安徽省合肥四十八中2025年中考數學一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.-2024的相反數是（)

A.2024B.-2024c擊

2.下列計算正確的是（)

A.a3-a2=a6B.(-2a2)3=-8a6

C.(a+(>=a2+b2D.2a+4a=6a2

3.如圖幾何體的俯視圖是（）

B.

4,2023年我國經濟持續發展，國內生產總值達到126萬億元，同比增長5.2%.其中126萬億用科學記數法可

表示為（）

A.1.26x1012B.1.26x1013C.1.26x1014D.1.26x1015

5.如圖是根據某班40名同學一周的體育鍛煉情況繪制的條形統計圖，那么該班40名同學一周參加體育鍛煉

時間的眾數、中位數分別是（)

A.16,10.5B.8,9C.16,8.5D.8,8.5

6.將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果4?=46。，則心a的度數是

（）

A.54°

B.46°

C.34°

D.44°

7.下列函數中，y的值隨匯值的增大而增大的是（）

A.y=2x2+3B.y=-；C.y=x—5D.y=-2x+1

8.已知整數a,b滿足aVO,b>0,3a-b=-4,貝!ja+b的值為（）

A.-2B.-1C.0D.2

9.二次函數y=。%2+/?%+（?的圖象如圖所示，則一次函數丫=口+3。）％-2的圖象可能是（）

v

10.如圖，點。是口4BCD的對角線的交點，^ABC=120°,乙4DC的平分線DE交力B于點E,AB=2AD,連

接。E.下歹！J結論：?SBABCD=AD-BD；②DB平分NCDE；@AO=DE；④。E：BD=73：6；

⑤SMDE=5SAOFE，其中正確的個數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

11.分解因式：3/一18%+27=

12.如圖，OC經過正六邊形4BCDEF的頂點4、E,則弧4E所對的圓周角乙4PE等于

P

13.如圖，把一塊直角三角板（乙48。=30。）的直角頂點。放在坐標原點處,

頂點a在函數月=—《的圖象上，頂點B在函數%=（的圖象上，則上=

14.如圖，在中，ZC=90°,Z.B=30°,AC=2,點。是的中

點，點E是邊4B上一動點，沿DE所在直線把ABDE翻折到AB'DE的位置,

B'D交4B于點F,連接48'.

⑴力B'的最小值是；

（2）若△AB'F為直角三角形，則BE的長為

三、解答題：本題共9小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題8分）

計算：79-（2024-7T）°+<2cos45°.

16.（本小題8分）

《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，其中記載：“今有甲、乙二人，持錢各不知數.甲得乙中半,

可滿四十八.乙得甲太半，亦滿四十八，問甲、乙二人原持錢各幾何？”譯文：“甲，乙兩人各有若干

錢.如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢48文，如果乙得到甲所有錢的|,那么乙也共有錢48文，

問甲，乙二人原來各有多少錢？”

17.（本小題8分）

某校數學興趣小組一次綜合實踐活動中，利用無人機測量一個池塘的寬度.如圖，無人機在距離地面的鉛直

高度為246米的4處測得池塘左岸B處的俯角為63.4。，無人機沿水平線4C方向繼續飛行12米至C處，測得

池塘右岸D的俯角為30。.求池塘的寬度BD（結果精確至打米，參考數據：73=1.7,s出63.4。=0.89,

cos63.4°x0.45,tan63A0《2.00).

A

18.(本小題8分)

如圖，在由邊長為1個單位的小正方形組成的網格中，AABC的頂點均為格點(網格線的交點).

(1)將△ABC先向下平移2個單位，再向右平移3個單位，得到△4/16，請畫出AAiBiCi(其中a,B,C的

對應點分別為Bi，Q)；

(2)再將線段4B繞點當順時針旋轉90。得到線段4B2，請畫出線段4B2；

(3)在網格內描出兩個格點M,N,請畫出直線MN,使得直線MN垂直平分線段4B2.

19.(本小題10分)

觀察以下等式：

第1個等式：1+瀉=|+|；

第2個等式：1+)+,宅+余

4Z。

12711

1+++

-一

9-3-6-1-8

1,28,18

第4個等式:1+—=—-----,

16----4832,

按照以上規律，解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：;

(2)寫出你猜想的第九個等式：(用含n得到等式表示)，并證明.

20.(本小題10分)

如圖1,CD為。。的直徑，弦2B1CD于點G,且B為弧CF的中點，CF交AB于點“，若CG=2,CF=8.

(1)求半徑的長；

(2)如圖2,連接OH,BC,求證：OH1BC.

21.(本小題12分)

深化素質教育，促進學生全面發展，某校開展了豐富多彩的社團活動.為了了解七年級新生對選擇社團的意

向，對600名七年級新生進行了抽樣調查.

調查問卷1.你最喜歡的社團_____(單選).

4機器人社團

A足球、籃球社團

C.模擬聯合國

D民樂社團

秦奮同學根據有效問卷繪制了如圖所示的兩幅統計圖(不完整)，請根據圖中信息，解答下列問題：

(1)求扇形統計圖中加為，并補全條形統計圖；

(2)在扇形統計圖中，“B.足球、籃球社團”部分所占圓心角的度數為；

(3)在社團招新生時，七(2)班的甲同學從他喜歡的A機器人社團、B.足球、籃球社團、C.模擬聯合國中隨機

選擇了一個社團，乙同學也從他喜歡的4機器人社團、C.模擬聯合國、。.民樂社團中隨機選擇了一個社

團，求他們進入了同一社團的概率.

某校選課意向情況條形統計圖

m%

25%

22.(本小題12分)

四邊形4BCD的兩條對角線AC,BD相交于點。，ABAD=90°.

(1)如圖1,已知4C=CD.

①求證：AACD=2ABAC-,

②若缶=1，求器的值;

(2)如圖2,若乙BCD=90°,AB=AD,CD=3BC,

D

圖1圖2

23.(本小題14分)

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于2(-3,0),B(l,0)兩點，與y軸交于C.

(1)若點C的坐標為(0,3).

①求拋物線的函數表達式；

②點P為該拋物線上一動點，過點P且與x軸垂直的直線交線段4C于D,交x軸于E.若PD-DE=1,求點P

的橫坐標；

(2)設a<0,經過4C兩點的直線為y=mx+幾，當％為何值時，函數y=a/+(6-取最大值？

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:一2024的相反數是2024.

故選：A.

根據符號不同，絕對值相同的兩個數互為相反數即可求得答案.

本題考查了相反數的概念，掌握只有符號不同的兩個數叫做互為相反數是解答此題的關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：4、a3-a2=a5,所以力選項錯誤，不符合題意；

B、計算正確，符合題意；

C、(a+b')2=a2+2ab+b2,所以C選項錯誤，不符合題意；

D、2a+4a=6a,所以。選項錯誤，不符合題意.

故選：B.

根據合并同類項法則，完全平方公式，塞的運算法則，即可判斷答案.

本題考查了合并同類項，完全平方公式，塞的運算，熟練掌握嘉的運算法則及完全平方公式是解題的關

鍵.

3.【答案】C

【解析】解：從上邊看，是一行兩個相鄰的正方形，左邊的正方形內部有一個圓與正方形的四邊相切.

故選：C.

根據俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案.

本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖.

4.【答案】C

【解析】解：126萬億=126000000000000=1.26x1014,

故選：C.

將一個數表示成ax10日的形式，其中lW|a|<10,〃為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可

求得答案.

本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：眾數是一組數據中出現次數最多的數，即8；

而將這組數據從小到大的順序排列后，處于中間位置的那個數，由中位數的定義可知，這組數據的中位數

是9；

故選：B.

根據中位數、眾數的概念分別求得這組數據的中位數、眾數，由圖可知鍛煉時間超過8小時的有14+7=

21人.

考查了中位數、眾數的概念.本題為統計題，考查眾數與中位數的意義，中位數是將一組數據從小到大（

或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數，如果中位數

的概念掌握得不好，不把數據按要求重新排列，就會錯誤地將這組數據最中間的那個數當作中位數.

6.【答案】D

【解析】解：過M作MN〃AB,

“，Vz>

…，LZ/

???乙AMN=Z.a,乙CMN=4=46°,

???乙AMN=90°-46°=44°,/L%\

Na=44°.

故選：D.

過M作MN〃AB,得至推出N4MN=Z_a,4CMN=乙0=46°,求出N4MN=90。-46。=

44°,即可得到Na=44°.

本題考查平行線的性質，關鍵是由平行線的性質推出乙4MN=Na,ZTMN=N0=46。.

7.【答案】C

【解析】解：的值隨乂值的增大而增大，自變量沒有取值限制，指全體實數，

A、自變量有取值限制，不符合題意；

B、自變量XK0,有取值限制，不符合題意；，

C、自變量取全體實數，符合題意；

。、y的值隨X值的增大而減小，不符合題意；

故選：C.

根據反比例函數、一次函數、二次函數的性質及自變量取值范圍的限制，逐項判斷分析即可.

本題考查了反比例函數、一次函數、二次函數的性質，熟練掌握各函數自變量取值范圍是解答本題的關

鍵.

8.【答案】C

【解析】解：?.，3a-b=—4,

b=3a+4,

又tb>0,

???3。+4>0,

解得Q>—p

va<0,

4

：?一§<a<0,

???a為整數,

a=-1f

b=3a+4=3x(―1)+4=1,

???a+b=—1+1=0,

故選：C.

先得出b=3a+4,根據b的取值范圍即可得出a的取值范圍，再結合已知進一步確定a的值，即可求出b的

值，從而求出a+b的值.

本題考查了有理數的加法，一元一次不等式的應用，得出Q的取值范圍是解題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】【分析】

先根據拋物線對稱軸為直線％=1推出—2=2,再根據當x=-1時，y>0,得至歸a+c>0,由此即可得

到答案.

本題主要考查了一次函數圖象與二次函數圖象的綜合判斷，正確推出3a+c>0,-2=2是解題的關鍵.

a

【解答】

解：???對稱軸為直線X=l,

b_1

,一五=L

???b=—2a,

b,

----=2

a

?.?當％=-1時，y>0,

/.a—h+c>0,即a+2a+c>0,

3a+c>0,

???一次函數y=(c+3a)%-，的圖象經過第一、二、三象限，且與y軸交于(0,2),

故選：B.

10.【答案】B

【解析】解：在口ZBCD中，

v/-BAD=^BCD=60°,/-ADC=120°,DE平分乙4DC,

???乙ADE=乙DAE=2LAED=60°,

-，?△ADE是等邊三角形，

1

AD=AE=-XB,

???E是ZB的中點，

DE=BE,

1

???乙BDE=^AED=30°,

/./-ADB=90°,即400

S圈ARCD=,BD,故g)正確；

???Z.CDE=60°,乙BDE=30°,

???乙CDB=乙CDE一(BDE=60°-30°=30°,

Z.CDB=BDE,

故。2平分NODE,故②正確；

依據RtZkAOD中，AO>AD,即可得到4。>DE,故③錯誤；

???。是BD中點，E為中點，

0E是△48。的中位線，

1

0E=^AD,0E//AD,

在Rt△ABD中，BD=AD?tanZ-BAD=y[3AD,

BD=20OE,

??.0E：BD=/3；6,故④正確；

???0E//AD,

ADFs〉OEF,

.SfDF_(竺、2_AAF—AD—?

**S^OEF-(0E)—?OF~0E~

SAAOF=4SAOEF，SAAEF=2SA0￡F

SAADE=^H,ADF+S^AEF=6s^OEF，故⑤錯誤;

???正確的有3個,

故選：B.

求得N4DB=90。，即4D1BD,即可得到品1ABeD=4。?B。；根據NCDE=60。，NBDE=30。，可得

乙CDB=KBDE,進而得出DB平分NCDE；依據中，AO>AD,即可得至！M。>DE；由三角形中

位線定理可得OE=^AD,OE//AD,解直角三角形得到BD=AD-tanzBXD=0AD,貝i]BD=20OE,

|S/UOF_

可得。E：BD=73；6；證明△ADFSAOEF,得到2=4,而=踵=2貝！]S-PF=4SA0EF，

SAOEF

SAAEF—2SA（）EF即可得至USAADE=S^ADF+S^AEF—6S^0EF.

本題主要考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判

定，三角形中位線定理等等，關鍵是平行四邊形性質的應用.

n.【答案】3(x—3)2

【解析】解：3/—18%+27,

=3（%2—6%+9）,

=3（久—3）2.

故答案為：3(久一3)2.

12.【答案】300

【解析】【分析】

本題考查了正多邊形與圓、等腰三角形的判定與性質、圓周角定理、多邊形的內角和、三角形的內角和定

理等知識點，能求出N2CE的度數是解此題的關鍵.

根據正六邊形的性質求出NB4F=ZF=4DEF=NB=4BCD=AD=120°,AB=BC,CD=DE,求出

/.BCA=30°,ZDCE=30°,求出乙4CE,根據圓周角定理求出即可.

【解答】

解：連接"、EC,

P

,?,六邊形4BCDEF是正六邊形,

???^BAF=NF=乙DEF=ZB=4BCD=4。=32）,X180°=⑵。,

6

AB=BC,CD=DE,

1

???ABAC=Z.BCA=^（180°-乙B）=30°,

同理/OEC=乙DCE=30°,

???Z.ACE=乙BCD-乙BCA-乙DCE=120°-30°-30°=60°,

.-./.APE=|z?lCE=30°,

故答案為：30°.

13.【答案】3

【解析】解：過點4作_Lx軸于點E,過點B作8尸1x軸于點F,

Z.AEO=Z-BFO:=90°,

Z.EAO+Z-AOE-二90°,

??乙AOB=:90°,

??乙4OE+乙BOF：二90°,

??Z-EAO=乙BOF,

AEO^△BFO,

:Z.ABO=30°,

_AO<3

t?tan300-——j

3

S^AEO_（當2=1

S^BFO%。）

???4在函數%=一;的圖象上,

_1

???^AAEO—29

_3

?*,、ABFO=29

???士=3.

故答案為：3.

過點力作力E1久軸于點E,過點B作BF1x軸于點F,易證△力EOSABFO,根據乙48。=30。求出對應邊的

比，進而求出兩個三角形面積的比求出k的值.

本題考查了相似三角形的判定和性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是正確添加輔助線

構造相似三角形.

14.【答案】77-<31或9

【解析】解：（1）由題意可得，CD=BD=B'D,

■.B'在以D為圓心CD為半徑的圓上，如圖一所示:

圖一

在點8'運動過程中，在△2DB'中，由三邊關系得,

AB'>AD-B'D,

在變化過程中，AD和B'D保持不變，

故A2'的最小值為2D-B'。，即如圖二所示：

圖二

在ABC中，=30°,AC=2,

BC=2gAB=4,

CD=BD=B'D==<3,

在RtAACD中，AC=2,CD=<3>

AD=-JAC2+CD2=J22+(73)2=

故AB'的最小值為2D-B'D=yn-43.

(2)AAB'F為直角三角形，分兩種情況：

①4AFB'=90°,

圖三

在RtABDF中，BD=<3,NB=30。，

3

BF=|,

設BE=x,EF=^-x,

在RtZkB'EF中，/.EB/F=30°,EF=^-x,B'E=x,

3

%=2(--x),

解得x=1，

即BE=x.

@^AB'D=90°,過E點作E"14“交力B'的延長線與H點，如圖四所示:

A

C

圖四

由折疊的性質可知，4DBE=Z.DB'E=30°,

???AAB'D=90°,

AAAB'E=90°+30°=120°,

乙EB'H=60°,

設BE=B'E=%,

.?.在RtAB'E"中，B'H=HE=—x，

在RtAACD^ARt△AB'D中，

AD=AD

-CD=B'D

RtAACD義RtAAB'D(HL),

AB'=AC=2,

在RtAAHE中，AH=2+HE——AE=4—x,

N2

(2+|x)2+(苧x)2=(4-x)2，

解得：x=l.

綜上，BE的長是1或去

(1)找到點B'的運動軌跡，用三角形三邊關系確定28'的最小值即可；

(2)分兩種情形畫出圖形，構造直角三角形用勾股定理解決問題.

本題考查翻折變換，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是看出運動點

的軌跡，學會分類討論的思想解決問題.

15.【答案】解：原式=3—1+YIx苧

=3-1+1

=3.

【解析】先根據數的開方法則，非零數的零次幕，特殊角的三角函數值計算出各數，再根據實數的運算法

則進行計算即可.

本題主要考查的是實數的運算，非零數的零次塞，特殊角的三角函數值，熟練掌握計算法則是解題的關

鍵.

16.【答案】解：設甲原有的錢數為％,乙原有的錢數為y,根據題意，得

x+|y=48

(|久+y=48

解得：：壽

解得：答：甲、乙兩人各帶的錢數為36和24.

【解析】設甲原有的錢數為無，乙原有的錢數為y,根據題意可得，甲的錢+乙的錢的一半=48,乙的錢+

甲所有錢的|=48,據此列方程組，求解即可.

本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列

方程組求解.

17.【答案】解：過點B作BE14C于點E,過點D作DF14C于點凡則四邊形EBFD是矩形.

BE=DF=24<3,EF=BD,

在RtAABE中，ABAC=63.4°,

???tan63A=—=2,

AE

24門

.*.----=2n,

AE

：.AE=12<3,

在RtAFCD中，ZFCD=30°,

DF

???tanzDCF=

CF

,24/3/3

???tan3Qn0o—，

=—CTFT-=3

DE=24>A3x73=72，

BD=EF=AC+CF-AE=72-12<3+12,

=84-1273?84-12X1.7=84-20.4?64米.

答：池塘的寬度BD約為64米.

【解析】池塘的寬度BD約為64米

【分析】本題考查了關于俯仰角的解直角三角形的問題.作垂線構造直角三角形是解題關鍵.

過點8作BE于點E,過點。作DF14C于點F,分別解RtAFCD、即可.

本題考查了關于俯仰角的解直角三角形的問題.作垂線構造直角三角形是解題關鍵.

18.【答案】解：(1)如圖,△4/1G即為所求；

(2)如圖，線段42殳即為所求；

(3)如圖，直線MN即為所求.

【解析】(1)利用平移變換的性質分別作出4B,C的對應點B],Q即可；

(2)利用旋轉變換的性質分別作出48的對應點42,%即可.

本題考查作圖-旋轉變換，線段垂直平分線的性質，平移變換等知識，解題的關鍵是掌握旋轉變換，平移

變換的性質.

19.【答案】解:⑴1+/+|=4+導

(2)第n個等式：1+3+2=字+弊，

證明：等式左邊=正竽町=生里，

/f$n+4n2+2n2+4nn2+22n2+4n+2(n+1)2

寸式右邊=⑤r+而近=+而近=2足=

2

即等式左邊=等式右邊=生用，

???等式成立，

【解析】解：(1)第5個等式：1+/+|=7+泉

乙。DJ.L/DU

故答案為.1+工+2=2+二

以口木AM,十2551050,

(2)第n個等式：1+=+白=宇+弊，

證明：等式左邊=四#=如其，

nznz

竺T七、力_n+4n2+2_n2+4nn2+2_2n2+4n+2_(n+1)2

寺亂石豆=五T+為濟=市二+為泮=2n2=1廠

即等式左邊=等式右邊=婦算，

???等式成立，

故答案為：1+3+白=字+弊.

nzn2n2Tlz

(1)根據前4個等式寫出第5個等式即可;

(2)根據上述等式可得第n個等式：1+吃+2=中+緩，再證明等式左邊=等式右邊即可.

本題考查的是列代數式和數字的變化規律，從題目中找出數字間的變化規律是解題的關鍵.

20.【答案】5；見解析.

【解析】(1)解：如圖1，連接。8,設。8=0C=r.

??1CD為。。的直徑,弦力B1CD于點G,

.?一的中點，(卜)(即/

??.BC=BF,OB1CF,\\/

^AC+BC=BC+BF,即=

：.AB=CF=8,圖?甌

.?.AG=BG=^1AB=4,

在Rt^OGB中，則有r2=(丁一2)2+42,

解得廠=5；

(2)證明：如圖2,連接BC,0B,

???AC=BF,

???乙BCH=乙CBH,

??.HB=HC,

在△OCH和△08"中，0C=0B,HC=HB,OH=OH,

OCHAOBH(SSS),

???乙COH=乙BOH,

???OC=OB,

???OHIBC.

(1)如圖1,連接。8,設。B=。。=兀利用勾股定理構建方程求解；

(2)如圖2,連接BC,0B,證明△0C”之△08”(SSS),推出N。。”=乙8。”可得結論.

本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關系，解題時的關鍵是掌握相關知識

解決問題.

21.【答案】A20144°

【解析】解：(1)總人數=15+25%=60(A).

4類人數=60-24-15-9=12(人).

???12+60=0.2=20%,

???m=20；

(2)vx360°=144°,

6U

???圓心角的度數為144。；

故答案為：144。；

(3)畫樹狀圖如下：

開始

ACDACDACD

共有9種等可能結果，其中甲乙進入同一社團的有2種結果.

所以P(甲乙進入同一社團)=宗

(1)由C類人數除以其占比可得總人數，再求解4類人數，補全圖形即可；

(2)由B類的占比乘以360。即可得到圓心角；

(3)先畫樹狀圖得到所有等可能的結果數與符合條件的結果數，再利用概率公式計算即可.

本題考查的是從條形圖與扇形圖中獲取信息，求解扇形的圓心角，利用畫樹狀圖求解隨機事件的概率，掌

握以上基礎知識是解本題的關鍵.

22.【答案】(1)過C作CN14。于M,交BD于N,如圖：

C

①證明：設乙4CD=a,

-AC=CD,

Z-ACD=2z_ZCM,

vADLAB,AD1CM,

???AB11CM,

???Z-ACM=Z-BAC,

???Z-ACD=2Z-BAD；

②解：vAB//CM,M為AD中點，

BN=DN,

..OC_2

V~0A=^

.—ON=_一2,

OB5

OB5

J0D=9；

(2)延長CO至E,使得0E=8C,連接AE,如圖:

???^BAD=90°,AB=AD,

???乙ABD=乙ADB=45°,

???Z-BDE=/.ADE+乙ADB=乙BCD+乙CBD,

??.AADE=45°+ZCB￡),

又???乙ABC=乙ABD+乙CBD=45°+(CBD,

???Z-ADE=乙ABC.

在△ABC和△4D