2024屆江蘇省淮安市數學高一下期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知、都是單位向量，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．2．在同一直角坐標系中，函數且的圖象可能是（）A． B．C． D．3．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．4．在△ABC中，D是邊BC的中點，則＝A． B． C． D．5．若直線與直線平行，則的值為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．06．某小吃店的日盈利（單位：百元）與當天平均氣溫（單位：℃）之間有如下數據：/℃/百元對上述數據進行分析發現，與之間具有線性相關關系，則線性回歸方程為（）參考公式：A． B．C． D．7．已知點和點，且，則實數的值是（）A．5或-1 B．5或1 C．2或-6 D．-2或68．在正三棱錐中，，則側棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．已知點，,直線的方程為，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．10．《九章算術》中有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問若聘該女子做工半月（15日），一共能織布幾尺（）A．75 B．85 C．105 D．120二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是．12．如圖，正方體的棱長為2，點在正方形的邊界及其內部運動，平面區域由所有滿足的點組成，則的面積是__________．13．在數列中，，則______________.14．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的所有棱長和為_______.15．在中，角所對的邊分別為，，則____16．已知數列是正項數列，是數列的前項和，且滿足.若，是數列的前項和，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，函數.（1）若且，求；（2）求函數的最小正周期T及單調遞增區間.18．在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角；（2）若，，求的周長.19．已知函數.（Ⅰ）求的定義域；（Ⅱ）設是第一象限角，且，求的值.20．已知，，．(1)求關于的表達式，并求的最小正周期；(2)若當時，的最小值為，求的值．21．做一個體積為，高為2m的長方體容器，問底面的長和寬分別為多少時，所用的材料表面積最少？并求出其最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由、都是單位向量，由向量的數量積和共線的定義可判斷出正確選項.【詳解】由、都是單位向量，所以.設、的夾角為.則，所以A，D不正確.當時，、同向或反向，所以C不正確.,所以B正確.故選：B【點睛】本題考查了單位向量的概念，屬于概念考查題，應該掌握．2、D【解析】

本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數函數、對數函數的圖象和，結合選項，判斷得出正確結論.題目不難，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，函數過定點且單調遞減，則函數過定點且單調遞增，函數過定點且單調遞減，D選項符合；當時，函數過定點且單調遞增，則函數過定點且單調遞減，函數過定點且單調遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【點睛】易出現的錯誤有，一是指數函數、對數函數的圖象和性質掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數的單調性.3、B【解析】

根據三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎題.4、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質求解即可.詳解：因為是的中點，所以，所以，故選C.點睛：本題主要考查共線向量的性質，平面向量的減法法則，屬于簡單題.5、B【解析】

兩直線平行表示斜率相同或者都垂直x軸，即。【詳解】當時，兩直線分別為：與直線，不平行，當時，直線化為：直線化為：,兩直線平行，所以，，解得：，當時，兩直線重合，不符，所以，【點睛】直線平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同則表示同一條直線。6、B【解析】

計算出，，把數據代入公式計算，即可得到答案．【詳解】由題可得：，，，，；所以，，則線性回歸方程為；故答案選B【點睛】本題考查線性回歸方程的求解，考查學生的計算能力，屬于基礎題．7、A【解析】

根據空間中兩點間距離公式建立方程求得結果.【詳解】解得：或本題正確選項：【點睛】本題考查空間中兩點間距離公式的應用，屬于基礎題.8、B【解析】

利用正三棱錐的性質，作出側棱與底面所成角，利用直角三角形進行計算.【詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【點睛】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.9、A【解析】

直線過定點，利用直線的斜率公式分別計算出直線，和的斜率，根據斜率的單調性即可求斜率的取值范圍．【詳解】解：直線整理為即可知道直線過定點，作出直線和點對應的圖象如圖：，，，，，要使直線與線段相交，則直線的斜率滿足或，或即直線的斜率的取值范圍是，故選．【點睛】本題考查直線斜率的求法，利用數形結合確定直線斜率的取值范圍，屬于基礎題．10、D【解析】設第一天織尺，第二天起每天比前一天多織尺，由已知得，，故選D.【方法點睛】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的前項和公式，屬于中檔題.等差數列基本量的運算是等差數列的一類基本題型，數列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，另外，解等差數列問題要注意應用等差數列的性質（）與前項和的關系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】試題分析：易得.設，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因為兩直線的斜率互為負倒數，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.12、【解析】,所以點平面區域是底面內以為圓心，以1為半徑的外面區域,則的面積是13、20【解析】

首先根據已知得到：是等差數列，公差，再計算即可.【詳解】因為，所以數列是等差數列，公差..故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列的判斷和等差數列項的求法，屬于簡單題.14、【解析】

取半正多面體的截面正八邊形，設半正多面體的棱長為，過分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長及所有棱長和.【詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長為1，可知，易知，設半正多面體的棱長為，過分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長和為.【點睛】本題考查了空間幾何體的結構，考查了空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】

利用正弦定理將邊角關系式中的邊都化成角，再結合兩角和差公式進行整理，從而得到.【詳解】由正弦定理可得：即：本題正確結果：【點睛】本題考查李用正弦定理進行邊角關系式的化簡問題，屬于常規題.16、【解析】

利用將變為，整理發現數列{}為等差數列，求出，進一步可以求出，再將，代入，發現可以裂項求的前99項和。【詳解】當時，符合，當時，符合，【點睛】一般公式的使用是將變為，而本題是將變為，給后面的整理帶來方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）最小正周期，的單調遞增區間為：.【解析】

（1）計算平面向量的數量積得出函數的解析式，求出時的值；（2）根據的解析式，求出它的最小正周期T及單調遞增區間.【詳解】函數時，，解得又；（2）函數它的最小正周期：令故：的單調遞增區間為：【點睛】本題考查了正弦型函數的性質，考查了學生綜合分析，轉化與劃歸，數形結合的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根據面積公式得到，利用余弦定理得到，計算得到答案.【詳解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，則.把代入得即.∴，則.∴的周長為.【點睛】本題考查了余弦定理，面積公式，周長，意在考查學生對于公式的靈活運用.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題可根據分式的分母不能為得出，然后解即可得出函數的定義域；(2)本題首先可根據以及同角三角函數關系計算出以及的值，然后對函數進行化簡，得到，最后通過計算即可得出結果．【詳解】(1)由得，，所以，，故的定義域為.(2)因為，且是第一象限角，所以有，解得，.故．【點睛】本題考查三角函數的性質、三角恒等變換的應用，考查的公式有、、、二倍角公式以及兩角差的余弦公式，考查化歸與轉化思想，是中檔題．20、（1）,；（2）.【解析】

（1）根據向量數量積的坐標運算及輔助角公式得：，并求出最小正周期為；（2）由，得到，從而，再根據的最小值為，求得.【詳解】（1），所以.（2）當時，則，所以，所以，解得：.【點睛】本題考查向量與三角函數的交會，求函數的最值時，要注意整體思想的運用，即先求出，再得到.21、長和寬均為4m時，最小值為64【解析】

利用體積求得ab=16，只需表示出表面積，結合高為2m，利用基本不等式求出最值即可.【