PAGEPAGE5第三節簡潔的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞2024考綱考題考情1．簡潔的邏輯聯結詞(1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯結詞。(2)命題p∧q、p∨q、綈p的真假判定pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.量詞及含有一個量詞的命題的否定(1)全稱量詞和存在量詞①全稱量詞有：全部的，隨意一個，任給一個，用符號“?”表示；存在量詞有：存在一個，至少有一個，有些，用符號“?”表示。②含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。“對M中隨意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為：?x∈M，p(x)。③含有存在量詞的命題，叫做特稱命題?！按嬖贛中元素x0，使p(x0)成立”用符號簡記為：?x0∈M，p(x0)。(2)含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)1．用“并集”的概念來理解“或”，用“交集”的概念來理解“且”，用“補集”的概念來理解“非”。2．記憶口訣：(1)“p或q”，有真則真；(2)“p且q”，有假則假；(3)“非p”，真假相反。3．命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)；命題p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)。一、走進教材1．(選修1－1P26A組T3改編)命題“?x∈R，x2＋x≥0”A．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0≤0 B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0<0C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x<0解析由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確。故選B。答案B2．(選修1－1P18A組T1(3)改編)已知命題p：2是偶數，命題q：2是質數，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧qA．1B．2C．3D．4解析p和q明顯都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題。故選B。答案B二、走近高考3．(2024·山東高考)已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2。下列命題為真命題的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)解析因為x>0，所以x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以對于?x>0，ln(x＋1)>0，故p為真命題。由1>－2，12<(－2)2可知q是假命題，所以綈q為真命題。依據復合命題真值表可知p∧(綈q)為真命題。故選B。答案B4．(2024·浙江高考)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2解析由全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題得，命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*，使得n<x2答案D三、走出誤區微提示：①命題涉及的學問載體出錯；②復合命題的否定中出現邏輯錯誤；③參數的探討出錯。5．下列命題中的假命題是()A．?x0∈R，lgx0＝1 B．?x0∈R，sinx0＝0C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0解析當x＝10時，lg10＝1，則A為真命題；當x＝0時，sin0＝0，則B為真命題；當x≤0時，x3≤0，則C為假命題；由指數函數的性質知，?x∈R,2x>0，則D為真命題。故選C。答案C6．已知命題p，q，“綈p為真”是“p∧q為假”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析由綈p為真知，p為假，可得p∧q為假；反之，若p∧q為假，則可能是p真q假，從而綈p為假，故“綈p為真”是“p∧q為假”的充分不必要條件。故選A。答案A7．已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題q：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0。若命題“p∧q”是真命題，則實數a的取值范圍為________。解析由已知條件可知p和q均為真命題，由命題p為真得a≤0，由命題q為真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a答案(－∞，－2]考點一簡潔的邏輯聯結詞微點小專題方向1：真假推斷【例1】(2024·安徽省示范中學模擬)已知下列兩個命題：p1：存在正數a，使函數y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數；p2：函數y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)無零點。則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命題是()A．q1，q4B．q2，q3C．q1，q3D．q2，q解析當a＝1時，y＝2x＋a·2－x在R上是偶函數，所以p1為真命題。當x＝eq\f(5π,4)時，函數y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝0，所以命題p2是假命題。所以p1∨p2，p1∧(綈p2)是真命題。故選A。答案A“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命題真假的推斷步驟1．確定命題的構成形式。2．推斷其中命題p、q的真假。3．確定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命題的真假。方向2：求參數的取值范圍【例2】已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數m的取值范圍是()A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]解析依題意知p，q均為假命題，當p是假命題時，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q是真命題時，則有Δ＝m2－4<0，－2<m<2。因此由p，q均為假命題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2。故選A。答案A【互動探究】(1)本例條件不變，若p∧q為真，則實數m的取值范圍是________。(2)本例條件不變，若p∧q為假，p∨q為真，則實數m的取值范圍是________。解析(1)依題意，當p是真命題時，有m<0；當q是真命題時，有－2<m<2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,－2<m<2，))可得－2<m<0。(2)若p∧q為假，p∨q為真，則p、q一真一假。當p真q假時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m≥2或m≤－2，))所以m≤－2；當p假q真時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,－2<m<2，))所以0≤m<2。所以m的取值范圍是(－∞，－2]∪[0,2)。答案(1)(－2,0)(2)(－∞，－2]∪[0,2)依據命題真假求參數的步驟1．先依據題目條件，推出每一個命題的真假(有時不肯定只有一種狀況)。2．然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍。3．最終依據每個命題的真假狀況，求出參數的取值范圍?！绢}點對應練】1．(方向1)已知命題p：對隨意的x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解析由指數函數的性質知命題p為真命題。易知“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，所以命題q是假命題。由復合命題真值表可知p∧(綈q)是真命題。故選D。答案D2．(方向2)已知命題p：關于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關于x的函數y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數。若p或q是真命題，p且q是假命題，則實數a的取值范圍是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)解析命題p等價于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價于－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12。由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假。若p真q假，則a<－12；若p假q真，則－4<a<4。故實數a的取值范圍是(－∞，－12)∪(－4,4)。故選C。答案C考點二全稱量詞與存在量詞微點小專題方向1：含有一個量詞的命題的否定【例3】(1)命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>nB．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>nC．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0(2)已知命題p：?x0>1，xeq\o\al(2,0)－1>0，那么綈p是()A．?x>1，x2－1>0 B．?x>1，x2－1≤0C．?x0>1，xeq\o\al(2,0)－1≤0 D．?x0≤1，xeq\o\al(2,0)－1≤0解析(1)全稱命題的否定為特稱命題，所以命題的否定是：?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0。故選D。(2)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：?x>1，x2－1≤0。故選B。答案(1)D(2)B全稱命題與特稱命題的否定1．改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫。2．否定結論：對原命題的結論進行否定。方向2：求參數的取值范圍【例4】(1)已知函數f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，對隨意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，則實數m的取值范圍是________。(2)已知函數f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值范圍是________。解析(1)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，當x∈[1,4]時，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，則f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故實數m的取值范圍是(－∞，0)。(2)當x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)＝0，當x∈[1,2]時，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4)。答案(1)(－∞，0)(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))全稱命題可轉化為恒成立問題，特稱命題可轉化為存在性問題，含量詞的命題中參數的取值范圍，可依據命題的含義，利用函數的最值解決。【題點對應練】1．(方向1)命題p：“?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤eq\f(1,2)”的否定為()A．?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\f(1,2) B．?x?N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\f(1,2)C．?x?N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\f(1,2) D．?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\f(1,2)解析命題p的否定是把“?”改成“?”，再把“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤eq\f(1,2)”改為“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\f(1,2)”。故選D。答案D2．(方向1)命題“?x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定是________。答案?x∈R，f(x)≤1或f(x)>23．(方向2)已知函數f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數a的取值范圍是________。解析由題意知f(x)mineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))≥g(x)min(x∈[2,3])，因為f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為減函數，g(x)在[2,3]上為增函數，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1。答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協作例1運用)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x<0，,m－x2，x≥0，))給出下列兩個命題：命題p：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解；命題q：若m＝eq\f(1,9)，則f(f(－1))＝0，那么，下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解析因為3x>0，當m<0時，m－x2<0，所以命題p為假命題；當m＝eq\f(1,9)時，因為f(－1)＝3－1＝eq\f(1,3)，所以f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,9)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝0，所以命題q為真命題，逐項檢驗可知，只有(綈p)∧q為真命題。故選B。答案B2．(協作例2運用)已知命題p：?x0∈R，(m＋1)(xeq\o\al(2,0)＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立。若p∧q為假命題，則實數m的取值范圍為________。解析由命題p：?x0∈R，(m＋1)(xeq\o\al(2,0)＋1)≤0可得m≤－1；由命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2<m<2。因為p∧q為假命題，所以m≤－2或m>－1。答案(－∞，－2]∪(－1，＋∞)3．(協作例3運用)已知命題p：“?x0∈R，ex0－x0－1≤0”，則綈p為()A．?x0∈R，ex0－x0－1≥0B．?x0∈R，ex0－x0－1>0C．?x∈R，ex－x－1>0D．?x∈R，ex－x－1≥0解析依據全稱命題與特稱命題的否定關系，可得綈p為“?x∈R，ex－x－1>0”。故選C。答案C4．(協作例4運用)已知函數f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實數a的取值范圍是________。解析依題意知f(x)max≤g(x)max。因為f(x)＝x＋eq\f(4,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是減函數，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(17,2)。又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函數，所以g(x)max＝8＋a，因此eq\f(17,2)≤8＋a，則a≥eq\f(1,2)。答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))生活中的邏輯正確地運用邏輯用語是現代社會公民應具備的基本素養，無論是進行思索、溝通，還是從事各項工作，都須要正確地運用邏輯用語在表述和論證中表達自己的思維。好玩的是，日常生活中的一句話或是一件事，常蘊含著邏輯學的學問?！景咐?】“便宜無好貨，好貨不便宜”是我們所熟知的一句諺語，在期盼購得價廉物美的商品的同時，我們經常用這句話來提示自己保持足夠的警惕，不要輕易上某些不良商家的當。我們還可以運用邏輯學學問分析這句諺語里蘊含的邏輯關系。記p表示“便宜”，q表示“不是好貨”，那么按“便宜無好貨”的說法，p?q，即“便宜”(p)是“不是好貨”(q)的充分條件；其逆否命題為“綈q?綈p”，即綈q(“好貨”)是綈p(“不便宜”)的充分條件，即“好貨不便宜”。由此可以看出，“便宜無好貨”與“好貨不便宜”是一對互為逆否關系的命題。特別好玩的是，上海市高考試題曾對此作過考查：錢大姐常說“便宜無好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()A．充分條件 B．必要條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件正確選項已明顯。生活中，我們還常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“堅持就是成功”等熟語來勉勵自己和他人保持信念、堅持不懈地努力。在這些熟語里，“水滴”是“石穿”的充分條件，“有志”是“事成”的充分條件，“堅持”是“成功”的充分條件。這正是我們努力的信念之源，激勵著我們直面一切困難與挑戰，不斷取得進步。【