高考試題分類解析PAGE考點38雙曲線一、選擇題1.(2018·全國卷II高考理科·T5)同(2018·全國卷II高考文科·T6)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為A.y=±2x B.y=±3xC.y=±22x D.y=±3【命題意圖】本題考查雙曲線的簡單幾何性質.【解析】選A.因為e=ca=3,所以c2a2=a2+b2a2=3,即b2.(2018·全國Ⅲ高考理科·T11)設F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點,O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若PF1=A.5 B.2 C.3 D【命題意圖】本題以雙曲線作為問題背景,考查直線的交點,雙曲線的幾何性質及離心率的求解,考查邏輯推理能力、運算求解能力,體現了邏輯推理和數學運算的核心素養.試題難度:中.【解析】選C.方法一:設漸近線的方程為bx-ay=0,則直線PF2的方程為ax+by-ac=0,由ax+by-ac=0,bx-ay=0,可得Pa2c,abc得a2c+c2+abc2=6×a2c2+方法二:因為|PF2|=b,|OF2|=c,∴|PO|=a,在Rt△POF2中,設∠PF2O=θ,則有cosθ=|PF2∵在△PF1F2中,cosθ=|PF∴b2+4c2-(6a)22b·2c=bc?b2+4c2-6a2=4b2?4c23.(2018·全國Ⅲ高考文科·T10)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則點4A.2 B.2 C.322 【命題意圖】本小題主要考查圓錐曲線的應用,意在考查雙曲線的離心率、漸近線,以及基本運算能力,培養學生的運算能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.【解析】選D.方法一(直接法):由已知,雙曲線C的一條漸近線為y=bax,即bx-ay所以點(4,0)到C的漸近線的距離為d=|4b-因為a2+b2=c2,離心率e=ca=2所以e2=c2a2=2,a2=c22,c22+b2=c2,b2=c22,b2c2方法二(數形結合):畫圖草圖,記C的遞增的漸近線斜率為k,傾斜角為α,點P(4,0)到C的漸近線的距離為d,則k=tanα=ba(借助以角α為內角的直角三角形,α對邊為b,鄰邊為a,由勾股定理求得斜邊c所以sinα=ba2+又離心率e=ca=2記c=2t,則a=t,所以b=t,sinα=bc=2在Rt△OPQ中,sinα=d4,所以d4=22,所以d4.(2018·天津高考理科·T7)同(2018·天津高考文科·T7)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+dA.x24-y212=1 B.C.x23-y29=1 D.【命題意圖】本題考查雙曲線的概念、標準方程及其性質,考查直線與曲線的交點坐標的求法以及點到直線的距離公式,考查方程思想、解析法以及分析問題、解決問題的能力.【解析】選C.因為雙曲線的離心率為2,所以ca=2,c=2a,b=3a,不妨令A(2a,3a),B(2a,-3a),雙曲線其中一條漸近線方程為y=3x,所以dd2=|23a+3a|(3)2+(-1)2=23a+3a2;依題意得【光速解題】選C.顯然選項B,D的離心率都不是2,排除這兩個選項;對于選項A的雙曲線,A(4,6),B(4,-6)兩點,到漸近線y=3x的距離之和為43,不合題意,故選C.5.(2018·浙江高考T2)雙曲線x23-y2=1的焦點坐標是 (A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)【命題意圖】考查雙曲線的幾何性質.【解析】選B.由雙曲線的方程可知,雙曲線的焦點在x軸上,且a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以焦點坐標為(-2,0),(2,0).6.(2018·全國卷I高考理科·T11)已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則MN= (A.32 B.3 C.23 【解析】選B.漸近線方程為:x23-y2=0,即y=±3所以∠MON=π3因為△OMN為直角三角形,假設∠ONM=π2,如圖所以kMN=3,直線MN方程為y=3(x-2).聯立y所以N32,-32,即ON=3,因為∠所以|MN|=3.二、填空題7.(2018·北京高考文科·T12)若雙曲線x2a2-y24=1(a>0)的離心率為52【命題意圖】本小題主要考查圓錐曲線的應用,意在考查雙曲線的離心率與基本運算能力,培養學生的運算能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.【解析】由已知,b2=4,e=ca=5即c2a2=522=54,又因為a2+所以a2+4a2=54,a答案:48.(2018·江蘇高考·T8)在平面直角