2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔重慶卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕填空題：本大題共10小題，每題5分，共計50分。在每題給出的四個備選選項中，只有一個是符合題目要求的1.在等差數(shù)列中，,那么的前5項和=A.7B.15C.20D.25【答案】【解析】不等式的解集為A.B.C.D.【答案】【解析】對任意的實數(shù)k，直線y=kx+1與圓的位置關(guān)系一定是相離B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心【答案】【解析】直線過圓內(nèi)內(nèi)一定點的展開式中常數(shù)項為A.B.C.D.105【答案】【解析】取得次數(shù)為，展開式中常數(shù)項為5、設(shè)是方程的兩個根，那么的值為〔A〕-3〔B〕-1〔C〕1〔D〕3【答案】【解析】6、設(shè)R，向量，且，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10【答案】【解析】7、是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，那么“為[0，1]上的增函數(shù)〞是“為[3，4]上的減函數(shù)〞的〔A〕既不充分也不必要的條件〔B〕充分而不必要的條件〔C〕必要而不充分的條件〔D〕充要條件【答案】【解析】由是定義在R上的偶函數(shù)及[0,1]雙抗的增函數(shù)可知在[-1,0]減函數(shù)，又2為周期，所以【3,4】上的減函數(shù)8、設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題〔8〕圖所示，那么以下結(jié)論中一定成立的是〔A〕函數(shù)有極大值和極小值〔B〕函數(shù)有極大值和極小值〔C〕函數(shù)有極大值和極小值〔D〕函數(shù)有極大值和極小值【答案】【解析】時，時，得：或函數(shù)有極大值和極小值9、設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，那么的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】取長的棱的中點與長為的端點；那么10、設(shè)平面點集，那么所表示的平面圖形的面積為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】由對稱性：圍成的面積與圍成的面積相等得：所表示的平面圖形的面積為圍成的面積既二填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分，把答案分別填寫在答題卡相應(yīng)位置上11、假設(shè)，其中為虛數(shù)單位，那么；【答案】4【解析】12、。【答案】【解析】13、設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且那么【答案】【解析】14、過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，假設(shè)那么=?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)15、某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課個1節(jié)，那么在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為〔用數(shù)字作答〕.【答案】【解析】語文、數(shù)學(xué)、英語三門文化課間隔一節(jié)藝術(shù)課，排列有種排法，語文、數(shù)學(xué)、英語三門文化課相鄰有種排法，語文、數(shù)學(xué)、英語三門文化課兩門相鄰有種排法。故所有的排法種數(shù)有在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為三解答題：本大題共6小題，共75分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16、〔本小題總分值13分，〔Ⅰ〕小問6分，〔Ⅱ〕小問7分.〕設(shè)其中，曲線在點處的切線垂直于軸.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)的極值.【解析】〔1〕因，故由于曲線在點處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得〔2〕由〔1〕知，令，解得〔因不在定義域內(nèi)，舍去〕，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)；故在處取得極小值。17、〔本小題總分值13分，〔Ⅰ〕小問5分，〔Ⅱ〕小問8分.〕甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，.約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.〔Ⅰ〕求甲獲勝的概率；〔Ⅱ〕求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望【解析】設(shè)分別表示甲、乙在第次投籃投中，那么，，〔1〕記“甲獲勝〞為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知，〔2〕的所有可能為：由獨立性知：綜上知，有分布列123從而，〔次〕18、〔本小題總分值13分〔Ⅰ〕小問8分〔Ⅱ〕小問5分〕設(shè)，其中〔Ⅰ〕求函數(shù)的值域〔Ⅱ〕假設(shè)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值?！窘馕觥俊并瘛骋?，所以函數(shù)的值域為〔Ⅱ〕因在每個閉區(qū)間上為增函數(shù)，故在每個閉區(qū)間上為增函數(shù)。依題意知對某個成立，此時必有，于是，解得，故的最大值為。19、〔本小題總分值12分〔Ⅰ〕小問4分〔Ⅱ〕小問8分〕如圖，在直三棱柱中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點〔Ⅰ〕求點C到平面的距離;〔Ⅱ〕假設(shè),求二面角的平面角的余弦值?！窘馕觥俊并瘛秤?為的中點，得，又，故,所以點到平面的距離為(Ⅱ)如圖，取為的中點，連結(jié),那么,又由〔Ⅰ〕知，故，所以為所求的二面角的平面角。因為在面上的射影，又，由三垂線定理的逆定理得，從而都與互余，因此，所以，因此，,即,得。從而,所以，在中，20、〔本小題總分值12分〔Ⅰ〕小問5分〔Ⅱ〕小問7分〕如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段的中點分別為，且△是面積為4的直角三角形?！并瘛城笤摍E圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ〕過做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程【解析】設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點為。因是直角三角形，又,故為直角，因此,得。結(jié)合得，故，所以離心率。在中，，故由題設(shè)條件，得，從而。因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：〔2〕由〔1〕知，由題意知直線的傾斜角不為0，故可設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程得，設(shè)，那么是上面方程的兩根，因此,又，所以由,得,即，解得，所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：和21、〔本小題總分值12分，〔I〕小問5分，〔II〕小問7分?！吃O(shè)數(shù)列的前項和滿足，其中?！睮〕求證：是首項為1的等比數(shù)列；假設(shè)，求證：，并給出等號成立的充要條件?！窘馕觥俊?〕證明：由，得，即。因，故，得，又由題設(shè)條件知，兩式相減得，即，由，知，因此綜上，對所有成立，從而是首項為1，公比為的等比數(shù)列。當(dāng)或