥γ，不能得出α⊥β，故④錯(cuò)誤．4．如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影HA．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部A解析因?yàn)锳C⊥AB，AC⊥BC1，所以AC⊥平面ABC1.又因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在底面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD解析在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.6．(2024·寶雞質(zhì)檢)對(duì)于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.其中為真命題的是()A．①② B．②③C．②④ D．①④D解析①如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD；④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.二、填空題7．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．解析因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，所以幾何體中的直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC和△PBC，共4個(gè)．答案48．(2024·合肥三中月考)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β，γ表示三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；②若a?α，a垂直于β內(nèi)的隨意一條直線，則α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；④若a不垂直于平面α，則a不行能垂直于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線；⑤若a⊥α，a⊥β，則α∥β.其中正確命題的序號(hào)是________．解析①一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直，這兩個(gè)平面不肯定垂直，故①錯(cuò)誤；②滿意兩個(gè)平面垂直的定義，故②正確；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a與b平行或相交(相交時(shí)可能垂直)，故③錯(cuò)誤；④若a不垂直于平面α，但a可能垂直于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線，故④錯(cuò)誤；⑤垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行，故⑤正確．答案②⑤9．如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，當(dāng)D1M⊥平面A1C1D解析因?yàn)镈A＝DC＝AA1＝DD1，且DA，DC，DD1兩兩垂直，故當(dāng)點(diǎn)M使四邊形ADCM為正方形時(shí)，D1M⊥平面A1C1D，所以DM＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)三、解答題10．如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，A1(1)求證：DD1⊥平面ABCD；(2)求證：平面A1BE⊥平面ADD1A1證明(1)因?yàn)閭?cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因?yàn)锳D∩CD＝D，所以DD1⊥平面(2)因?yàn)椤鰽BD是正三角形，且E為AD中點(diǎn)，所以BE⊥AD，因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，而BE?平面ABCD，所以BE⊥DD1.因?yàn)锳D∩DD1＝D，所以BE⊥平面ADD1A1，又因?yàn)锽E?平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面ADD1A11．(2024·渭南檢測(cè))如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．(1)證明：PF⊥FD；(2)若PA＝1，求點(diǎn)E到平面PFD的距離．解析(1)證明：連接AF，則AF＝eq\r(2)，又DF＝eq\r(2)，AD＝2，所以DF2＋AF2＝AD2，所以DF⊥AF.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以DF⊥PA，又PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF，又PF?平面PAF，所以DF⊥PF.(2)連接EP，ED，EF.因?yàn)镾△EFD＝S矩形ABCD－S△BEF－S△ADE－S△CDF＝2－eq\f(5,4)＝eq\f(3,4)，所以V三棱錐P－EFD＝eq\f(1,3)S△EFD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×1＝eq\f(1,4).設(shè)點(diǎn)E到平面PFD的距離為h，則由V三棱錐E－PFD＝V三棱錐P－EFD得eq\f(1,3)S△PFD·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(6),2)·h＝eq\f(1,4)，解得h＝eq\f(\r(6),4)，即點(diǎn)E到平面PFD的距離為eq\f(\r(6),4).12．(2024·浙江卷)如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求證：BF⊥平面ACFD；(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值．解析(1)證明：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示．因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK，BF⊥AC，所以BF⊥平面ACFD.(2)因?yàn)锽F⊥平面ACK，所以∠BDF是直線BD與平面ACFD所成的角．在Rt△BFD中，BF＝eq\r(3)，DF＝eq\f(3,2)，得cos∠BDF＝eq\f(DF,BD)＝eq\f(DF,\r(BF2＋DF2))＝eq\f(\r(21),7)，所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為eq\f(\r(21),7).13．[選做題]如圖所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，下列說(shuō)法正確的是________(填上全部正確說(shuō)法的序號(hào))．①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥AB.解