專題4.1同角三角函數關系式、誘導公式與三角恒等變換【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型梳理

【題型1正、余弦齊次式的計算】.............................................................10

【題型2“和”“積”轉換】..................................................................10

【題型3誘導公式的應用一一化簡、求值】......................................................10

【題型4同角關系式與誘導公式的綜合應用】....................................................11

【題型5三角恒等變換的化簡問題】...........................................................11

【題型6三角恒等變換一一給值求值型問題】...................................................12

【題型7三角恒等變換一一給值求角型問題】...................................................12

【題型8三角恒等變換的綜合應用】...........................................................13

?命題規律

1、同角三角函數關系式、誘導公式與三角恒等變換

同角三角函數關系式、誘導公式與三角恒等變換是三角函數化簡求值的基礎，是高考數學的必考內容

之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察“弦切互化”、三角函數的化簡求值等內容，一般以選擇題、填

空題的形式出現，試題難度中等或偏下；但在有關三角函數的解答題中有時也會涉及到三角恒等變換、合

并化簡，此時試題難度中等.

?知識梳理

【知識點1同角三角函數關系式的常用結論】

1.同角三角函數關系式的常用變形

(sina±cosot)2=1zE2sinacosot；sina=tanot-cosa.

2.同角三角函數關系式的注意事項

在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.

【知識點2誘導公式及其應用】

1.誘導公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.

2.誘導公式的兩個應用

(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.

(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.

3.含In整數倍的誘導公式的應用

由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2%的整數倍的三角函數式中可直接將2%的整數倍去掉后再

進行運算.

4.同角三角函數關系式和誘導公式化簡、求值的解題策略

利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式

進行變形.要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程；同時要注意角的范圍對三角

函數值符號的影響.

【知識點3三角恒等變換幾類問題的解題策略】

1.給值求值問題的解題思路

給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據角的范圍求

出相應角的三角函數值，代入即可.

2.給角求值問題的解題思路

給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角

之間總有一定的關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除特殊角三角函數

而得解.

3.給值求角問題的解題思路

給值求角問題一般先求角的某一三角函數值，再求角的范圍，最后確定角.

4.三角恒等變換的綜合應用的解題策略

三角恒等變換的綜合應用的求解策略主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通過變換把函數化

為/(x)=Asin(ox+9)+6的形式再研究其性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征，注意利用整體思想

解決相關問題.

?舉一反三

【題型1正、余弦齊次式的計算】

【例1】(2023上?江蘇蘇州?高一校考階段練習)已知上等等=；,則tana=()

cosza—sinza3

A.|B.|C.1或1D.冢1

【變式1-1](2023?四川成都?統考一模)已知ae(0,n),且sina—V^cosa=2,貝ijtana=()

A.—y/3B.—-C.—D.A/3

33

【變式1-2](2023下?江西萍鄉?高一統考期中)已知tan。=2,則若駕=()

cos0+sin0

51

A.0B.--C.-1D.-

33

【變式1-3](2023?四川?校聯考模擬預測)已知角a的頂點為原點，始邊為X軸的非負半軸，若其終邊經過

點尸(―2,遮)，則粵、=()

\7cosza+l

A7遮4A/513V52V5

21347

【題型2“和”“積”轉換】

【例2】(2023下?貴州遵義?高二校考階段練習)已知sina—cosa=1,貝！Jsinacosa=()

【變式2-1］（2023?全國?高一專題練習）已知sinacosa=—二代Va＜如，貝!］sina-cosa的值等于（）

644

A.逗B.-逗C.—漁D.

3333

【變式2-2］（2023?山西?校聯考模擬預測）已知sina—cosa=Jae（―巳"，則更經絲=（）

5\22/sina+cosa

A.--B.—C.--D.—

553535

32

【變式2-3］（2023?上海寶山?統考一模）設sina+cosa=x,且sin3a+cos3a=a3x+a2x+arx+a0,

則+。2+。3=（）

A.-1B.-C.1D.V2

2

【題型3誘導公式的應用一一化簡、求值】

［例3］（2023上?河北石家莊?高三石家莊市第二十七中學校考階段練習）已知aeg,it）,若cos&-a）=

一號，則cos(cr+4)的值為(

B.--C.--D

44

【變式3-1］（2023上?全國?高一期末）已知sing+a)=:且a6(1)，則cos(g-a)的值為

【變式3-2］（2023上?高一課時練習）已知sin（n—ct）=|,貝!Jsin（a—2021n）的值為（）

2^22y[2

B.

3

1

C.D?號

3

【變式3-3］（2023上?江蘇常州?高一校聯考階段練習）若cos6+a）=；,則cosg—a）—sin?^+a）=

6363

（）

C1+2四

A.0B.-D.野

?3

【題型4同角關系式與誘導公式的綜合應用】

【例4】（2。23上?天津?高一校考階段練習）若tan（7n+a）=a,則需黑需2的值為（

a-la+l

A.B.C.-1D.1

a+1a-l

【變式4-11（2023上?江蘇無錫?高一校考階段練習）已知cos（—%）+sin（n—%）=|,貝!Jsin%,sinQ+%）=（）

【變式4-2](2023上?江蘇無錫?高一校聯考階段練習)已知sina+cosa=-士則回受的值為()

2l-tan(-a)

A.--B.-C.--D.—

441616

【變式4-3](2023上?甘肅白銀?高一校考期末)已知3cos管+B)sin(n-8)=2,且。為第二象限角，則

COS(TT+6)_()

sin怎-6)+sin(6—Ti)

A.-1-V2B.1+V2C.V2-1D.1-V2

【題型5三角恒等變換的化簡問題】

【例5】(2023上?江蘇南京?高二統考期中)已知cos%+sinx=立，則與()

3cos(x-?

【變式5-1](2023上?河北?高三校聯考階段練習)設0<8<]若(sin。+cos0)2+V3cos26=3,貝心也2。=

()

A.-B.-C.—D.-

2224

【變式5-2](2023?全國?高三專題練習)化簡：獨與誓=()

S叫

A.V2coscrB.2V2coscrC.VasinaD.2V2sincr

【變式5-3](2023下?浙江嘉興?高二統考期末)已知6(0m)且滿足sina+sin/3=V3(cosa+cos/?),則

()

A.tan(a+夕)=遮B.tan(a+/?)=-V3

C.cos(a+B)=，D.cos((z+/?)——，

【題型6三角恒等變換一一給值求值型問題】

[例6](2023上?天津武清?高三校考階段練習)已知打、，G(°d且sina=cos(2cr+夕)=%則cos，的

值為()

A.-B.-C.-D.-

2732727

【變式6-1](2023?安徽?池州市第一中學校考模擬預測)已知tan(a+]=|,tan+則tan(a-

2夕)=()

10

11

【變式6-2](2023下?湖北省直轄縣級單位?高一校考期中)已知

_j,sin(/?_；)=白則sin(a+S)的值為()

5\4/13

56

65

【變式6-3](2023上?湖北?高三校聯考階段練習)已知]<a<g,-]<0<0,且sina+sin0=g(cosa+

cos/?),則下列結論一定不正確的是()

A.cos(cr一0)=-1B.sin(a一夕)=0

C.cos(cr+/?)=—D.sin(a+/3)------

【題型7三角恒等變換一一給值求角型問題】

【例71(2023下?安徽亳州?高一亳州二中校考期末)若sin2a=y,sin(/?-a)-啜，且a6[%斗0€卜,|可,

則a+8=()

【變式7-1](2023上?全國?高一專題練習)若a6p￡(0,^),且tan(a-￡)=—%tan￡=點則

2a—0的值為()

C.=

【變式7-2](2023?全國?高三校聯考期末)已知0<a<￡<cos2a+cos2/?+1=2cos(a—￡)+cos(a+

S)，則()

D.f3-a=-

【變式7-3](2023?江蘇無錫?校聯考三模)已知tan0=言%,tan(a+0)=胃署，若￡e(0,以，則0=()

A.—B.-C.-D.-

12643

【題型8三角恒等變換的綜合應用】

[例8](2023上?湖南長沙?高一長郡中學校考階段練習)已知函數/(%)=cos4%—sin4%—2V3sinxcosx(xG

R).

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)當xe[o,卵寸，求f(x)的最大值與最小值的和.

【變式8-1](2023上?吉林?高一校聯考期末)已知函數/(%)=2sin2x+2V3sin(27r+x)cos(7r—%).

⑴求f(x)在[。用上的最大值;

(2)若tana=2,求f(a)的值；

(3)若/(S)=//?e仁,居),求COS20的值.

【變式8-2](2023上?浙江嘉興?高一嘉興一中校考階段練習)已知函數f0)=cosxsin(x+；)—V3cos2%+

—,xeR.

4

(1)求f(%)的最小正周期及單調減區間；

⑵求〃久)在閉區間[-同上的最大值和最小值.

【變式8-3](2023上?安徽?高三校聯考階段練習)已知函數/'(X)=V3sin2x—sin(2023n+x)sin-

(1)求函數”x)的最小正周期和單調遞增區間；

(2)若得m),且/求sin(2a-工)的值.

?直擊真題

1.（2022?浙江?統考高考真題）設久eR,則“sin久=1”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?全國?統考高考真題）已知a為銳角，cosa=止與則sin^=（）.

42

人3—V5口—1+V5小3—V5八—1+VS

8844

3.（2023?全國?統考高考真題）設甲：sin2a+sin2）S=1,乙：sina+cos°=0,貝!J（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

4.（2023?全國?統考高考真題）已知sin(a—0)=%，cosasinS=工，貝!Jcos(2a+2￡)=().

36

A-%B-1c-D-

5.（2022?全國?統考高考真題）若sin(a+S)+cos(cr+/?)=2V2cos(a+sin/?,貝！J()

A.tan(cr—/?)=1B.tan(cr+S)=1

C.tan(a—/?)=—1D.tan(cr+￡)=—1

6.（2021?全國?統考高考真題）若tane=—2,則哨里好(

sin0+cos0

6

AA.--6c1D.

5BT5

7.（2023?全國?統考高考真題）若6E(0,Jtan。=I，則sinJ-cos0=.

2

2

8.（2023?全國?統考高考真題）若/(%)=(x—l)+ax+sin(%+彳)為偶函數，則a=

9.（2022.浙江?統考高考真題）若3sina—sin￡=VTU,a+￡=個，貝Isina=，cos2￡=

10.(2023?北京?統考高考真題)設函數f(%)=sina)xcos</>+cosa)xsin^(3>0,\(p\<小.

（1）若f（0）=-亨,求8的值.

（2）已知f（x）在區間［-（曰］上單調遞增，/g）=1,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個

作為已知，使函數/（X）存在，求3,0的值.

條件①:屋）=.

條件②：/（-=）=-1；

條件③：/（久）在區間上單調遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

專題4.1同角三角函數關系式、誘導公式與三角恒等變換【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型梳理

【題型1正、余弦齊次式的計算】.............................................................10

【題型2“和”“積”轉換】..................................................................10

【題型3誘導公式的應用一一化簡、求值】......................................................10

【題型4同角關系式與誘導公式的綜合應用】....................................................11

【題型5三角恒等變換的化簡問題】...........................................................H

【題型6三角恒等變換一一給值求值型問題】...................................................12

【題型7三角恒等變換一一給值求角型問題】...................................................12

【題型8三角恒等變換的綜合應用】...........................................................13

?命題規律

1、同角三角函數關系式、誘導公式與三角恒等變換

同角三角函數關系式、誘導公式與三角恒等變換是三角函數化簡求值的基礎，是高考數學的必考內容

之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察“弦切互化”、三角函數的化簡求值等內容，一般以選擇題、填

空題的形式出現，試題難度中等或偏下；但在有關三角函數的解答題中有時也會涉及到三角恒等變換、合

并化簡，此時試題難度中等.

?知識梳理

【知識點1同角三角函數關系式的常用結論】

1.同角三角函數關系式的常用變形

(sina±cosa)2=1±2sinacosa；sin?=tana-cosoc.

2.同角三角函數關系式的注意事項

在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.

【知識點2誘導公式及其應用】

1.誘導公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.

2.誘導公式的兩個應用

(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.

(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.

3.含2n整數倍的誘導公式的應用

由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2兀的整數倍的三角函數式中可直接將2%的整數倍去掉后再

進行運算.

4.同角三角函數關系式和誘導公式化簡、求值的解題策略

利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式

進行變形.要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程；同時要注意角的范圍對三角

函數值符號的影響.

【知識點3三角恒等變換幾類問題的解題策略】

1.給值求值問題的解題思路

給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據角的范圍求

出相應角的三角函數值，代入即可.

2.給角求值問題的解題思路

給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角

之間總有一定的關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除特殊角三角函數

而得解.

3.給值求角問題的解題思路

給值求角問題一般先求角的某一三角函數值，再求角的范圍，最后確定角.

4.三角恒等變換的綜合應用的解題策略

三角恒等變換的綜合應用的求解策略主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通過變換把函數化

為/(x)=Asin(ox+0)+6的形式再研究其性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征，注意利用整體思想

解決相關問題.

?舉一反三

【題型1正、余弦齊次式的計算】

【例1】（2023上?江蘇蘇州?高一校考階段練習）已知上警等=貝Utana=（）

cosza—sinza3

1

A.-B.-C.1或1D.2或1

32

【變式1-1](2023?四川成都?統考一模)已知a6(0,7i),且sina—V3cosa=2,則tana=()

A.-V3B.--C.—D.V3

33

【變式1-2]（2023下.江西萍鄉.高一統考期中）已知tan。=2,則吟駕=()

cos0+sin0

A.0B.--C.-1D.-

33

【變式1-3】（2023.四川.校聯考模擬預測）已知角a的頂點為原點，始邊為x軸的非負半軸，若其終邊經過

點P（—2,代），則普三=（）

'7cosza+l

A7遍4V513V52V5

21347

【題型2“和”“積”轉換】

【例2】（2023下?貴州遵義?高二校考階段練習）已知sina—cosa=則sinacosa=（）

A.、B/C.iD.叵

9399

【變式2-1]（2023?全國?高一專題練習）已知sinacosa=—二囚Va＜如，貝!]sina-cosa的值等于（）

644

A.逗B.-2C.-逅D.

3333

【變式2-2]（2023?山西校聯考模擬預測）已知5也戊—85&=；,戊6（—巳*則史竺”=（）

5\22/sina+cosa

A.--B.—C.--D.—

553535

32

【變式2-3]（2023?上海寶山?統考一模）設sina+cosa=x,且sin3a+cos3a=a3x+a2x+a1x+a0,

則a。+%+a2+%=（）

A.-1B.-C.1D.V2

2

【題型3誘導公式的應用一一化簡、求值】

[例3]（2023上?河北石家莊?高三石家莊市第二十七中學校考階段練習）已知aeg.ir）,若cos（合a）=

—中，則cos（a+[）的值為（）

【變式3-1](2023上?全國?高一期末)已知sing+a)=E，且a￡貝kos(g-a)的值為()

A.-亞B.-iC,迥D.i

3333

【變式3-2](2023上?高一課時練習)已知sin(n—<z)=|,貝Usin(a-2021n)的值為()

A2V22V2

A.-----D.---------

33

C.-D.--

33

【變式3-3](2023上?江蘇常州?高一校聯考階段練習)若cosG+a)=；,則cosg-a)-sin(?+a)=

6363

()

C1+2四1-2V2

A.0B

-1?3

【題型4同角關系式與誘導公式的綜合應用】

【例4】（2023上?天津?高一校考階段練習）若tan（7n+a）=a，則嘿聾篝鬻的值為（）

(Z-1a+l

A.B.c.-1D.1

a+1a-1

【變式4-11（2023上?江蘇無錫?高一校考階段練習）已知cos（—%）+sin（n—%）=|,則sin%?sing+%）=（）

A.-B.--C.-D.--

25252525

【變式4-2]（2023上?江蘇無錫?高一校聯考階段練習）已知sina+cosa=-；,則學R的值為（）

2l-tan（-a）

3333

A.--B.-C.--D.—

441616

【變式4-3]（2023上?甘肅白銀?高一校考期末）已知3cos（T+e）sin（it-。）=2,且。為第二象限角，則

COS（7l+0）_（）

sinQ-0）+sin（0-n）

A.-1-V2B.1+V2C.V2-1D.1-V2

【題型5三角恒等變換的化簡問題】

【例5】（2023上?江蘇南京?高二統考期中）已知cosx+sinx=烏，則產=（）

3COS^X--j

A.--B.--C.--D.--

16663

【變式5-1]（2023上?河北?高三校聯考階段練習）設。<8<%若（sin。+cos8）2+V5COS28=3,則sin28=

A.叵B.iC.返D.三

2224

【變式5-2］（2023?全國?高三專題練習）化簡："現丁對式=（）

s叫r

A.V2coscrB.2V2costzC.VasinaD.2V2sin（x

【變式5-3］（2023下?浙江嘉興?高二統考期末）已知a,￡G（0,冗）且滿足sina+sin/?=V3（cosa+3sl3）,則

（）

A.tan（a+夕）=遮B.tan（（z+S）=-V3

C.cos（a+/?）=曰D.cos（a+S）=—日

【題型6三角恒等變換一一給值求值型問題】

［例6］（2023上?天津武清?高三校考階段練習）已知仇、，e（。,*且sina=cos（2a+￡）=］,則cos/?的

值為（）

A.-B.-C.-D.-

2732727

【變式6-1］（2023?安徽?池州市第一中學校考模擬預測）已知tan（仇+弓=%tan忌+。=%則tan（a-

2/?）=（）

A.--B.--C.—D.-

1311115

【變式6-2］（2023下?湖北省直轄縣級單位?高一校考期中）已知ae傳，T），即卜弓）,3（戊—；）=

一|,sin（/?-：）=白則sin（a+/?）的值為（）

5\4/13

A.—B.--C.—D.--

65656565

【變式6-3］（2023上?湖北?高三校聯考階段練習）已知］＜。＜等一］＜6＜0,且sina+sin/?=V3（cosa+

COSjg）,則下列結論一定不正確的是（）

A.cos（a—S）=-1B.sin（a—S）=0

C.cos（a+0）=——D.sin(a+/?)———

【題型7三角恒等變換一一給值求角型問題】

【例71（2023下?安徽亳州?高一亳州二中校考期末）若sin2a=y,sin（j6-a）=噂，且ae［濘］，06

則a+￡=()

【變式7-1](2023上?全國?高一專題練習)若a€0),p￡(0,=),且tan(a-0)=，tan￡=點則

2a—0的值為()

A.--B.--C.-D.-

4444

【變式7-2](2023?全國?高三校聯考期末)已知0<a<0<泉cos2a+cos2s+1=2cos(a—/?)+cos(a+

/?),貝IJ()

A.a+B.a+S=￡

C.0—cc=—D.B—oc=—

63

【變式7-3](2023?江蘇無錫?校聯考三模)已知tan0=言%,tan(a+0)=胃署，若￡6(0,以，則0=()

A.—B.-C.-D.-

12643

【題型8三角恒等變換的綜合應用】

[例8](2023上?湖南長沙?高一長郡中學校考階段練習)已知函數/(%)=cos4%—sin4%—2V3sinxcosx(xG

R).

(1)求/(%)的最小正周期；

(2)當xe[o,,時，求f(x)的最大值與最小值的和.

【變式8-1](2023上?吉林?高一校聯考期末)已知函數/(%)=2sin2x+2gsin(2yr+X)COS(TT一%).

(1)求f(x)在[o,3上的最大值；

(2)若tana=2,求/(a)的值；

(3)若f(6)=求COS20的值.

【變式8-2]（2023上?浙江嘉興?高一嘉興一中校考階段練習）已知函數/（x）=cos