高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省南通市啟東市2023-2024學年高二下學期期中質量監測數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在的展開式中，含的項的系數為（）A.6 B.15 C.30 D.20【答案】B【解析】的展開式的通項公式為，令，解得，所以的展開式中，含的項的系數為.故選：B.2.在平行六面體中，已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在平行六面體中，,所以.故選：D.3.為踐行“綠水青山就是金山銀山”理念，某校在第46個植樹節來臨之際，從高一?高二?高三中各選派6名學生參加植樹造綠活動，其中三個年級參加活動的學生中男生人數分別為，活動結束后，隨機推選一名學生匯報活動體會，如果選到的是高二學生，則選到的是男生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設隨機推選一名學生匯報活動體會，選到的是高二學生為事件A,設隨機推選一名學生匯報活動體會，選到的男生為事件B,因為高一?高二?高三中各選派6名學生參加植樹造綠活動，,三個年級參加活動的學生中男生人數分別為，高二男生人數為，,所以.故選：C.4.學校要安排一場文藝晚會的8個節目的演出順序，學生的節目有6個，教師的節目有2個，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先排兩個學生節目在最前最后位置，然后排在中間六個位置排剩下節目，運用分步乘法原理，總排法數為.故選：C．5.稀土被譽為工業的維生素，具有無法取代的優異磁、光、電性能，對改善產品性能，增加產品品種，提高生產效率起到了巨大的作用.下表是2023年前5個月我國稀土出口均價（單位：萬元噸）與月份的統計數據.123451.72.42.01.6若與的線性回歸方程為，則的值為（）A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.2【答案】B【解析】由題意可知，，因為線性回歸方程為過樣本中心點，所以，所以，解得.故選：.6.已知隨機變量服從兩點分布，則方差的可能值是（）A B. C. D.【答案】A【解析】因為隨機變量服從兩點分布，所以，則，結合選項可知的可能值為.故選：A.7.已知空間中三點，平面的一個法向量為，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】平面的一個法向量為，則，解得，故.，則，則.則平行四邊形面積為.故選：D.8.2023年11月28日，中國空間站全貌高清圖像首次公布.中國空間站設計壽命為10年,長期駐留3人，最大可擴展為180噸級六艙組合體，以進行較大規模的空間應用.假設實驗艙要在3周時間內開展五項實驗，其中第一周安排2項實驗，第二周和第三周至少各安排1項實驗，?兩項實驗安排在同一周內，則不同的實驗方案共有（）A.6種 B.12種 C.18種 D.24種【答案】B【解析】?兩項實驗安排在第一周，則不同的實驗方案有；?兩項實驗不安排在第一周，則不同的實驗方案有；則不同的實驗方案共有種.故選：B．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設為實數，如果隨機變量的分布列為，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由題意可得：，對于選項A：，解得，故A錯誤；對于選項B：，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選：BD.10.南宋數學家楊輝所著的《詳析九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數構成的三角形數陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（）A.第10行所有數字的和為1024B.C.第6行所有數字的平方和等于D.若第行第個數記為，則【答案】ACD【解析】A：第10行所有數字是二項式系數，因此第10行所有數字的和為，因此本選項正確；B：，所以本選項不正確；C：所求的和表達式為：，因為，所以展開式中的系數為，即，而，因此有，于是有，所以本選項正確；D：因為，所以本選項正確，故選：ACD.11.某同學玩一種跳棋游戲，拋擲一枚質地均勻且標有數字的骰子，規定：若擲得數字小于或等于4，則前進1步；若擲得數字大于4，則前進2步.每次投擲互不影響，記某同學一共前進步的概率為，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】每投擲一次骰子，前進一步的概率為，前進兩步的概率為，顯然；對于A，一共前進了2步，可能是第一次前進了兩步，或第一次、第二次各前進一步，所以，故A錯誤；對于B，一共前進了3步，可能是第一次前進了兩步且第二次前進了一步，或第一次前進了一步且第二次前進了兩步，或三次各前進一步，所以，故B正確；對于C，一共前進了步，可能是前進步后繼續前進2步，或前進步后，繼續前進1步，所以，即，故C正確；對于D，因為，所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，又注意到，所以數列是常數列，這個數列中的每一項都是，所以，所以，解得，，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則____．【答案】12【解析】因為隨機變量，則該正態分布曲線的對稱軸為，又，則，則．13.將6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的放法數為__________．【答案】30【解析】將6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，可分為兩步完成，第一步，從4個盒子中選2個盒子，有種方法，第二步，將6個球放入這兩個盒子，有5種方法，所以，恰有2個空盒的放法數為．14.如圖，在正方體中，，點分別為的中點,則平面截正方體所得截面面積為__________,動點滿足，且，則當取得最小值時二面角的余弦值為__________.【答案】；【解析】由題意以點為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，第一空：因為分別為的中點，所以，因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，即四點共面，所以平面截正方體所得截面為梯形，由對稱性可知該梯形是等腰梯形，因為正方體棱長為4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰長為，所以梯形的高為，故所求截面面積為；第二空：由題意，且，所以，在中，當時，，所以表示經過點且法向量為的平面，即點在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此時，當然也有，由題意設，而，設平面的法向量為n1=所以，令，解得，所以可取，顯然平面的一個法向量可以是，二面角的余弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在以下兩個條件中任選一個條件，補充在下面問題中的橫線上，并完成解答.①所有項系數之和與二項式系數之和的比為；②前三項的二項式系數之和為22.問題：在展開式中，__________.（1）證明展開式中沒有常數項；（2）求展開式中所有的有理項.解：（1）若選①，令，則所有項的系數和為；二項式系數之和為.因為展開式中的所有項的系數之和與二項式系數之和的比為，所以，解得.故.若是常數項，則，得，故展開式沒有常數項；若選②，因為前三項的二項式系數之和為22，所以，整理得，解得.故.若是常數項，則，得，故展開式中沒有常數項.（2）由（1）得，.是有理項，當且僅當為整數.又因為，所以.故展開式中有3個有理項，分別為，.16.某單位有11名外語翻譯人員（每名翻譯人員都能從事英語或俄語翻譯），其中能從事英語翻譯人，且滿足，能從事俄語翻譯6人．（1）問既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有幾人？（2）現要從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯俄語，則有多少種不同的選派方式？解：（1）由，得，整理得：，解得：，又且，，于是，所以既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有人.（2）由（1）知，只能從事英語翻譯的5人，只能從事俄語翻譯的3人，既能從事英語又能從事俄語的3人，按“多面手”的參與情況分成三類情況：①多面手有1人入選，種；②多面手有2人入選，種；③多面手有3人入選，種．綜上所述，共有種選人方案．17.為適應社會化安全宣傳新形勢新要求，充分發揮區域特色和示范效應，深入推進安全宣傳進企業、進農村、進社區、進學校、進家庭，普及安全知識、培育安全文化，某單位用簡單隨機抽樣的方法從，兩個社區中抽取居民進行滿意度調查，調查中有“滿意”和“不滿意”兩個選項，調查的部分數據如下表所示：社區居民意見合計滿意不滿意社區3045社區55合計25（1）完成列聯表，并根據相關數據判斷是否有的把握認為居民滿意度與所在社區有關？（2）現從“不滿意”的居民中隨機抽取2位居民進行深入調研，用表示抽取的“不滿意”的居民來自社區的人數，求隨機變量的分布列及數學期望．附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列聯表如下表所示：社區居民意見合計滿意不滿意社區301545社區451055合計7525100根據列聯表中數據，可以求得，因為，所以我們沒有的把握認為居民滿意度與所在社區有關；（2）由題意的可能取值為0，1，2，故，，，所以的分布列為：012所以．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，,平面，，點為中點．（1）證明：平面平面；（2）若，求與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正弦值的取值范圍．解：（1）因為平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）以，所在直線為，軸，以過點垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，過作，垂足為，因為平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面．因為，，，則，，，得，又A2,0,0，，，，所以，所以，設與所成角為，故，即得與所成角的余弦值為．（3）設，則，因為，所以，則有，，則，設平面的法向量為，則，取，則，，即平面的一個法向量為，所以，因為，所以，故，又與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角的正弦值的取值范圍是．19.某技術部門需研發新型材料，研發過程中發現每次實驗會得到型材料和型材料之一．為測試新型材料是否能夠穩定投產，制定了以下測試規則：每一輪測試都會進行兩次實驗，若兩次實驗均得到型材料，則測試成功并停止測試；否則將加大催化劑的劑量并進行新一輪的測試．已知第輪測試中每次實驗得到型材料的概率為．（1）如果最多進行3輪測試（第三輪測試不成功也停止測試），記測試輪數為隨機變量，求的分布列和數學期望；（2）如果最多可進行輪測試（第輪測試不成功也停止測試），記為在第，2，，輪測試成功的概率，則測試成功的概率為．（i）求的值；（ii）求證：．解：（1）由題意得，的可能取值為1，2，3，在第一輪測試中，每次實驗得到型材料的概率為，所以，第二輪測試中，每次實驗得到型材料的概率為，，第三輪測試中，每次實驗得到型材料的概率為，，所以的分布列為：123所以的數學期望；（2）（i）由題意可知，，所以；（ii）當時，，當時，，所以當時，，當時，．綜上所述，．江蘇省南通市啟東市2023-2024學年高二下學期期中質量監測數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在的展開式中，含的項的系數為（）A.6 B.15 C.30 D.20【答案】B【解析】的展開式的通項公式為，令，解得，所以的展開式中，含的項的系數為.故選：B.2.在平行六面體中，已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在平行六面體中，,所以.故選：D.3.為踐行“綠水青山就是金山銀山”理念，某校在第46個植樹節來臨之際，從高一?高二?高三中各選派6名學生參加植樹造綠活動，其中三個年級參加活動的學生中男生人數分別為，活動結束后，隨機推選一名學生匯報活動體會，如果選到的是高二學生，則選到的是男生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設隨機推選一名學生匯報活動體會，選到的是高二學生為事件A,設隨機推選一名學生匯報活動體會，選到的男生為事件B,因為高一?高二?高三中各選派6名學生參加植樹造綠活動，,三個年級參加活動的學生中男生人數分別為，高二男生人數為，,所以.故選：C.4.學校要安排一場文藝晚會的8個節目的演出順序，學生的節目有6個，教師的節目有2個，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先排兩個學生節目在最前最后位置，然后排在中間六個位置排剩下節目，運用分步乘法原理，總排法數為.故選：C．5.稀土被譽為工業的維生素，具有無法取代的優異磁、光、電性能，對改善產品性能，增加產品品種，提高生產效率起到了巨大的作用.下表是2023年前5個月我國稀土出口均價（單位：萬元噸）與月份的統計數據.123451.72.42.01.6若與的線性回歸方程為，則的值為（）A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.2【答案】B【解析】由題意可知，，因為線性回歸方程為過樣本中心點，所以，所以，解得.故選：.6.已知隨機變量服從兩點分布，則方差的可能值是（）A B. C. D.【答案】A【解析】因為隨機變量服從兩點分布，所以，則，結合選項可知的可能值為.故選：A.7.已知空間中三點，平面的一個法向量為，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】平面的一個法向量為，則，解得，故.，則，則.則平行四邊形面積為.故選：D.8.2023年11月28日，中國空間站全貌高清圖像首次公布.中國空間站設計壽命為10年,長期駐留3人，最大可擴展為180噸級六艙組合體，以進行較大規模的空間應用.假設實驗艙要在3周時間內開展五項實驗，其中第一周安排2項實驗，第二周和第三周至少各安排1項實驗，?兩項實驗安排在同一周內，則不同的實驗方案共有（）A.6種 B.12種 C.18種 D.24種【答案】B【解析】?兩項實驗安排在第一周，則不同的實驗方案有；?兩項實驗不安排在第一周，則不同的實驗方案有；則不同的實驗方案共有種.故選：B．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設為實數，如果隨機變量的分布列為，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由題意可得：，對于選項A：，解得，故A錯誤；對于選項B：，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選：BD.10.南宋數學家楊輝所著的《詳析九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數構成的三角形數陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（）A.第10行所有數字的和為1024B.C.第6行所有數字的平方和等于D.若第行第個數記為，則【答案】ACD【解析】A：第10行所有數字是二項式系數，因此第10行所有數字的和為，因此本選項正確；B：，所以本選項不正確；C：所求的和表達式為：，因為，所以展開式中的系數為，即，而，因此有，于是有，所以本選項正確；D：因為，所以本選項正確，故選：ACD.11.某同學玩一種跳棋游戲，拋擲一枚質地均勻且標有數字的骰子，規定：若擲得數字小于或等于4，則前進1步；若擲得數字大于4，則前進2步.每次投擲互不影響，記某同學一共前進步的概率為，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】每投擲一次骰子，前進一步的概率為，前進兩步的概率為，顯然；對于A，一共前進了2步，可能是第一次前進了兩步，或第一次、第二次各前進一步，所以，故A錯誤；對于B，一共前進了3步，可能是第一次前進了兩步且第二次前進了一步，或第一次前進了一步且第二次前進了兩步，或三次各前進一步，所以，故B正確；對于C，一共前進了步，可能是前進步后繼續前進2步，或前進步后，繼續前進1步，所以，即，故C正確；對于D，因為，所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，又注意到，所以數列是常數列，這個數列中的每一項都是，所以，所以，解得，，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則____．【答案】12【解析】因為隨機變量，則該正態分布曲線的對稱軸為，又，則，則．13.將6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的放法數為__________．【答案】30【解析】將6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，可分為兩步完成，第一步，從4個盒子中選2個盒子，有種方法，第二步，將6個球放入這兩個盒子，有5種方法，所以，恰有2個空盒的放法數為．14.如圖，在正方體中，，點分別為的中點,則平面截正方體所得截面面積為__________,動點滿足，且，則當取得最小值時二面角的余弦值為__________.【答案】；【解析】由題意以點為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，第一空：因為分別為的中點，所以，因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，即四點共面，所以平面截正方體所得截面為梯形，由對稱性可知該梯形是等腰梯形，因為正方體棱長為4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰長為，所以梯形的高為，故所求截面面積為；第二空：由題意，且，所以，在中，當時，，所以表示經過點且法向量為的平面，即點在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此時，當然也有，由題意設，而，設平面的法向量為n1=所以，令，解得，所以可取，顯然平面的一個法向量可以是，二面角的余弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在以下兩個條件中任選一個條件，補充在下面問題中的橫線上，并完成解答.①所有項系數之和與二項式系數之和的比為；②前三項的二項式系數之和為22.問題：在展開式中，__________.（1）證明展開式中沒有常數項；（2）求展開式中所有的有理項.解：（1）若選①，令，則所有項的系數和為；二項式系數之和為.因為展開式中的所有項的系數之和與二項式系數之和的比為，所以，解得.故.若是常數項，則，得，故展開式沒有常數項；若選②，因為前三項的二項式系數之和為22，所以，整理得，解得.故.若是常數項，則，得，故展開式中沒有常數項.（2）由（1）得，.是有理項，當且僅當為整數.又因為，所以.故展開式中有3個有理項，分別為，.16.某單位有11名外語翻譯人員（每名翻譯人員都能從事英語或俄語翻譯），其中能從事英語翻譯人，且滿足，能從事俄語翻譯6人．（1）問既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有幾人？（2）現要從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯俄語，則有多少種不同的選派方式？解：（1）由，得，整理得：，解得：，又且，，于是，所以既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有人.（2）由（1）知，只能從事英語翻譯的5人，只能從事俄語翻譯的3人，既能從事英語又能從事俄語的3人，按“多面手”的參與情況分成三類情況：①多面手有1人入選，種；②多面手有2人入選，種；③多面手有3人入選，種．綜上所述，共有種選人方案．17.為適應社會化安全宣傳新形勢新要求，充分發揮區域特色和示范效應，深入推進安全宣傳進企業、進農村、進社區、進學校、進家庭，普及安全知識、培育安全文化，某單位用簡單隨機抽樣的方法從，兩個社區中抽取居民進行滿意度調查，調查中有“滿意”和“不滿意”兩個選項，調查的部分數據如下表所示：社區居民意見合計滿意不滿意社區3045社區55合計25（1）完成列聯表，并根據相關數據判斷是否有的把握認為居民滿意度與所在社區有關？（2）現從“不滿意”的居民中隨機抽取2位居民進行深入調研，用表示抽取的“不滿意”的居民來自社區的人數，求隨機變量的分布列及數學期望．附：0.