函數(shù)的零點(5大壓軸考法)

目錄

解題知識必備........................................................1

壓軸題型講練.......................................................3

題型一、零點存在定理.........................................................3

題型二、零點的個數(shù)...........................................................3

題型三、比較零點的大小關系..................................................4

題型四、零點的和..............................................................5

題型五、與零點相關的參數(shù)問題...............................................5

壓軸能力測評(13題)...............................................6

8解題知識必備X

一、函數(shù)的零點與方程的根

1、定義：如果函數(shù)y=/(x)在實數(shù)。處的值等于零，即/(。)=0,則。叫做這個函數(shù)的零點.

2、注意事項：

(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；

(2)函數(shù)的零點也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交點的橫坐標；

(3)函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的實數(shù)根.

3、方程、函數(shù)、圖象之間的關系

方程/(力=0有實數(shù)根0函數(shù)〉=/(x)的圖象與x軸有交點=函數(shù)歹=/(x)有零點.

二、零點存在定理及其推論

1、定理：如果函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且

那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)至少有一個零點，

即存在ce(ab),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的解。

【注意】(1)定義不能確定零點的個數(shù)；

(2)不滿足定理條件時依然可能有零點;

(3)定理中的“連續(xù)不斷”是必不可少的條件;

(4)定理反之是不成立的.

2、重要推論：

⑴推論1：函數(shù)/(x)在區(qū)間［2可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

且/(x)具有單調(diào)性，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(a.b)內(nèi)只有一個零點.

(2)推論2：函數(shù)/(x)在區(qū)間［凡可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

函數(shù)/(x)在區(qū)間(夕為)內(nèi)有零點，且函數(shù)〃x)具有單調(diào)性，則/(a)?/㈤<0

三、零點個數(shù)的判斷方法

1、直接法：直接求零點，令y(x)=o,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.

2、定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間［凡句上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a>/(6)<0,

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

3、圖象法：

(1)單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)/(X)的圖象，函數(shù)/(X)的圖象與x軸交點的個數(shù)

就是函數(shù)/(x)的零點個數(shù)；

(2)兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)“X)拆成兩個函數(shù)“(X)和g(x)的差，根據(jù)/(x)=0o%(x)=g(x),則

函數(shù)/(X)的零點個數(shù)就是函數(shù)y=/z(x)和〉=g(x)的圖象的交點個數(shù)

4、性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；

若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)

四、判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的步驟

第一步：將區(qū)間端點代入函數(shù)求函數(shù)的值；

第二步：將所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷；

第三步：若符號為正切在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點；

若符號為負且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個零點。

五、已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法

1、直接法：利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；

2、數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進行適當?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟

悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.

X壓軸題型講練2

【題型一零點存在定理】

一、單選題

1.（23-24高一下?江蘇揚州?期末）方程2x+lwr-5=0的解所在區(qū)間為（）

A.（4,5）B.（3,4）C.（2,3）D.（1,2）

2.（23-24高一上?福建寧德?期末）已知函數(shù)V=/（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應值表:

則下列結(jié)論正確的是（）

X123456

y108-32-7-9

A.“X）在（L6）內(nèi)恰有3個零點B./⑴在（L6）內(nèi)至少有3個零點

C.“X）在（1,6）內(nèi)最多有3個零點D.“X）在（1,6）內(nèi)不可能有4個零點

3.（23-24高一下?江蘇揚州?階段練習）己知函數(shù)〃x）=x+2,的零點在區(qū)間（〃，〃+1）內(nèi)，〃eZ,則"的值

為（）

A.-2B.-1C.0D.1

4.（23-24高一上?江西吉安?期末）下列區(qū)間內(nèi)存在方程尸|=2"的根的是（）

A.（-2,-1）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

5.（23-24高一下?廣東茂名?階段練習）已知是函數(shù)y=e"與y=2-x的交點的橫坐標，則下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.x0e（0,l）B.ln（2-x0）=x0

x2-Xo

C.x0-e-°>0D.e-e>0

【題型二零點的個數(shù)】

一、單選題

1.（23-24高一下?廣東韶關?階段練習）函數(shù)〃x）=ln|x|+8-x的零點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）方程-=0的解的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.2或3或4

fx2—2Ixl—3x>—4

3.（23-24高一上?新疆昌吉?期末）已知函數(shù)〃x）=c?1':一，則函數(shù)〃x）的零點個數(shù)為（）

[2x+13,x<-4

A.1B.2C.3D.4

4.（23-24高一上?陜西西安?期末）關于函數(shù)〃x）=x3-2x+l的零點，下列選項說法正確的是（）

A.（1,。）是“X）的一個零點

B.“X）在區(qū)間（-2,-1）內(nèi)存在零點

C.“X）只有2個零點

D.“X）的零點個數(shù)與/-2x+1=0的解的個數(shù)不相等

5.（23-24高三上?山東煙臺?期末）已知“X）為定義在R上的奇函數(shù)，當xe（0,+co）時，

/、flnx+l,0<x<l/、

〃X）=,則方程“X）-1=0實數(shù)根的個數(shù)為（）

[2—x,x〉1

A.1B.2C.3D.4

【題型三比較零點的大小關系】

一、單選題

1.（22-23高一上?福建泉州?階段練習）設正實數(shù)。也。分別滿足a.2"=6-log3b=c」og2C=l，則。也。的大

小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

2.（2024?廣東梅州?二模）三個函數(shù)”X）=X3+X-3,g（x）=lnx+x-3,/z（x）=e*+x-3的零點分另lj為

a,b,c,貝！Jdac之間的大小關系為（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

3.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）設為，/,退均為實數(shù)，且[g]=1。82（西+1），=log3x2,

$=log2X3,則（）

A.Xj<x3<x2B.x3<x2<xx

C.xx<x2<x3D.x3<x1<x2

4.（23-24高一^上,甘肅慶陽?期末）已知。,仇。均大于1,滿足^=log2。,^—-=logb,=logc,則下

a-\p-13c-\4

列不等式成立的是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

5.（23-24高一下?廣東揭陽?期末）已知加+e"=e,〃+3〃=e,貝|（）

A.\<n<m<cB.1<m<n<e

C.0<n<m<1D.0<m<n<1

【題型四零點的和】

一、單選題

1.（23-24高一上?廣東?階段練習）若為，%分別是方程e'+x-2023=0,lnx+x-2023=0的根，則幺昔

()

20232023

A.------B.2023D.4046

2,4

2.（23-24高一上?遼寧沈陽?期末）已知函數(shù)/⑺的定義域為R,且/（x+1）是奇函數(shù)，當x〉l時,

2-x,l<x<21

/(%)=X2-4X+4X>2,函數(shù)g(x)=(x-lp，則方程/(x)=g(x)的所有的根之和為()

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24高一下?貴州畢節(jié)?期末）已知X1是函數(shù)/（耳=1+工-2的零點，9是函數(shù)g（x）=ei-x+2的零

點，則為+%2的值為（）

A.3B.4C.5D.6

x2+4x+3,x<0

4.（23-24高一上?江蘇蘇州?期中）已知/（%）=<石一石<%2<*3<*4，且

3--,x>0

X

/（項）=/（工2）=/（￡）=/（七），則,'的取值范圍是（）

X]42*3

513513

A.-00,一B.(-8,2)C.一oo,不D.

33345T

—212+4xx<2

5.（2023高一?江蘇?專題練習）設函數(shù)/（%）=<弧心-2[二>2,若關于x的方程小）=’有四個實根

再,了2戶3，匕（再<當<匕），則占+工2+2%+3匕的最小值為（

17

A19n

C.10D.9

T2

【題型五與零點相關的參數(shù)問題】

一、單選題

1.(22-23高三上?遼寧遼陽?階段練習)若函數(shù)/'(x)=4+x+lgx(l<x<10)有零點，則。的取值范圍為

()

A.(-10,-1)B.(1,10)C.(1,H)D.(-H.-1)

y2I2Y_3Y<0

■,'一八，方程/(x)=左有3個實數(shù)解，則左

!-2+Inx,x>0

的取值范圍是()

A.-4<k<-3B.—4〈左<一3

C.-3<k<0D.k>0

/、2X—a,x<1,

3.(23-24高一下?廣東惠州?階段練習)若函數(shù)/x=v\；、/合有兩個零點,則實數(shù)4的取值

不可能為()

1

A.0B.-C.2D.3

2

4.(23-24高一上?北京大興?期末)已知函數(shù)/(x)=x+log2X-4的零點為X],g(x)=x+loga(x-l)-5(a>1)

的零點為Xz，若尤2-%>1,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,V2)B.(V2,2)C.(1,2)D.(2,+⑹

5.(23-24高一上?遼寧?期末)已知函數(shù)〃x)=x+"-3，-°.若方程/卜)=左有三個不等的實數(shù)解占戶2，三

l-2+liu,x>0

且芭<%2<%3，貝I()

(11

A.左?一4,一3)B.xG-y,—

3lee

XXG

C.國入3+23D.再％2<1

ee)

、/+(4。_3)X+3Q%<o

6.(24-25高三上?北京?開學考試)已知函數(shù)〃zx)=jbg]+i)；ix>o，①>。，且。在(-叱+⑹上

單調(diào)遞減，且函數(shù)g(x)=|/(x)|+x-2恰好有兩個零點，則a的取值范圍是()

X壓軸能力測評8

一、單選題

1.(23-24高一下?河南漠河?期末)函數(shù)〃x)=lnx+x2+a,則“a<-1”是“函數(shù)在(l,e)上存在零點”的

()

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

x+2,x<0,

2.(23-24高一上?安徽?期末)已知數(shù)/(%)=1八/若加〈〃且/(〃)=/(加)，則〃+加的取值范圍是

-,0<x<4,

()

A.(1,2]B.0,|C.羽D.g,2)

3.(23-24高一上?山東德州?階段練習)記[x]為不超過x的最大整數(shù)，^[2.7]=2,[-1.3]=-2,則函數(shù)

/(x)=ln(x+l)_[x]的所有零點之和為()

A.ed—B.eH------2C.e—1D.—1

eee

4.(23-24高一下?安徽蕪湖?開學考試)若函數(shù)/(x)=|與-l|+/-4x+機存在兩個不同的零點，則實數(shù)加

2

的取值范圍為()

A.(-℃,2)B.(-℃,3)C.(-℃,4)D.(-℃,6)

5.(24-25高一上?全國?課后作業(yè))已知a,b,c,d都是常數(shù)，a>b,c>d,若/(x)=2024-(x-a)-(x-6)

的零點為c,d,則下列不等式正確的是()

A.a>c>b>dB.a>b>c>d

C.c>d>a>bD.c>a>b>d

二、多選題

y-2I2Y—3x<0

.I'.一八，下列有關方程"x)=Ma<o)

{-2+Inx,無>0

的實數(shù)解個數(shù)說法正確的是()

A.當實數(shù)解的個數(shù)為1時，左<-4B.當實數(shù)解