高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省濰坊市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓名．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.記為等比數列的前n項和，若，，則公比（）A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】若，，則，解得，符合題意.故選：D.2.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.9 B.0.8 C.0.4 D.0.1【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A3.函數的圖象如圖所示，且是的導函數，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設點則可以把看成兩點的斜率，把看成曲線在點的切線斜率，把看成曲線在點的切線斜率，再作出圖形進行數形結合分析：由圖可得，即.故選：B.4.若銀行的儲蓄卡密碼由六位數字組成，小王在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，但記得密碼的最后一位是奇數，則不超過2次就按對密碼的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記“小王第一次按對”=,“第二次按對”,；小王1次就按對的概率即為，小王恰好需要2次才按對的概率.所以小王不超過2次就按對的概率為.故選：B.5.記數列的前n項和為，若，則（）A.301 B.101 C. D.【答案】C【解析】數列中，，則，所以故選：C6.函數在處取得極大值9，則（）A.3 B. C.或3 D.0【答案】B【解析】由題意，函數，可得，因為在處取得極大值9，可得，解得或，檢驗知，當時，可得，當時，，即在上單調遞減，當時，，即在上單調遞增，所以在處取得極小值9，與題意矛盾，故不符題意；當時，可得，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，所以在處取得極大值9，故符合題意；所以.故選：B.7.設函數是定義在上的奇函數，為其導函數．當時，，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當時，令，則，所以在上單調遞增，當時，，即，當時，，即，因為函數是定義在上的奇函數，所以，所以當時，，當時，，所以不等式的解集為.故選：D.8.某高校為研究學生每周平均體育運動時間進行了一次抽樣調查，已知被抽取的男、女生人數相同．調查顯示：抽取的男生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數占比為，抽取的女生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數占比為，若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學生每周平均體育運動時間與性別有關，則被抽取的男生人數至少為（）附：0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828A.60 B.65 C.70 D.75【答案】C【解析】設男生總人數為，依題意可得列聯表如下：每周平均體育運動時間超過4小時人數每周平均體育運動時間不超過4小時合計男生人數女生人數合計若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學生每周平均體育運動時間與性別有關，則，解得，則被抽取的男生人數至少為70人.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分9.下列函數的導數運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A,,故A對.對于B,,故B對.對于C,,故C錯.對于D,,故D對.綜上所得,正確的是：ABD.故選:ABD.10.有6個相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標號，用表示第二次取到的小球的標號，記事件：為偶數，：為偶數，C：，則（）A. B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】ACD【解析】對A：，故A正確；對B：，，則，故與不相互獨立，故B錯誤；對C：，，則，故與相互獨立，故C正確；對D：，則，故與相互獨立，故D正確；故選：ACD.11.黎曼函數（Riemannfunction）在高等數學中有著廣泛應用，其一種定義為：時，，若數列，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，當時，是相鄰的偶數和奇數，所以是既約分數，所以，所以，即，故B正確；對于C，當時，，若當時，成立，則時，，故C正確；對于D，當時，，若當時，成立，則時，，要使，而，，只需，只需，顯然，故只需，當時，該式子為，顯然成立，若當時，有，當時，，從而對任意正整數均有，綜上所述，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是_____________．【答案】【解析】任選3人的方法數為，其中至少有1名女生的方法數為．所以概率為．故答案為：．13.記公差不為0的等差數列的前n項和為，若，則______．【答案】12【解析】設首項、公差分別為，則，所以，因為，所以.故答案為：12.14.已知函數，設，若只有一個零點，則實數a的取值范圍是______；若不等式的解集中有且只有三個整數，則實數a的取值范圍是______．【答案】①②【解析】，，當時，單調遞增；當時，單調遞減；∴；當時，；當時，；．據此可作出圖象如圖所示：令，則或，由，可得；又∵只有一個零點，∴無解，或，∴，或，∴的取值范圍是．令，則．①當時，則或，由，可得，無整數解，∴中有3個整數解，結合的圖象可知此三個整數解為，∵，∴；②當時，，由，得，不滿足題意；③當時，由，得或，∵的解集中無整數，的解集中有若干個整數，不滿足題意；綜上，的取值范圍為．故答案為：；．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）求的單調區間和極值；（2）求在區間上的最值．解：（1）函數的定義域為,．令得,或（舍去）,當時,,函數單調遞減；當時,,函數單調遞增,所以函數單調遞減區間為,函數單調遞增區間為．函數的極小值為,無極大值．（2）由（1）知,函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,所以,,,又因為,所以函數在區間的最小值為,最大值為2．16.某高中學校組織乒乓球比賽，經過一段時間的角逐，甲、乙兩名同學進入決賽．決賽采取7局4勝制，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為，且各局比賽的結果相互獨立．（1）求比賽結束時恰好打了5局的概率；（2）若前三局比賽甲贏了兩局，記還需比賽的局數為X，求X的分布列及數學期望．解：（1）比賽結束時，恰好打了5局，甲獲勝的概率為，恰好打了5局，乙獲勝的概率為，所以比賽結束時恰好打了5局概率為；（2）由題意可知，X取值范圍是．，，，所以X的分布列如下：X234P數學期望．17.已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）令，設數列的前n項和為，若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為，所以時，，所以當時，，又滿足上式，所以；（2）由（1）知，所以，所以，即不等式對恒成立，令，，令，可得，當時，，此時，即此時有，數列的最大項為，所以．18.近年來，中國新能源汽車產業，不僅技術水平持續提升，市場規模也持續擴大，取得了令人矚目的成就．以小米SU7、問界M9等為代表的國產新能源汽車，正逐步引領全球新能源汽車的發展潮流，某新能源汽車制造企業對某地區新能源汽車的銷售情況進行了調研，數據如下：時間2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代碼x12345銷量y/千輛1415161819（1）已知y與x線性相關，求出y關于x的線性回歸方程，并估計該地區新能源汽車在2024年5月份的銷量；（2）該企業為宣傳推廣新能源汽車，計劃在宣傳部門開展人工智能工具使用的培訓．該次培訓分為四期，每期培訓的結果是否“優秀”相互獨立，且每期培訓中員工達到“優秀”標準的概率均為．該企業規定：員工至少兩期培訓達到“優秀”標準．才能使用人工智能工具，（i）記某員工經過培訓后，恰好兩期達到“優秀”標準的概率為．求的最大值點；（ii）該企業宣傳部現有員工100人，引進人工智能工具后，需將宣傳部的部分員工調整至其他部門，剩余員工進行該次培訓已知開展培訓前，員工每人每年平均為企業創造利潤12萬元，開展培訓后，能使用人工智能工具的員工預計每人每年平均為企業創造利潤16萬元，本次培訓費每人1萬元．現要求培訓后宣傳部員工創造的年利潤不低于調整前的年利潤，以（i）中確定的作為p的值．預計最多可以調多少人到其他部門？參考公式：，．解：（1）由題意得，，，，，所以y關于x的線性回歸方程為，當時，，所以估計該地區新能源汽車在2024年5月份的銷量是20.3千輛；（2）（i）恰好兩期達到“優秀”標準的概率為，，因此，令，得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，的最大值點．（ⅱ）設“員工經過培訓，能使用人工智能工具”為事件B，所以，設宣傳部調人至其他部門，則參加培訓的人數為，為培訓后能使用人工智能工具的人數，則，因此，調整后年利潤萬元，令，解得，所以最多可以調12人到其他部門．19.已知函數．（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實數m的取值范圍；（3）證明：．解：（1）當時，，所以，所以，，所以函數在處的切線方程為即；（2）若在上恒成立，則在上恒成立，設，，所以，，①當時，，當時，，所以在上單調遞減，所以，即在不恒成立．②當時，，當時，，在上單調遞增，又，此時，綜上所述，所求m的取值范圍是；（3）由（2）知，當時，在上恒成立，取，得即，當且僅當時等號成立，令，，則，所以，所以，所以．山東省濰坊市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓名．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.記為等比數列的前n項和，若，，則公比（）A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】若，，則，解得，符合題意.故選：D.2.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.9 B.0.8 C.0.4 D.0.1【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A3.函數的圖象如圖所示，且是的導函數，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設點則可以把看成兩點的斜率，把看成曲線在點的切線斜率，把看成曲線在點的切線斜率，再作出圖形進行數形結合分析：由圖可得，即.故選：B.4.若銀行的儲蓄卡密碼由六位數字組成，小王在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，但記得密碼的最后一位是奇數，則不超過2次就按對密碼的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記“小王第一次按對”=,“第二次按對”,；小王1次就按對的概率即為，小王恰好需要2次才按對的概率.所以小王不超過2次就按對的概率為.故選：B.5.記數列的前n項和為，若，則（）A.301 B.101 C. D.【答案】C【解析】數列中，，則，所以故選：C6.函數在處取得極大值9，則（）A.3 B. C.或3 D.0【答案】B【解析】由題意，函數，可得，因為在處取得極大值9，可得，解得或，檢驗知，當時，可得，當時，，即在上單調遞減，當時，，即在上單調遞增，所以在處取得極小值9，與題意矛盾，故不符題意；當時，可得，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，所以在處取得極大值9，故符合題意；所以.故選：B.7.設函數是定義在上的奇函數，為其導函數．當時，，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當時，令，則，所以在上單調遞增，當時，，即，當時，，即，因為函數是定義在上的奇函數，所以，所以當時，，當時，，所以不等式的解集為.故選：D.8.某高校為研究學生每周平均體育運動時間進行了一次抽樣調查，已知被抽取的男、女生人數相同．調查顯示：抽取的男生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數占比為，抽取的女生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數占比為，若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學生每周平均體育運動時間與性別有關，則被抽取的男生人數至少為（）附：0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828A.60 B.65 C.70 D.75【答案】C【解析】設男生總人數為，依題意可得列聯表如下：每周平均體育運動時間超過4小時人數每周平均體育運動時間不超過4小時合計男生人數女生人數合計若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學生每周平均體育運動時間與性別有關，則，解得，則被抽取的男生人數至少為70人.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分9.下列函數的導數運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A,,故A對.對于B,,故B對.對于C,,故C錯.對于D,,故D對.綜上所得,正確的是：ABD.故選:ABD.10.有6個相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標號，用表示第二次取到的小球的標號，記事件：為偶數，：為偶數，C：，則（）A. B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】ACD【解析】對A：，故A正確；對B：，，則，故與不相互獨立，故B錯誤；對C：，，則，故與相互獨立，故C正確；對D：，則，故與相互獨立，故D正確；故選：ACD.11.黎曼函數（Riemannfunction）在高等數學中有著廣泛應用，其一種定義為：時，，若數列，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，當時，是相鄰的偶數和奇數，所以是既約分數，所以，所以，即，故B正確；對于C，當時，，若當時，成立，則時，，故C正確；對于D，當時，，若當時，成立，則時，，要使，而，，只需，只需，顯然，故只需，當時，該式子為，顯然成立，若當時，有，當時，，從而對任意正整數均有，綜上所述，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是_____________．【答案】【解析】任選3人的方法數為，其中至少有1名女生的方法數為．所以概率為．故答案為：．13.記公差不為0的等差數列的前n項和為，若，則______．【答案】12【解析】設首項、公差分別為，則，所以，因為，所以.故答案為：12.14.已知函數，設，若只有一個零點，則實數a的取值范圍是______；若不等式的解集中有且只有三個整數，則實數a的取值范圍是______．【答案】①②【解析】，，當時，單調遞增；當時，單調遞減；∴；當時，；當時，；．據此可作出圖象如圖所示：令，則或，由，可得；又∵只有一個零點，∴無解，或，∴，或，∴的取值范圍是．令，則．①當時，則或，由，可得，無整數解，∴中有3個整數解，結合的圖象可知此三個整數解為，∵，∴；②當時，，由，得，不滿足題意；③當時，由，得或，∵的解集中無整數，的解集中有若干個整數，不滿足題意；綜上，的取值范圍為．故答案為：；．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）求的單調區間和極值；（2）求在區間上的最值．解：（1）函數的定義域為,．令得,或（舍去）,當時,,函數單調遞減；當時,,函數單調遞增,所以函數單調遞減區間為,函數單調遞增區間為．函數的極小值為,無極大值．（2）由（1）知,函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,所以,,,又因為,所以函數在區間的最小值為,最大值為2．16.某高中學校組織乒乓球比賽，經過一段時間的角逐，甲、乙兩名同學進入決賽．決賽采取7局4勝制，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為，且各局比賽的結果相互獨立．（1）求比賽結束時恰好打了5局的概率；（2）若前三局比賽甲贏了兩局，記還需比賽的局數為X，求X的分布列及數學期望．解：（1）比賽結束時，恰好打了5局，甲獲勝的概率為，恰好打了5局，乙獲勝的概率為，所以比賽結束時恰好打了5局概率為；（2）由題意可知，X取值范圍是．，，，所以X的分布列如下：X234P數學期望．17.已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）令，設數列的前n項和為，若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為，所以時，，所以當時，，又滿足上式，所以；（2）由（1）知，所以，所以，即不等式對恒成立，令，，令，可得，當時，，此時，即此時有，數列的最大項為，所以．18.近年來，中國新能源汽車產業，不僅技術水平持續提升，市場規模也持續擴大，取得了令人矚目的成就．以小米SU7、問界M9等為代表的國產新能源汽車，正逐步引領全球新能源汽車的發展潮流，某新能源汽車制造企業對某地區新能源汽車的銷售情況進行了調研，數據如下：時間2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代碼x12345銷量y/千輛1415161819（1）已知y與x線性相關，